浙江宁波市三锋联盟2025-2026学年高二下学期4月期中练习学科数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江宁波市三锋联盟2025-2026学年高二下学期4月期中练习数学学科试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边上一点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以.2.已知随机变量，则（）A.14 B.12 C.6 D.4【答案】B【解析】因为随机变量，所以，则.3.在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（）A.6种 B.12种 C.14种 D.28种【答案】C【解析】4位志愿者分到两个服务站，每个站至少1人，分组情况有三种：1人去，3人去：种2人去，2人去：种3人去，1人去：种总方案数：种4.在的展开式中，常数项为（

）A. B. C.120 D.160【答案】A【解析】二项式展开式的通项为（且），令解得，故常数项为.故选：A5.一批产品共有8件，其中有3件次品.随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】至少一件是次品，包含一件次品，一件正品和两件次品两种情况，故概率为.6.已知有2名男生和3名女生站成一排，其中女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法有（）A.24种 B.48种 C.72种 D.96种【答案】B【解析】解：先排3名女生，共有种；3名女生排好后，有4个空，2名男生不相邻，可以从4个空中任选2个进行排列，共有种，所以2名男生不相邻的情况，共有种.女生甲站在最左端，且2名男生不相邻的情况：先排2名女生，有种；排好后，有3个空，2名男生不相邻的站法有种，所以女生甲站在最左端，且2名男生不相邻，共有种，同理，女生甲站在最右端，且2名男生不相邻，也共有，因此，女生甲不站在两端，且2名男生不相邻的不同站法为种.7.若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最大值为（）A.4 B.7 C.10 D.13【答案】C【解析】由于的一条对称轴是，则，解得，当时，，要使在有唯一零点，所以，解得：，结合且，可得的最大值为10.8.已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由正弦定理得，即，其中，所以，其中，所以，因为为锐角三角形，所以，，故，，故，由于，解得，故，，由于，故，，21-tan2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某学校组织“传统文化”竞赛，有X，Y两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对X类问题的概率为，答对Y类问题的概率为，甲同学选择X类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（）A.甲同学在第一轮答对试题的概率为B.甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是Y类问题的概率为C.甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为D.甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为9【答案】ACD【解析】设选X类问题为A事件，选Y类问题为，甲同学答对题目为B事件，根据题意得：

，，，，在A选项中，根据全概率公式可得：，A选项正确；在B选项中，由条件概率公式可得：，其中，，因此，B选项错误；在C选项中，每轮答题独立，每轮答对概率为，服从二项分布，答对2道的概率：，C选项正确；在D选项中，答对个数服从二项分布，期望，D选项正确.10.已知，则下列选项正确的有（）A. B.展开式中的系数为-192C.展开式中的二项式系数最大项为第3项 D.当时，除以8的余数为1【答案】BD【解析】对于A，取，得，取，得，因此，A错误；对于B，展开式中的系数，B正确；对于C，展开式共7项，则展开式中的二项式系数最大项为第4项，C错误；对于D，当时，展开式的前6项都是整数，且都含有因数8，展开式的最后一项是1，因此除以8的余数为1，D正确.11.关于函数，以下结论正确的有（）A.的图象是轴对称图形 B.的最小值为C.是以为一个周期的周期函数 D.在上有4个零点【答案】ABC【解析】选项A：因为，所以是偶函数，即的图象是轴对称图形；选项B：，令，则，所以当时，取最小值，即的最小值为；选项C：，因此是以为一个周期的周期函数；选项D：令，即，解得或，当时，在上有一个解，当时，在上有三个解，，，因此在上有3个零点.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从正态分布，，则________.【答案】1【解析】由题意得，根据正态分布的对称性得13.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数是奇函数，则的最小值为________.【答案】【解析】由题意可知，因为为奇函数，所以，则，而时，；时，，则的最小值为．14.甲、乙、丙、丁4名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.则第3次传球之后球在乙手中的概率为________.【答案】【解析】第次传球之后球在乙手中，则当时，第次传球之后球不在乙手中，其概率为，第次传球有三分之一的可能传给乙，因此，于是，而，则是公比为的等比数列，即，当时，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.函数的图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，求函数在的最大值和最小值.解：（1）由正弦定理知:,为外接圆半径,原式可化为：，又因为在中，.，，，，，又，.（2）由（1）知，，，，由正弦定理得，，.19.某电竞俱乐部研发的两款AI对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出.假设每局比赛中，星锐获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局.（1）当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望；（2）当时，若两款机器人共进行局比赛，记事件表示“在前局比赛中星锐赢了局”.事件表示“星锐最终获胜”.求，，，值；（3）若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为.证明：当时，.解：（1）两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有1，3，5，则，，，的分布列为：135数学期望.（2）在前局比赛中星锐赢的局数时，第，局全胜，最终也无法获胜，所以；当时，仅当第，局全胜，最终才能赢得比赛，即；当时，第，局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即；当时，无论第，局什么结果，都能最终赢得比赛，即；综上所述，，，，（3）若共比赛局，在前局比赛中星锐赢