河北承德市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中联考数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北承德市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.24 B.48 C.72 D.96【答案】D2.设函数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A3.若随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】D4.现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（）A. B. C. D.【答案】B5.现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：30岁及以下30岁以上男15460女19690记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（）附：，.A. B.C. D.【答案】A6.已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（）A. B. C.1 D.【答案】C7.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B8.已知正整数p，q互素，且，则（）A.2071 B.2143 C.2219 D.2307【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则（）A. B. C. D.【答案】ABD10.若复数满足，则（）A.可能为实数 B.可能为纯虚数C.当的实部取得最大值时，为实数 D.当的虚部取得最大值时，不为纯虚数【答案】ABD11.对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点x1,y1,⋅⋅⋅,xn,yn，设，，记ax=x1-x,x2附：，，，.A. B.在上的投影向量为C.r=cosa【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量的分布列如表，01234则______.【答案】##13.若1+yx2x+ynn∈N,n≥3的展开式中的系数是xy【答案】814.设函数fx=2xlnx2-alnx，若，则的最大值为______【答案】①.②.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.一个盒子内有6个白球，3个红球，它们除颜色外完全相同，每次从盒子里随机抽出一个小球并记录.（1）若抽出小球后不放回，求第二次抽到白球的概率；（2）若抽出小球后放回盒子，记抽取6次后记录次白球，求.解：（1）记“第一次抽到白球”为事件A，“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到白球”为事件B，由题意PA=6由全概率公式可得，PB（2）由题意，每次抽到白球的概率为，因为是放回抽取，共抽取6次，所以记录的白球次数服从二项分布，即，因此E(X)=6×2316.已知函数，.（1）求的单调区间；（2）证明：.（1）解：，故当或时，；当时，，故的减区间为，的增区间为，.（2）证明：由题设f'x=x则s'x=x+1ex而f'1=故当时，；当时，，的减区间为，增区间为.若，则，故；若，则，故；若，则，故fx2=f综上，fx2≥fx17.设，已知，是方程的两个不同的解．（1）求；（2）求；（3）若，求复数虚部的平方．解：（1）．（2）是方程的解，，，，.（3）由（2）可得，设，代入，得，，由②可得a=1代入①式得，于是4b4-7b18.现有一处鱼塘，要进行合理养殖与合理捕捞.（1）若鱼塘中有600尾鱼，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘（该标记不会在短期损坏），第二次随机打捞20尾鱼，求这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记的概率；（用组合数的式子表示）（2）现进行养殖.（i）假设当鱼塘中鱼的尾数为时，年增长量为fX，捕捞量为gX，受到环境制约，考虑简单模型fX=kX900-X，且为常数.当600<X<900时，给出合理的（ii）当鱼塘中鱼的尾数为时，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘，第二次随机打捞25尾鱼后有1尾有标记，试给出的估计值（以使得仅1尾有标记的概率最大的的值作为的估计值）.解：（1）设为“这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记”，则PA=1-（2）（i）由题设年增长量为fX当时，年增长量fX取最大值，令X+fX-gX=450故当gX=X+kX900-X（ii）设，由题设仅1尾有标记的概率为，令C301CN-3024故，故的估计值为或.19.已知函数fx=x2-asinxln（1）当时，求的方程；（2）证明：函数gx=x-lnx-1-（3）当时，证明：曲线与有且仅有一个公共点.（1）解：，求导得，所以，而，所以切线方程，即.（2）证明：，求导得，换元，令，则，，只需证-1e即证明12t+12求导得h'二次求导得h''t=1+e-t>0所以在上增，而h'0=0+1-1=0所以在为负，为正，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，取最小值时，所以，对恒成立，且只在处，所以在上单调递减.（3）证明：，，所以，而f1=1-sin所以切线方程为y-1=1x-1，即，令px=fx-x=下面分别证明时，，设函数，，且只在孤立的点x=2kπ,k∈Z为0，所以在上增，所以时，，即，所以时，,当时，，所以sinxlnx<x所以px令qx=x-1-q'x=1-1x所以qx>q1=1-1-0=0当时，由（2）可知，gx=x-lnx-1-