人教版高中物理必修一《3 匀变速直线运动的位移与时间的关系》

3.匀变速直线运动的位移与时间的关系

核心素养定位>>>

1.理解。“图像中“面积”与位移的关系，了解匀变速直线运动位移与时间

的关系式的推导过程。

2.理解匀变速直线运动位移与时间的关系式，并会用其解决实际问题。

3.理解速度与位移的关系式的推导过程，理解速度与位移关系式，并会应用

其解决实际问题。

01课前自主学习KEQIANZIZHUXUEXI=

一、匀变速直线运动的位移

1.位移在。"图像中的表示

做匀变速直线运动的物体的位移，对应着图像中的图线和图“胆所包围

的面积。如图所示，在0〜f时间内的位移大小等于着色部分的梯形的蚂面积。

2.位移公式：x=Syor+yzr20

⑴公式中x、孙a均是矢曷，应用公式解题前应先根据正方向明确它们的蚂

正、负值;

(2)当内=0时，1=四々层,表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时

间的关系。

二、匀变速直线运动的速度与位移的关系

1.匀变速直线运动的速度与位移的关系式

国卫土选=2QX,若oo=0,则关系式为国4=2ax。

2.公式推导

速度公式：u=国的+水0

位移公式：4=回。0/+%产②

将上述两个公式联立，消去时间n可得翅底二选=2or。

3.速度与位移的关系式是矢量式，使用时应先规定正方向，以便确定加、。、

4、X的正负。

判一判

(1)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。()

(2)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。()

(3)位移公式x=加/+%尸仅适用于匀加速直线运动。()

(4)公式研一源=2公•适用于所有的直线运动。()

(5)因为/一温=勿大,°2=源+2办，所以物体的末速度0一定大于初速度。0。

()

(6)在公式v2—vi=2ax中为矢量,与规定的正方向相反时，〃取负值。()

