26.3 第2课时 求一元二次方程根的近似值（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

##拓展知识点1.抛物线与y轴交点：令\(x=0\)，得\(y=c\)，交点\(\boldsymbol{(0,c)}\)2.抛物线与x轴两交点之间距离：\(|x_1-x_2|\)##三、基础例题例：二次函数\(y=x^2-2x-3\)令\(y=0\)，\(x^2-2x-3=0\)，解得\(x_1=3,x_2=-1\)\(\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=16>0\)抛物线和x轴交于\((-1,0)\)、\((3,0)\)，方程两个不等实根。例：\(y=x^2-4x+4\)\(\Delta=16-16=0\)，方程有两个相等实根\(x_1=x_2=2\)，抛物线与x轴只有1个交点\((2,0)\)。例：\(y=x^2+2x+3\)\(\Delta=4-12=-8<0\)，方程无实数根，抛物线与x轴**没有交点**。##四、基础过关1.二次函数\(y=x^2-5x+6\)，令\(y=0\)，方程是________，\(\Delta=\)____，抛物线与x轴有___个交点。2.抛物线\(y=x^2-6x+m\)与x轴只有一个交点，则\(m=\)____。3.若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)无实数根，则抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与x轴交点个数为____。<details><summary>答案</summary>1.$x^2-5x+6=0$；1；22.$9$3.$0$</details>##五、易错题判断√/×1.抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与x轴有交点，则\(\Delta\ge0\)（√）2.\(\Delta>0\)，抛物线一定经过x轴两个点（√）3.方程无实根，函数图像一定在x轴上方（×，要看a正负；\(a<0\)图像全部在x轴下方）##六、练习题###一、选择题1.抛物线\(y=x^2-4x+3\)与x轴交点个数（）A.0B.1C.2D.无法确定2.若抛物线\(y=2x^2+3x+m\)与x轴只有一个交点，则m的值为（）A.\(\dfrac98\)B.\(-\dfrac98\)C.\(\dfrac89\)D.\(-\dfrac89\)###二、填空题3.二次函数\(y=-x^2+2x+3\)，对应方程\(-x^2+2x+3=0\)的根是________；抛物线与x轴交点坐标________。4.抛物线\(y=x^2-2x+k\)与x轴有两个交点，则k的取值范围________。###三、解答题5.已知二次函数\(y=x^2-2x-8\)(1)求判别式\(\Delta\)；(2)求抛物线与x轴交点坐标；(3)写出当\(y=0\)、\(y>0\)、\(y<0\)时，x的取值范围。<details><summary>参考答案</summary>1.C2.A3.$x_1=3,x_2=-1$；$(3,0),(-1,0)$4.$k<1$5.解：(1)\(\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-8)=36>0\)(2)令\(y=0\)，\(x^2-2x-8=0\)，\((x-4)(x+2)=0\)，\(x_1=4,x_2=-2\)交点：\((4,0),(-2,0)\)(3)\(y=0\)时，\(x=4\)或\(x=-2\)\(y>0\)，\(x>4\)或\(x<-2\)\(y<0\)，\(-2<x<4\)</details>要不要继续下一节**26.3第2课时用二次函数求一元二次方程的近似根**？或者我给你一份本节不带答案的练习题？相关视频今天23:05一元二次方程根的判别式是什么？如何用配方法将一般式化为顶点式？求抛物线与x轴交点坐标的步骤是什么？人教版（新教材）数学九年级上册26.3第2课时求一元二次方程根的近似值授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

时

间：.

2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十六章二次函数123

会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。初步掌握利用函数图象求一元二次方程近似根的方法；通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的抽象概括能力。情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习利用函数的图象求下列方程组的解：

(1);(1)解：分别画出两个函数的图象，其交点为

，

，因此方程组的解为

，.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习利用函数的图象求下列方程组的解：

(2).(2)解：分别画出两个函数的图象，其交点为

，因此方程组的解为.根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题，下面来看一个实际问题.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵．基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少0.1万棵，设每棵定价提高到t元(30<t≤50)，每年的销售总收入为y万元．①求y关于t的函数关系式；解：①由题意得，销售量为

（万棵），

∴每年的销售总收入

；情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵．基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少0.1万棵，设每棵定价提高到t元(30<t≤50)，每年的销售总收入为y万元．②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求t的值．解：②由题意得

，整理得

，解得

，

，∵30<t≤50，∴.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外．以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高．

请根据上述信息，完成下列问题：(1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋bx＋0.8，求a,b的值；(1)解：由题意得，抛物线经过

，对称轴为直线

，∴,解得

；

∴

，

；情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习(2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？(2)解：由(1)可得原抛物线的表达式为

