河南省天立教育2025-2026学年高二下学期阶段教学质量监测（一）数学试题卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省天立教育2025-2026学年高二下学期阶段教学质量监测（一）数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（）A.18 B.16 C.12 D.8【答案】B【解析】由，则，即，则曲线在点处的切线方程为，即，联立，得，则，解得.2.已知函数与其导函数的图象如图所示，则（）A.曲线为函数的图象 B.C.在单调递增 D.在单调递减【答案】D【解析】若曲线为函数的图象，当时，，所以在上单调递增，而曲线在上先减后增，不合题意，所以曲线为函数的图象，所以曲线为函数的图象，故A错误；由A可知在上单调递减且为偶函数，所以，故B错误，D正确；在上先增后减，故C错误；故选：D.3若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，可知，，，∵，∴，令，，则，∵，令，∵，∴，即对于任意的，恒有，∴在上单调递增，∴.4.已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】由，求导可得：，由，得或，由，得，所以在单调递增，在单调递减，所以当时，极大值为4，即当时，，又当时，极小值为0，当时，，且函数在单调递减，在单调递增，即当时，，当时，，综上可知不等式的解集为，故选：D.5.已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.e【答案】B【解析】由已知得，因为在区间上单调递减，所以在上恒成立，即，得，令，则，令，得，当时，，单调递减，当时，单调递增，又，所以a的最小值为．6.已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数，所以单调递增，,选项A：计算而在时趋向，故A错.选项B：因为得B错.选项C：计算C错.选项D：计算，函数，所以，得D正确.故选：D.7.过作函数切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为，因切线经过点，则得，化简得，显然，则得，又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点.的定义域为，函数求导得，则当时，，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，当时，，当时，，当时，.作出函数的图象如下：由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或.故选：D8.已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A选项，，，令，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，，则，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点，所以，函数有“巧值点”；对于B选项，，则，由可得，即，矛盾，所以，函数没有“巧值点”；对于C选项，，则，由可得，即，解得，所以，函数有“巧值点”；对于D选项，，则，由可得，即，解得，所以，函数有“巧值点”.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下列结论中正确的是（）A.B.函数的值域为RC.若是的极值点，则D.若是的极小值点，则在区间单调递减【答案】ABC【解析】，则，当即时，方程至多有1个实根，此时，函数在R上单调递增；当即时，方程有2个不等的实根，设为，且，则，；，，所以在上单调递减，在上单调递增.A：当时，；当时，，所以，故A正确；B：由选项A知，的值域为R，故B正确；C：若是的极值点，则，故C正确；D：若是的极小值点，则，在上单调递增，在上单调递减，故D错误.故选：ABC10.已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由，得，，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，，，与有2个交点时，，满足题意的为BD.故选：BD.11.设函数与直线交于两点，，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】函数定义域为对于A：，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以，故A正确；对于B：由A得，故错误；对于C：由，可令，，假设，即，由的单调性可知，只需，，即，设，则，可得在上单调递增，则有，即，即，故成立，故C正确；对于D：因为，所以，令，所以，即证，设，所以，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.不妨令，即证，即证，令，因为，因为，所以，所以，则在上单调递减，则，所以得证，故D正确.故选：.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______．【答案】##【解析】由求导得，则，故切线方程为，令，得，令，得，即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.13.若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是______个.【答案】3【解析】，则由题、是方程的两根，所以可得或．函数定义域为R，因为，所以时，时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，作出函数草图如图所示：由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3.故答案为：3．14.已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______.【答案】【解析】，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.当时，当时，该函数单调递增，所以，所以对任意，都有，一定有成立，解得，这与相矛盾，不符合题意；当时，当时，，所以对任意，都有，一定有成立，而，所以；当时，设表示两数中最大的数，因为当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.所以当时，，对任意，都有，一定有且，解得，综上所述：，所以的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，且存在，使得成立，求的取值范围．解：（1）当时，，有，由，有，故曲线在点处的切线方程为．（2），其中，，时，，时，,故在上单调递减，在上单调递增.若，则时，，不符合题意；若，则时，，由题意，有，即，因为，有，即，得，故的取值范围是．16.已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证：当且时，.（1）解：函数的定义域为，

,令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增所以的单调递减区间是，单调递增区间是；极小值为，无极大值.（2）证明：令，则

，由（1）可知，即的最小值为，已知，代入得：

，因此对任意恒成立，故在上单调递增，当时，，即：

得证.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在，，，使得，求的最大值.解：（1）由题得，.若，则在上恒成立，所以在上单调递减；若，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）得，若存在，，使得，则必有，由.所以等价于，即，化简得：.设，，则，所以在上单调递减，所以，此时，.所以当，时等号成立，所以的最大值为.18.设函数．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求a的取值范围；（3）当时，若满足，求证：．（1）解：时，，对函数求导得.所以.所以的图象在处的切线方程为，即.（2）解：由得.因为在上单调递增，所以.若，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，若，令得或，且.当时，，单调递减，所以，与在上恒成立矛盾，综上所述，的取值范围是.（3）证明：当时，，所以在上单调递增，又，所以时，时，.若，则，不合题意；若，则，不合题意，所以.设，则.所以在上单调递增，因为，所以.因为，所以.又，所以，即.又在上单调递增，所以，即.所以，即.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，函数有两个零点，，求证：.（1）解：函数，其定义域为，∴.当时，恒成立，∴在上单调递增；当时，令，解得，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）解：由题意，∴即.∵，∴不等式可化为，