提示：(1)X(2)V(3)X(4)X(5)X(6)V

木目一木目

(l)v-r图像中图线与时间轴所围的图形有时在时间轴上方，有时在时间轴下

方，这与物体的位移有何关系？

提示：根据图像的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运

动，图线与时间轴所围的图形在时间轴上方，其面积表示的物体的位移为正值，

位移为正方向；同理，图线在时间轴的下方，表明物体向负方向运动，图线与时

间轴所围的图形在时间轴V方，其面积表示的位移是负值，位移为负方向。

(2)匀速直线运动的位移公式为x=”,由此式可以得出它的位移x与时间t

呈线性关系，作出的图像为倾斜直线；匀变速直线运动的位移公式为x=oo/

+/尸，那么它的心/图像应为什么形状？

提示：匀变速直线运动的位移x是时间/的二次函数，由数学知识可知匀变

速直线运动的4/图像应为抛物线。

(3)应用v2-vi=2ax分析匀变速直线运动有何优势？

提示：因为公式。2一宿=2ca不涉及物体运动的时间，故在不要求计算时间

时，应用该式分析匀变速直线运动较方便。

02课堂探究评价KETANGTANJIUPNGJIA二

课堂任务则匀变速直线运动的位移

仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

圆闺国园

活动1：以速度。做匀速直线运动的物体，时间r内的位移是什么？在图甲

所示的图像中可以用什么夹表示？

提示：位移X=J,在图甲所示的IM图像上可以用图线与时间轴所包围的矩

形面积来表示。

活动2:从活动1的结论可以得到什么启示？在图乙上有什么体现？

提示：匀变速直线运动的位移大小也能用v-l图像中图线与时间轴所包围图

像的面积来表示，即初速度为W,末速度为V,运动时间为/的匀变速直线,运动

的位移可用图乙中着色部分的梯形面积表示。

活动3：观察图丙和图丁，分析活动2的推测合理吗？

提示：把匀变速直线运动近似看成几段匀速直线运动，如图丙，其位移就可

以近似表示为图丙中几个矩形面积的和。把运动过程划分为更多的小段，如图丁，

用这些小段的位移之和近似代表物体在整个过程中的位移，小矩形越窄，多个小

矩形的面积之和越接近物体的位移。如果把整个运动过程分割得非常细，很多小

矩形的面积之和就能非常精确地代表物体的位移，这些小矩形合在一起便形成了

图乙中的梯形，所以活动2的推测合理。

活动4：若已知匀变速直线运动的初速度也、加速度。，如何推导出位移X

与时间/的关系式？

提示：根据梯形面积公式可知，"=/（如+将U=内卜C”代入得，K=OW

活动5：讨论、交流、展示，得出结论。

1.位移与面积的关系

匀变速直线运动0-/图像与时间轴所围成的“梯形面积”等十“位移”。

2.匀变速直线运动的位移公式：X=次）/+%户

（1）公式推导

方法一：如图为匀变速直线运动的v-t图像，其阴影部分的面积等于物体的

位移。由梯形的面积公式知物体的位移：%=*•/,再代入v=vo+at得：x=

po+(a)+。/)整理得x=uo/+Jar2。

2,

方法二：仍然利用图像中阴影部分的面积等于物体的位移，但把阴影部

分分割为两部分（如图所示j：0=73,刈=3〃产，所以r=ri+r2,即丫=7）0，+；〃产c

》特别提醒图线在时间轴上方，图线与时间轴所围的图形的面积为正值，表示

的位移为正；图线在时间轴下方，图线与时间轴所围的图形的面积为负值，表示

的位移为负；图线与时间轴有交叉，总位移为上、下面积的代数和。例如：如果

一^个物体的。-/图像如图所示，图线,与，轴围成两个三角形，面积分别为XI和X2,

此时XI<0,X2>0,则0〜/2时间内该物体的总位移X=|X2|—|xiI，若A>0,位移为正，

若XV0,位移为负。

(2)公式特点

①公式1=加/+5户是位移公式，而不是路程公式。利用该公式求的是位移,

而不是路程，只有在单方向直线运动中，所求的位移大小才等于路程。

②矢量性：位移公式为矢量式，该公式中除，外各量均为矢量，注意其方向。

X、4、P0必须选取统•的正方向，,般选取初速度的方向为正方向。若取初速度

方向为正方向，其情况列表如下。

若物体做匀加速直线运动。与00同向，。取正值

若物体做匀减速直线运动。与反向，。取负值

说明这段时间内位移的方向与规定的正方向

若位移的计算结果为正值

相同

说明这段时间内位移的方向与规定的正方向

若位移的计算结果为负值

相反

③此公式只适用于匀变速直线运动，对非匀变速直线运动不适用。

3.公式的特殊形式

(1)当4=0时，1=如(匀速直线运动)。

⑵当次)=0时，(由静止开始的匀加速直线运动)。

例］一物体做匀加速直线运动，初速度大小为内=5m/s,加速度大小为。

=0.5m/s2,求：

(1)物体在前3s内的位移大小；

(2)物体在第3s内的位移大小。

。|I实践探究I(1)两问分别要求的是哪段时间内的位移?

提示：第一问要求的是0〜3s内的位移，即所求位移的时间间隔是3s;第

二问要求的是第3s内的位移，所求位移的时间间隔是1s,即第2s末到第3s末

的位移。

(2)选用什么公式来求解位移？

提示：因为物体做匀加速直线运动，加、。、t已知，可以运用x=vol^at2

来计策。

［规范解答I(1)用位移公式求解，前3s内物体的位移:

