因式分解讲义

因式分解

学问点1:因式分解的定义

1.分解因式：把一个多项式化成几个一整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。

如：推断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：

①V-9+8工=*+3)*-3)+8()②9/-4/=(9x+4)，)(9x-4y)()

(3)(x+3)(x-3)=x2-9()(4)x2y-2xy2+xy=xy(x-2y)()

学问点2：公因式

公因式：定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式的确定：

(1)符号：若第•项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号)

(2)系数：取系数的最大公约数；

(3)字母：取字母(或多项式)的指数最低的；

(4)全部这些因式的乘积即为公因式；

例如：

1.多项式-3ab+6abx-9aby的公因式是

2.多项式分解因式时，应提取的公因式是()

A.-4(ib2cB.-Sab'C.2ab3D.

3.x(in+n)2-y(n+m)4+(tn+/?)3的公因式是

学问点3：用提公因式法分解因式

提公因式法分解因式：假如一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式

化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例如：

1.可以干脆提公因式的类型：(1)9/62-6///+12〃%3二；

(2)优____________

(3)x(a-b)2-y(a-b)4+(a-b)5=

(4)不解方程组产'?”求代数式(21+))(2X-3)，)+3双2工+)，)的值

5x-3y=-2

2.式子的第一项为负号的类型:

(I)®-4x2y+6x2y2-Sx3y3

②4(wI九In)4I12(〃？I九尸=

(2)若被分解的因式只有两项且第一项为负，则干脆交换他们的位置再分解(特殊是用到平方差公式时)

如：—8r+18y*

练习：

1.多项式:一6ab+1Sabx+lAaby的一个因式是—6ab，那么另一个因式是()

A..-X—3x+4yR.l+3x-4yC-1-3x—4yD..1—3x—4y

2.分解因式一5(y—x)」一lOy(y—X)」

3.公因式只相差符号的类型：

公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统

一于之前确定的那个公因式。(若同时含奇数次和偶数次则一般干脆调换偶数次里面的字母的位置，如

(x-y)6-(y-x)5=(y-x)6-(y-x)5=(y-x)5(y-x-l)

例：(1)(b-a)2+a(a~b)+b(b~a)

(2)(a+b~c)(a~b+c)+(b-a+c)•(b—a-c)

(3)a(a-b)y+2a2(b-a)2-2ab(b-a)

练习：

1.把多项式用'a-2)+〃?(2-〃)分解因式等于()

(A)(a-2)(zn2+w)(C)"7(〃-2)(〃L1)(D)〃I(4-2)(〃?+1)

2.多项式x(y—3)-/(3-)，)的分解因式结果()

A.()，-3乂工++B.(y-3Xx-/)C.x(y-3)(l+x2)D.x(y-3)(l-x)

3.分解因式：

(1)m(x-y)+n(y-x)=(x-v)()

(2)—6(x—y)4—3y(y—x)5

学问点4公式法分解因式

.公式法分解因式：假如把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的

方法叫做公式法。

一、平方差公式分解因式法

平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。

即a2-b2=(a+b)(a-b)

特点：1、是一个二项式，每项都可以化阈整式的平方2,两项的符号相反.

例如：

1、推断能否用平方差公式的类型

.(1)下列多项式中不能用平方差公式分解的是()

(.\)-a2+b2(B)-f-y2(C)49o2-z2(D)16加4-25〃2P?

(2).下列各式中，能用平方差分解因式的是()

A.x~+y~B.—x~~y~C.x~-xy~D.1—y2

2、干脆用平方差的类型

(1)I6x2-9y2(2)-25/+1⑶x4-I

3、整体的类型：

(1)(m+n)2-n2(2)—(x+»+(2x—3y)2

4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型

4m=.(2)/-a=

练习：将下列各式分解因式

(1)(X2+1)2-4X2(2)100x2-81y2；(3)9(a-b)2-(x-y)2；

(4)a-a5(5)-x3+9x(6)(in-n)3-(m-n)

(7)(2x-y)-4(2x-y)3

二、完全平方式分解因式法

完全平方公式：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。

即a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2

特点：(1)多项式是三项式；

(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.

