河南省南阳市名校2025-2026学年高二下学期阶段性学情检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市名校2025-2026学年高二下学期阶段性学情检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，观察可得该数列的通项公式可以为.2.已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（）A.组 B.组 C.组 D.组【答案】B【解析】因为，所以线性相关程度最弱的是组.3.某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（）A.7.5kg B.6.5kg C.7kg D.6kg【答案】A【解析】设该网店的衣服7个尺码最适合的人的体重从小到大为数列，则为等差数列，，，所以该数列的公差，故相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为7.5kg.4.在等比数列中，，是方程的两个解，则（）A. B. C.25 D.【答案】A【解析】由韦达定理得，得，，因为，所以.由等比数列的性质得，得（正根舍去）.5.在数列中，，，则（）A. B. C.3 D.4【答案】D【解析】因为，，，，所以数列的周期为4，故．6.已知等比数列的前项和为，且，，则（）A.80 B.100 C.105 D.125【答案】C【解析】易得的公比，则，，成等比数列，所以，得.7.设等差数列的前项和分别为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为等差数列的前项和分别为，且，可设，，，所以.8.已知数列是首项为3的正项数列，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，由，，可得，得.由，得，又，所以，故“”是“”的必要条件.取（满足），（满足），（满足），此时对，原不等式要求：，但，原不等式不成立，因此：推不出原不等式成立，不是充分条件，综上，是原不等式成立的必要不充分条件.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小张读完某本书共需要10个小时，若他在3月1日、3月2日均未读这本书，且在3月3日读了28分钟，从3月4日开始，每天读这本书的时间比前一天多4分钟，已知他在3月份只读这一本书，则（）A.他在3月5日读了32分钟 B.他在3月6日读了40分钟C.他在3月11日读了1个小时 D.他在3月14日正好读完这本书【答案】BCD【解析】设小张在3月3日、3月4日、3月5日……当天读这本书的时长分别为分钟、分钟、分钟……，依题意可知数列成等差数列，且首项为28，公差为4，则，，，所以他在3月5日读了36分钟，在3月6日读了40分钟，在3月11日读了1个小时．因为，所以他在3月14日正好读完这本书．10.已知相关系数，关于的线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，已知变量与变量的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为；以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为，若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（）A.若已知变量的方差，则可得知变量的标准差B.若已知变量的方差，则不可得知变量的标准差C.若不给定其他信息，则也可得知变量与变量各自的平均值D.若不给定其他信息，则也可得知变量与变量的相关系数【答案】ACD【解析】对于D，以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为，故，以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为，故，故，且回归系数为负数，故相关系数，D正确.对于A，设变量与变量的标准差分别为，，则，，，所以即，代入已知数据得，即，若已知变量的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确.对于B，若已知变量的方差，即可求得，进而代入求得，B错误.对于C，线性回归直线经过样本中心点，代入两个回归方程得与，联立解得，，故不给定其他信息也可得知变量与变量各自的平均值，C正确.11.给定数列（且），若对任意的，都有，则称数列为指数型数列，则下列说法正确的是（）A.若数列为指数型数列，且，则B.“数列是指数型数列”是“数列是等比数列”的充要条件C.若数列满足，且是指数型数列，则D.若数列是指数型数列，且，则数列中存在不同的三项构成等差数列【答案】AC【解析】令，则​，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以通项公式为，又因为，，所以，所以，故A正确；由A可知，“数列是指数型数列”，则“数列是等比数列”；若是等比数列，设公比为，则，，，，因为且，当时，显然，则不满足指数型数列的定义，所以“指数型数列”是“等比数列”的充分不必要条件，故B错误；因为，则，所以是以2为公比的等比数列，则，又是指数型数列，所以又因为，所以，即故C正确；​若数列是指数型数列，且，则，假设存在不同的三项构成等差数列，则​，即，化简得，左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，即不存在不同的三项构成等差数列，故D错误；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的前项和为，且，则_____________.【答案】【解析】由，得.13.在等比数列中，已知，，则____________.【答案】128【解析】设等比数列的公比为，由，得，因为，所以.14.细胞A有两种状态：活跃和休眠.该细胞每秒的状态转移规律如下：若细胞A这一秒为活跃状态，下一秒仍保持活跃状态的概率为，转为休眠状态的概率为；若细胞A这一秒为休眠状态，下一秒转为活跃状态的概率为，保持休眠状态的概率为.已知细胞A第1秒为活跃状态，则第3秒为休眠状态的概率为____________，第秒为活跃状态的概率____________.【答案】①.②.【解析】因为细胞A第2秒为活跃状态，且第3秒为休眠状态的概率为，第2秒为休眠状态，且第3秒为休眠状态的概率为，所以细胞A第3秒为休眠状态的概率为.设细胞A第秒为活跃状态的概率为，则第秒为休眠状态的概率为，第秒为活跃状态的概率为，得，得，又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，故，即.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.河南省三门峡市被誉为“天鹅之城”.每年秋冬季节，成千上万的白天鹅如期飞临“天鹅之城”，拉开了三门峡“白天鹅旅游季”的精彩序幕，推动三门峡市冬季旅游市场热度持续攀升.为了了解游客对天鹅的喜爱程度与性别的关系，某机构随机调查了300名现场游客（男、女游客人数相等），绘制了不完整的列联表如下：单位：人性别喜爱程度总计一般喜爱非常喜爱男女总计300已知男游客中非常喜爱天鹅的频率为0.6，女游客中一般喜爱天鹅的频率为0.2.（1）补全列联表；（2）是否有99%的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关？附：，.当时，有99%的把握判断变量，有关联.解：（1）由题意得男、女游客的人数均为150，男游客中非常喜爱天鹅的频数为，一般喜爱天鹅的频数为，女游客中一般喜爱天鹅的频数为，非常喜爱天鹅的频数为列联表如下：性别喜爱程度总计一般喜爱非常喜爱男6090150女30120150总计90210300（2），因为，所以有99%的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关.16.已知数列的前项和为，且，.（1）求；（2）求的通项公式；（3）设数列的前项和为，证明：.（1）解：方法一:由，得；方法二:由，得，得；（2）解：因为，所以Sn-1=2则，得an=2又，所以an=所以；（3）证明：设，则时，，当时，bn=所以，故.17.在数列和中，，，.（1）证明：是递增数列.（2）证明：是等比数列，是等差数列.（1）证明：，当为偶数时，，当为奇数时，，则，所以是递增数列；（2）证明：由题意得，，由，得，则，两式相减得，得，得，因为，所以，得，则，有，，则，，所以是首项为，公比为4的等比数列，是首项为，公差为2的等差数列.18.某产品当月的销售额（单位：千元）与当月的宣传费（单位：千元）有关，且与的成对数据如下表：14916252040506080（1）判断与是正相关还是负相关；（2）由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，求关于的回归方程；（3）已知该产品每个月除宣传费外的其他成本（单位：千元）为，请你预测该产品月利润的最大值，并求当月的宣传费.（月利润=月销售额-月成本）附：在线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.解：（1）当逐渐增大时，逐渐增大，所以与是正相关.（2）设，则，，则，故关于的回归方程为，（3）由题意得该产品的月成本，则月利润为，当，即时，该产品的月利润最大，且最大值为，故预测该产品月利润的最大值为24000元，当月的宣传费为16000元19.在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”．（1）若，判断是不是“组差数列”，并说明理由．（2）若是“组差数列，且为定值，证明：．（3）记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立．（1）解：是“组差数列”，理由如下：由，得，当时，，则