X3==5X3m+；XO.5X3?m=17.25m。

(2)同理2s内物体的位移：

X2=voti+^ati=5X2m+^X0.5X2?m=11m。

因此，第3s内的位移

X=X3—X2=17.25m—11m=6.25m。

［完美答案］(1)17.25m⑵6.25m

一网伴点拨］--------------------------------

(1)使用公式产时要注意。0、。、x是矢量。式中包含。0、。、X、/

四个物理量，当其中三个量已知时，可求第四个未知量。

(2)应用位移公式解题的基本思路

①确定研究对象，并分析判断物体是否做匀变速直线运动。

②选择研究过程。

③分清已知量和待求量，找出与所选研究过程相对应的。。、。、八X的值，

特别要注意加并不一定是物体运动的初速度，而是与研究过程相对应的初速度。

④规定正方向，判定各矢量的正、负，然后代入公式。

⑤统一巳知量的单位，求解方程。

［变式训练1］一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球

在第4s末的速度为4m/s。求：

(1)第6s末小球的速度；

(2)前6s内小球的位移；

(3)第6s内小球的位移。

答案(l)6m/s(2)18m(3)5.5m

解析根据加速度公式得

v-vo4-0.,°

a=---=4m/s~=Im/s-0

(1)第6s末小球的速度：v'=at'=1X6m/s=6m/s0

(2)前6s内小球的位移：

22

x=^at'=^X1X6m=18m0

(3)第6s内小球的位移：

2Xx2

^x=x—^ci(t'—1)=18—21(6—I)m=5.5mo

例2汽车以10m/s的速度行驶5分钟后突然刹车，如果刹车过程汽车做匀

变速直线运动，加速度大小为5m/s2,则刹车后3秒内汽车行驶的距离是多少？

I实践探究I(I)刹车问题先求什么？如何求解?

提示：先求刹车时间，由匀变速直线运动速度和时间的关系可以求解。

(2)能直接将所给刹车后的时间代入位移公式计算该段时间的位移吗？

提示：不能。物理解题需要符合实际，要先判断所给时间是否就是运动时间。

［规范解答］依题意画出运动草图如图所示。

<--a=-5m/s2

------>r0=10m/sr=0

Ql=?

设经时间/速度减为零，根据匀变速直线运动速度公式。=。。+小，

有0=10—5八解得/=2s,

由于汽车在运动2s时就停下了，所以有

2

X3=X2=voz+72=］0X2m4-1x(—5)X2m=10mo

［完美答案］10m

一网伴点拨］-----------------------------------

刹车类问题的处理思路

实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动且运动过程

不可逆，即当速度减小到零时，车辆就会停止。解答此类问题的思路是：

(1)先求出它们从刹车到静止的刹车时间

(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求

解。若吟,不能直接将所给时间，代入公式求解；若掰，则在，时间内未停

止运动，可直接将时间，代入公式求解。

［变式训练2］骑自行车的人以5m/s的初速度匀减速地上一个斜坡(如图所

示)，加速度的大小为0.4m/s2,斜坡长30m,骑自行车的人通过斜坡需要多长时

间？

答案10s

解析知道初速度、加速度和位移三个量自然想到公式工=加/+¥产，代入数

据得：30=5r-1x0.4?,解得：n=10s,r2=15so

将h=10s和尬=15s分别代入速度公式。=次）+〃计算得两个时间分别对应

的末速度：功=1m/s和。2=-1m/s。

攵=—lm/s与上坡的速度方向相反，与实际情况不符，应该舍去，所以人通

过斜坡需要的对间为10so

课堂任务2"速度与位移的关系

仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

un

交通事故中，交警为了了解汽车开始刹车时的车速，判断汽车是否超速，只

要知道刹车时的加速度大个，再测出刹车痕迹长度就行。这是怎么办到的？

囿国国圃

活动1：汽乍刹车时做匀减速直线运动，刹年痕迹的长度即刹乍时位移X的

大小，X怎么表示？

提示：4=如/+;〃产。

活动2：刹车开始的速度也如何表示？

提示：o=oo+a/。

活动3：根据己知量。、X、。=0,用什么方法可以求出汽车刹车时的速度。o?

提示：由以上活动可知时间/是未知的，但是由速度公式。=如+”和位移公

式4=。0/+%户联立，消去f,可得速度与位移的关系X.一加=2火，末速度。

为零，测量出刹车距离X,并将已知的加速度4代入关系式即可计算出汽车刹车

时的速度Wo

活动4:讨论、交流、展示，得出结论。

1.速度与位移关系式的推导

。一次

D=a)+，〃=f=---

vo(v-vo)a(0-0o)2v2~vi,o

=x+不2

X=VOt+^ClPa2cr，r=b-。=

2axa

2.速度与位移关系式U—加=2or的理解及应用

(1)公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适

用于匀变速直线运动。

(2)公式的意义：公式o3=2ov反映了初速度内、末速度加速度。、位

移x之间的关系，当其中三个物理量己知时，可求第四个未知的量。

(3)公式的矢量性：公式中加、。、。、x都是矢量，解题时先要规定正方向。

若规定。0的方向为正方向，则：

①物体做加速运动时，。取正值，做减速运动时，4取负值。

②x>0,说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x<0,说明位移的方

向与初速度的方向相反。或者已知位移时，位移的方向与正方向相同，取正值；

位移的方向与正方向相反，取负值。

(4)两种特殊形式

①当。0=0时，v2=2ctx.(初速度为零的匀加速直线运动)

