全国数学联赛江西预赛试题及解答

2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答

第一试

一.选择题(每小题7分，共42分)

】化简，3+年耳闻的结昊是().

(A)、&：(8)、*；(C)、2；(0)、

答案：。

解：13+屈=(2百尸+1+4百=(1+2百尸，5-(1+2百)=4-2百=(6-1)2,

3+51)=2+石=4+26=(、5+1尸二使+勺,因此原式=，.

2212J2

2、A48C是一个等腰直角三角形，。瓦G是其内接正方形，，是正方形的对角线交点：那么，由图中

的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为().C

(A)、12：(8)、13；(C)、26：(。)、3().^K/\

ADEB

答案：C.

解：设43=3,图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全第三

角形；斜边长为血的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1时全等三角形;

共计26对.

2

3、设。/?工0,且函数/(x)=』+2磔+4〃与f2(x)=x+4ax+2Z?有相同的最小值〃；

函数为(幻=-x2+2bx+4a与£(幻=-x2+4法+2。有相同的最大值v；则〃+u的值().

(A)、必为正数：(8)、必为负数：(C)、必为0：(。)、符号不能确定.

答案：C.

222222

解：/(x)=(x+a)+4b-a>4b-a,f2(x)=(x+2a')+2b-4a>2b-4a,

由4。-/=〃=3-4/,得一2/?=3/...①

人(八)——(A—b)~+4“+b~04a+b~,/式式)=—(A—2〃)~+2u+4b~S2a+4b~；

由4〃+Z/=U=2〃+4/?2,得2a=3/……②

②①fS,2(a+b)=3(b2-a2),所以〃+b=0……③，或力一。=2……④

若。+8=0,则2（〃+1，）=（6人-5/）+（6。+5/）=（4+力［6+5（〃-。）］=0：

22

若〃一。=7,据②④，2(b--)=3h2,即(31-1)2+3=0,矛盾!

4、若关于x的方程/+26+7。-1()=0没有实根，那么，必有实根的方程是().

(A)、x2+2ax+3〃-2=0；(8)、x2+2ax+5a-6=0：

(C)、x2+2(ix+]0a-2\=0；(。)、+2at+2^+3=0.

答案：A.

解：日方程V+2or+7a—10=0无实根，得其判别式△<(),于是2<。<5,

方程AB、C,D的判别式分别是：

△人=4(〃-1)(。-2),As=4(。-2)(。-3),A。=4(a-3)(4—7),△0=4(。+1)(〃-3),

显然，对于满足2＜。＜5的每个。值，可以确保△'＞（）,但不能保证非负，（即使得方程

8,C.D无实根的”的区间与区间（2,7）都有重叠部分，而使方程A无实根的。的区间（1,2）与区间（2,7）无

重置部分），所以A必有实根，其余方程不一定有实根.

5、正方形A8C。中，乙q分别是A8,8C上的点，交AC于AF交BD于N；若A”平分

/BAC,DELAF,i己X=匹，)，=则

OMON

CF

z=一，则有(

BF

(A)、x>y>z；(8)、x=y=z：

(C)、x=y>z：(。)、x>y=z.

答案：。

解：由角平分线，则=丝=血=生=变，即），=z=拒，又WME的角分线与高重合，则MME

ONAOABBF

为等腰三角形，A"=AE,作OP"A5,交OE于P,则OP为拉）班:的中位线，

BFBF

△OMPs/SAME，x=----==2,所以x>y=z.

OMOP

6、将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为

质数，如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（）.

（A）、4种；（6）、8种；（C）12种、；（Q）、16种.

答案：B

解：相邻两数和为奇质数，则圆周上的数奇偶相间，于是8的两侧为3,5,而7的两侧为4,6；剩下两数

1,2必相邻,且1与4,6之一邻接;考虑三个模块[4,7,6],[5,8,3],[1,2]的邻接情况,得到8种填法.

二、填空题（每小题7分，共23分）

1、若A个连续正整数之和为2010,则A的最大值是.

答案：60.

解：设2010=(〃+1)+(〃+2)++(〃+幻=。〃+""+”,则-2〃+4+1)=4020,

2

注意攵<2〃+4+1,而4020=22x3x5x67,为使攵值最大，当把402()表成最接近的一对因数之枳,

为4020=60x67,所以攵=60.

2、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆(与角两边及三角形内切圆都相切的圆)的内部挖去，则

解：单位正三角形内切圆半径为r二立，其面枳为$=)/=£,而。为其中心，故8=0"=A"=>

612

因此，A的与A44C的相似比为1:3,于是每个小圆面积等于。。面积的工，故四个圆面积之和为

9

-s=~,因此，所求三角形剩下部分的面积为5=也-巳

3949

3、圆内接四边形ABC7)的四条边长顺次为：AB=2,BC=7,CD=6,£)A=9,则四边形的面积

为.

答案：3().

解：由于72+62=85=k+22,即BC2+CO2=D42+AB2,所以凶⑦与4M8都是直角三角形，

因此，四边形面积=SDCl>+=^-(7x64-9x2)=30.

4、在±1±2±3±5±20中，适当选择+、号，可以得到不同代数和的个数是.

答案：24个.

解：1,2,3,5,20中,有奇数三个,故其代数和必为奇数;由1,2,3,5可以得到绝对值W11的所有奇数:这

是由于1=1-2—3+5,3=-1+2-3+5,5=1+2—3+5,

7=1-2+3+5,9=-1+2+3+5,11=1+2+3+5；以上各式通乘-1,可得-1,-3,-5,-7,-9,-11的

表达式；

而据题意，表达式中，1,2,3,5及20都必须参与，那么，能得到的整数应是±20加或减1,3,5,7,9,11,即

得到十二个正奇数911,13,…,31和十二个负奇数一9,一11,…，-31；因此可表出的数共计24个.

/tot一

第一试

一、：20分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程f一伏+2）x+4k=0的两根，求Z的值并

确定直角三角形三边之长.

解：设直角边为（a<b）则。+〃=女+2,6仍=4攵，因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设

(左+2产-16&=I=(攵-6+〃)(攵-6=1x32=2x16=4x8，&-6+〃>6一〃,

k-6+n=32.仅一6+〃=16\k-6+n=32

或,或《

&-6—〃=1k—6—n=2k—6—n=\

45

解得《=耳（不是整数，舍去），&=15,&=12

k2=15时，〃+/?=17,。〃=60=a=5,/?=12,。=13

卜3=12时，a+b=14,而=48=a=6,Z;=8,c=10

二、(25分)如图，自A4AC内的任一点P,作三角形三条边的垂线:

PD工BC,PELCA,PFA.AB,若BD=BF,CD=CE；

证明：AE=AF.

证：注意如下事实：若四边形的两条对角线互相垂直，则其两组对边的平方和相等.

在PA,PB,PC,则有P/V+B/2=P8?+A尸2；

PB2+CD2=PC2+BD2,PC2+AE2=PA2+CE2.

三式相加得AE2+CD2+BF2=AF-+CE2+BD1,

利用条件8。=8凡8=小，代入上式，得=4/.