1、推断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解

如：下列多项式能分解因式的是()

A.x2-yB.x2+y2C.x2+y2+yI),x2-6x+9

2、关于求式子中的未知数的问题

如：1.若多项式/+入：+16是完全平方式，则k的值为()

A.—4B.4C.±8D.±4

2.若+Z是关于x的完全平方式，则1<=

3.若/+2(m-3)x+49是关于x的完全平方式则m=

3、〒脆用完全平方公式分解因式的类型

(1)x2+8A+16；(2)-4x2+12r,f-9y2；(3)^-+x)?+y2：(4)+'〃?〃+/

4、整体用完全平方式的类型

(1)：X-2)2+12(X-2)+36；(2)9+6(。+力+(。+力?

5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型

(i)4x3+16x2-16x；⑵gax2y2+2axy+2a

(3)已知：ab=\,x-y=2,求3ab£+3aby2-6xyab的值

练习：分解因式

(1)x2-4x+4(2)a2x24-16^+64(3)a4-Serb2+16/?4

(4)(x+y)2-14(x+y)+49(5)9+6(a+b)+(a+b)2

(6)3x3-\2x2y+\2xy2(7)2x2+-

学问点5、十字相乘法分解因式2

.十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：(工+〃)(x+/2)=x2+{a+b)x+ab.用来把某些多项式

分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。

如：分解因式：

①x~—7x+10②2厂—5x—3(3)a~+C)(ib+5b~

(4)?+5x+6(5)x2-5x+6(6)A7-5.r-6

练习:

(1)I2+7X+12⑵/-81+12(3)AT-A-12(4),r+4x-12

(5)y+23>'+22(6)x2-8x-20(7)『+9大厂36产(4)f+5x-6

学问点6、分组的方法分解因式

如⑴〃?'+4m4-5-20m(2)-4/+y2+4/_]

练习:

(1)9a2-4b2+4bc-c2(2)X3+3X2-4X-12(3)/+2工一6)，一9)，2

(4)9.r2—y2-4y—4(5)xy2—2xy+2y-4

小结因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。

“一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式三项的用完全和

平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以上考虑分组分解法。

课后练习:

分解因式单元练习

・、选择题（每题4分，共40分）

1.下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（.）

(A)2(a-b)=2a-2b(B)m2-1=(zn-1-lX/n-1)

(C)x2-2x+\=-2)+1(D)a{a-h\b4-1)=(6/2-ab^b+1)

2.把多项.式一8a2b：,+16a廿c2-24ah?分解因式，应提的公因式是（),

(A)-8&?bc(B)2/bY(C)-4abe(D)24abe3

3.下,列因式分解中，正确的是（)

(A)3〃?2-6"?=m(3m-6)(B)a2b+ab+a=a[ab+〃)

(C)-x2+2xy-y2=-(^-y)2(D)/+3,2=(工+炉

4.下列多项式中，.可以用平方差,公式分解因式的是。）

(A)a2+4(B)a2-2(C)-a2+4(J))-a2-4

5.把一6(x—y)?—3y(y—x)^分解因式,结果是（）.

(A)一3(x-y)%2+y)(B)—(X—y)3(6—3y)

(C)3(x—y)3(y+2)(D)3(x—y)3(y—2)

6.下列各式变形正确的是（)

(A)-a-b=-(a-b)(B)b-a=-(a-b)

(C)(-a-/?)2=-(a+b)2(D)(/?-d)2=-(a-/?)2

7.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（.）.

(A)^4x2—1(B)4x?+4x—1(C)x2—xy+y2D.x2—x+^

8.因式分解4+a?-4a正确的是（）.，

(A)(2—a)(B)4(l-a)+a2(C)(2—a)(2—a)(D)(2+a)2

9.若4/-〃a+9是完全平方式，则m的信是()

(A)3(B.)4(C)12(D)±12

,10.已知a+Z?=—3,次＞=2,则(〃-〃)~的值是()©

(A)1(B)4(C)16(D)9

二、填空题(每题4分，共