②当。二。时，-o3=2or。(末速度为零的匀减速直线运动，例如刹车问题)

^国I圆国园

例3在某城市的一条道路上，规定车辆行驶速度不得超过30km/h。在一次

交通事故中，肇事车是一辆客车，量得这辆车紧急刹车(车轮被抱死)时留下的刹

乍痕迹长为7.6m(如图)，已知该客乍刹乍时的加速度大小为7m/s?。请判断该车

是否超速？

。1实践探究1(1)汽车的末速度是多少？

提示：汽车的末速度为零。

(2)题中的已知量是什么？如何求解初速度？

提示：题中已知量为“4、X；求初速度U0,缺时间/,用公式。2一淋=2办

求解比较简单。

［规范解答］规定加的方向为正方向，则刹车时位移x=7.6m,刹车时加速

度a=-7m/s-客车的末速度。=0。

由匀变速直线运动位移与速度的关系式v2—vi=2cix得：0—od=2X(一

7)X7.6m2/s2

解得：ro^lO.3m/s^SV.lkm/h>30km/h,所以该客车超速。

［完美答案］客车超速

一限律点拨1---------------------------------------

(1)对于匀变速直线运动，会涉及5个物理量:00、v.a、X、h如果已知量

和待求量中缺/,用公式"一辅=2内解题会比较简便。如果已知量和待求量中缺

用公式产解题会比较简便。如果已知量和待求量中缺工用公式。

V,x=vo/+%

=vo+at解题会比较简便。

(2)匀变速直线运动的5个物理量：必、”。、工、人若已知其中3个物理量,

便可由以上公式求出剩下的2个量。即5个量中只有3个是独立的。

［变式训练3］一辆在绵遂高速公路上以108km/h的速度行驶的小汽车，突然

发现同一车道的正前方100m处停有一辆故障车，由于无法从其他车道避让，司

机从发现前方故障车到开始制动有1s的反应时间，制动后小汽车以a=-6m/s2

的加速度做匀减速直线运动，请你通过计算判定这辆小汽车是否会与前方故隙车

发生追尾事故？

答案这辆小汽车会与前方故障车发生追尾事故

解析司机反应时间内小汽车做匀速直线运动，

［08

Vo=m/s=30m/s

由xi=oo/,代入数据解得xi=30m,

随后小汽车做匀减速直线运动，设减速到停下的位移为12,则加=2OT2,代

3O2

入数据解得也=六

2X7。m=75m,

从发现故障车到停下及通过的距离

x=xi+x2=105m,

x>l(X)m,故会发生追尾。

03h课后课时作业KEHOUKESHIZUOYE

A组：合格性水平训练

1%=如也"的理解卜多选)做匀减速直线运动的质点，它的加速度大小为a,

初速度大小为内，经过时间，速度减小到零，则它在这段时间内的位移大小可表

示为()

A.加+%户B.vot

C.VDt—2ai1D.%产

答案CD

解析质点做匀减速直线运动，取初速度方向为正方向，则加速度为一你根

据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，可得位移大小为x=。"一上凡A错误,

C正确；此运动可逆向看作初速度为零的匀加速直线运动，则D正确；

易知B错误。

21=如，+%~的应用卜质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第1()s内

的位移为19m,则其加速度大小为()

A.1.9m/s2B.2.()m/s?