，配方可得

，由题意，新抛物线的表达式为

，即

，当y=0时，

，解得

，

（舍去），∴

（米）,∴改造后圆形喷水池的直径至少18米．情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习(1)用描点法作二次函数y=x2+2x−10的图象；你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x−10=0的根吗？(2)观察估计二次函数y=x2+2x−10的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知，图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在−5与−4之间,另一个在2与3之间(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).分别约为−4.3和2.3.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习(3)确定方程x2+2x−10=0的解.由此可知,方程x2+2x−10=0的近似根为:x1≈−4.3,x2≈2.3.其横坐标一个在−5与−4之间,约为−4.3.其横坐标另一个在2与3之间,约为2.3.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习(3)确定方程x2+2x−10=0的解.由此可知,方程x2+2x−10=0的近似根为:x1≈−4.3,x2≈2.3.由画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的.你能求出此方程正根更加精确值吗？情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习

对于方程x2+2x−10=0的解.我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，例如，取2和3的平均数2.5，当x=2.5时，y=1.25>0，与自变量为2时的函数值异号，所以这个根在2和2.5之间，再取2和2.5的平均数2.25，当x=2.25时，y=−0.4375<0，与自变量为2.25时的函数值异号，所以这个根在2.25和2.5之间.重复上述步骤，可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.归纳总结

利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根的一般步骤①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；②观察估计二次函数的图象与直线y=h的交点的横坐标；③确定一元二次方程ax2+bx+c=h的解.1.返回[邯郸校级期中]如图，以点(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解x的范围是(

)A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6C返回2.下表是小江对方程x2－9.25x＋10＝0的一个解x进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的x的范围是__________．1<x<1.5x00.511.52x2－9.25x＋10105.6251.75－1.625－4.5返回3.根据表格写出一元二次方程x2＋x－1＝0的小于0的近似解x≈______．(精确到小数点后一位)－1.6x－1.7－1.65－1.6－1.55－1.5x2＋x－10.190.07－0.04－0.15－0.25情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习解：一元二次方程

的根，就是二次函数

中函数值y=0时对应的自变量x，下列表格中是二次函数

的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程

的一个近似根是（

）A．6.7

B．6.8

C．6.9

D．7.0观察表格可知：当x=6.8时，y=−0.1，最接近0；当x=6.9时，y=0.2，距离0比−0.1更远；又∵y在x=6.8到x=6.9之间由负变正，说明y=0的根在6.8和6.9之间，∴x=6.8对应的函数值更接近0，∴一元二次方程的一个近似根是6.8．情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习

解：利用二次函数和一元二次方程的性质．由表格中的数据看出−0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选C．

情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习如图，点

，

在二次函数

的图象上，则方程

的一个根的近似值可能是（

）A．2.67

B．2.56

C．2.39

D．2.26解：由图象可知，当x=2.26时，y=−0.32；当x=2.56时，y=0.41；∴当y=0时，2.26<x<2.56，∴选项C符合.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习函数

y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程

ax2+bx+c=0的根是______________；不等式

ax2+bx+c>0的解集是______________；不等式

ax2+bx+c<0的解集是____________.3−1Oxyx1=−1，x2=3x<−1或

x>3−1<x<3不等式

ax2+bx+c>0的解集就是函数

y=ax2+bx+c的图象在x轴以上的部分（红色部分）所对应的x的取值范围.不等式

ax2+bx+c<0的解集就是函数

y=ax2+bx+c的图象在x轴以下的部分（绿色部分）所对应的x的取值范围.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习−12xyOy=−x2+x+2利用函数图象解下列方程和不等式：(1)①−x2+x+2=0；

②−x2+x+2>0；③−x2+x+2<0.①x1=−1，x2=2③x＜−1或

x＞2②−1＜x＜2情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习2Oxyy=x2−4x+4①x1=x2=2③无实数解②x≠2利用函数图象解下列方程和不等式：(2)①x2−4x+4=0；

②x2−4x+4>0；③x2−4x+4<0.情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习①无实数解③xx为全体实数②无实数解利用函数图象解下列方程和不等式：(3)①−x2+x−2=0；

②−x2+x−2>0；③−x2+x−2<0.xyOy=−

x2+x−2一元二次不等式的解法Δ

=b2−4ac二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根不等式

ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集不等式

ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集x2x1xyOOx1=x2xyOyxΔ＞0Δ＝0Δ＜0x1，x2没有实数根x＜x1或x＞x2x≠x1的一切实数全体实数x1＜x＜x2无解无解x1=x2=对于三个数a,b,c，用

表示这三个数中最小的数，例如,

，那么

的最大值为______．情境引入

新知探究

典例精析

本课总结

当堂练习解：作出

的图象，如图，实线部分即的

的函数图象，

，解得x=0或x=3，当x=0时，y=1，所以

的最大值为1．返回4.利用函数图象求一元二次方程

x2－2x－2＝0的近似解(精确到0.1)．解：方程

x2－2x－2＝0的根是抛物线y＝

x2－2x－2与x轴交点的横坐标．作出二次函数y＝

x2－2x－2的图象，如图所示．由图象可知，方程有两个实数根，一个在－1和0之间，另一个在4和5之间．先求－1和0之间的根，返回当x＝－0.8时，y＝－0.08；当x＝－0.9时，y＝0.205，因此，x＝－0.8是方程的一个近似根，同理，x＝4.8是方程的另一个近似根．所以方程

x2－2x－2＝0的两个近似根是x1＝－0.