C.9.5m/s2D.3.0m/s2

答案B

解析质点是从静止开始运动的，设加速度为a,则位移工二%巴第l()s内

的位移等于前10s内的位移与前9s内的位移之差，故第10s内的位移为

-2a,92m=19m,解得a=2.0m/s2,B正确。

3.(广加+；"的应用卜质点以一定的初速度向东做匀变速直线运动，其位

移与时间的关系为：x=(10r-/2)m,则()

A.质点初速度为10m/s

B.质点的加速度大小是1m/s2

C.质点的加速度大小是4m/s2

D.在第2s末，质点在出发点西边距出发点24m处

答案A

解析由工=加/+5尸=(10z—尸)m,则初速度。o=10m/s,a=-2m/s2,A

正确，B、C错误；第2s末，质点位移=(10/-f2)m=(10X2-22)m=

16m,为正值，故质点在出发点东边距出发点16m处，D错误。

4.（V2—ro=2ar的理解）（多选）关于关系式v2—vi=2a.x,下列说法正确的是

（）

A.此关系式对非匀变速直线运动也适用

B.X、00、4都是矢量，应用时必须选取统一的正方向

C.不管是加速运动还是减速运动，。都取正值

D.如和。是初、末时刻的速度，工是这段时间内的位移

答案BD

解析此关系式的适月范围是匀变速直线运动，A错误；该关系式为矢量式，

X、如、。都为矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度uo的方向为正

方向，方向与规定的正方向相同，取正值，方向与规定的正方向相反，则取负值，

B正确，C错误；次）和。分别是初、末时刻的速度，x是这段时间内的位移，D

正确。

5.（v2-vi=lcix的应用）做匀加速直线运动的物体，速度由v增加到2v时的

位移为x,则当速度由3。增加到4。时、它的位移是（）

A.|xB各C.3xD.4x

答案B

解析根据匀变速直线运动的速度与位移关系式，得速度从。增加到2。时有

（2v）2—v2=2ax,速度从3。增加到4V时有（432-到0）2=2“，联立两式得，『

7

=gx,B正确。

6.（方一捕=2ax的应用）如图所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A

的长度是L,B的长度是2Lo一颗子弹沿水平方向以速度Pi射入A,以速度。2

穿出B。子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速

度为（）

答案C

解析设子弹的加速度为。，贝h

应一讲=2a3L

vk-v]=2a-L

由两式得子弹穿出A时的速度OA=~C正确。

7.（工=卯/+%尸的应用）一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每

隔15m有一棵树，如图所示，汽车通过A、B两棵相邻的树用了3s,通过B、C

两棵相邻的树用了2s,求汽车运动的加速度和通过树A时的速度为多少？

答案1m/s23.5m/s

解析设汽车经过A点时的速度为a），加速度为0,对AB段运动，由位移

与时间关系式得，xi=oo/i+；m?,

对AC段运动，由位移与时间关系式得，

其中xi=15m,X2=30m,力=3s,（2=5s,

联立两式，并代入数据得：

a=1m/s2,如=3.5m/s。

8.（m一褚=2ar的应用）某同学坐在沿直线匀加速行驶的小汽车中观察速度

计指针的位置变化，若开始时指针在图中a位置，经5s指针在图中〃位置，求:

（1）指针在图中a、匕位置时小汽车的速度大小;

(2)小汽车做匀加速运动的加速度大小：

(3)这5s内小汽车运动的位移大小。

答案(1)10m/s30m/s(2)4m/s2(3)100ni

解析(1)小汽车在。位置时vo=36km/h=10m/s；

小汽车在b位置时vt=108km/h=30m/s。

(2)小汽车的速度由。到人的过程有，s=oo+s,

解得：a=4m/s2o

(3)小汽车的速度由〃到/?的过程有，7#—7京=2ar,

解得：x=100mo

B组：等级性水平训练

9.(综合)一辆汽车以20m/s的速度沿平直路面行驶，当汽车以5m/s2的加速

度刹车时，则汽车在刹车后2s内与刹车后6s内的位移之比为()

A.1：1B.3：4C.3：1D.4：3

答案B

解析汽车刹车后最终停下，应先求汽车由开始刹车到静止的时间，由

7,—7)r\0—20

加+〃，得/=七-=--s=4s,即刹车后汽车仅能运动4s,刹车后6s内的

位移即刹车后4s内的位移。因为X2=oo力20X2+；X(—5)X22m=30

m,X6=X4=20X4+；X(—5)X4?m=40m,