2026-2027学年河南省郑州市第八十二中学九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河南省郑州市第八十二中学九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A.ax2+bx+c=0 B.x（x-3）-x2=0 C. D.x2+x=42.下列说法错误的是（）A.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B.矩形的对角线相等

C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D.对角线相等的菱形是正方形3.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0.05（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.264.若将一元二次方程x2-6x+8=0化成（x+m）2=n的形式，则m+n的值为（）A.-2 B.-3 C.2 D.15.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A. B.

C. D.6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，E，F，G，H分别为四边的中点，连接EF，FG，GH，HE，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为（）A.10

B.12

C.14

D.157.小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB=60°，则图2中对角线AC的长为（）

​

A.20cm B. C. D.8.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2.求车道的宽度（单位：m）.设停车场内车道的宽度为xm,根据题意可列方程为（）A.（40-x）（22+x）=520 B.（40-x）（22-x）=520

C.（40+x）（22+x）=520 D.（40+x）（22-x）=5209.对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法.以方程x2+8x=48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22=64，则该方程的正数解为8-2×2=4.小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c=0，构造如图2所示的图形.若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c=0的正数解是（）A.4 B.5 C.6 D.710.如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE=AP=1，PB=．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为；③S△APD+S△APB=；④S正方形ABCD=2．其中正确结论的序号是（）A.①③④

B.①②③

C.②③④

D.①②③④二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.方程的根是

.12.已知α，β是一元二次方程x2-3x+1=0的两根，则α2-3α+αβ的值是

.13.关于x的一元二次方程mx2+4x-2=0有实数根，则m的取值范围是

.14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=4.点D是BC的中点，AD=，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则CE的长度为

.

15.如图，长方形ABCD中，AD=3，AB=5，点E是射线DC上一动点（不与C、D重合），将△DAE沿着AE所在的直线折叠得到△FAE，连接FB.当△ABF是直角三角形时，DE的长为

.

三、计算题：本大题共2小题，共21分。16.解一元二次方程：(1)（x-1）2-4=0（运用适当的方法）(2)4x2-6x-3=0（公式法）(3)（3x-1）2=2（3x-1）（分解因式法）17.2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套(1)求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率(2)从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？四、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题8分)

小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与证明：

（1）（尺规作图）在菱形ABCD中，AC，BD交于点O.在CD右侧作∠DCE=∠BDC，在CE上截取CF=OB，连接DF.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）求证：四边形OCFD是矩形.19.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2-4x-m（m+4）=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值.20.(本小题8分)

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，过BC的中点D作DE∥AC交∠ACB的平分线于点E，连接AE(1)求证：四边形ACDE为菱形(2)若BC=4，求菱形ACDE的面积21.(本小题9分)

在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=12cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）(1)当t为何值时，PQ的长度等于10cm？(2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于90cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由22.(本小题10分)

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根分别是x1，x2（x1＜x2），若x1，x2为整数，则称（x1，x2）为“Deep”点.

（1）x2+5x+4=0______（填是或否）存在“Deep”点；

（2）若关于x的一元二次方程：x2+bx+c=0的“Deep”点为（2，3），求b,c的值；

（3）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0是否存在一个“Deep”点，且该点在直线y=-2x+2上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.23.(本小题11分)

在菱形ABCD中，∠B=α（0°＜α≤90°），点O′在对角线AC上运动（点O′不与点A，点C重合），，以点O′为顶点作菱形A'B'C'O'；且菱形A'B'C'O'与菱形ABCD的形状、大小完全相同，即A′B′=AB，∠B′=∠B，在菱形A'B'C'O'绕点O′旋转的过程中，O'A'与边BC交于点E，O′C′与边CD交于点F.

【特例感知】

（1）如图1，当α=90°，时，则CE，CF，BC之间满足的数量关系是______；

【类比探究】

（2）如图2，菱形的边长为8，α=60°，求CE+CF的值（用含k的代数式表示）；

【拓展应用】

（3）在（2）的条件下，连接O′B，O′B=7，，求CE的长度.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】A

11.【答案】

12.【答案】0

13.【答案】m≥-2且m≠0

14.【答案】

15.【答案】1或9

16.【答案】【小题1】（x-1）2-4=0，

（x-1）2=4，

x-1=±2，

∴x-1=2或x-1=-2，

解得x1=3，x2=-1【小题2】4x2-6x-3=0，

a=4，b=-6，c=-3，

∵Δ=（-6）2-4×4×（-3）=84＞0，

∴，

解得x1=，x2=【小题3】（3x-1）2=2（3x-1），

（3x-1）2-2（3x-1）=0，

（3x-1）（3x-1-2）=0，

（3x-1）（3x-3）=0，

∴3x-1=0或3x-3=0，

解得x1=，x2=1

17.【答案】【小题1】设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x,

根据题意得：256（1+x）2=400，

解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不符合题意，舍去）．

答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为25%【小题2】设该组合套装的售价为y元，则每套的销售利润为（y-40）元，月销售量为400+20（58-y）=（1560-20y）套，

根据题意得：（y-40）（1560-20y）=4800，

整理得：y2-118y+3360=0，

解得：y1=48，y2=70（不符合题意，舍去）．

答：当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4800元

18.【答案】见解析；

见解析．

19.【答案】解答见解析；

-1或-3．

20.【答案】【小题1】证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，过BC的中点D作DE∥AC交∠ACB的平分线于点E，如图：连接AD，

∵DE∥AC，

∴∠ACE=∠DEC，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠DCE，

∴∠DEC=∠DCE，

∴CD=DE，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，

∴∠ACB=60°，

∵D是BC的中点，

∴，

∴△ACD是等边三角形，

∴AC=CD，

∴AC=ED，

∴四边形ACDE为平行四边形，

∵AC=CD，

∴四边形ACDE为菱形【小题2】解：如图：设AD，CE相交于点O，

∵D是BC的中点，

∴，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，

∴∠ACB=60°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠DCE=12∠ACB=30°"data-ext-data="{"source":"saber_editor"}"width="222"height="33"style="width:222px;height:33px;"alt=""title=""/>，

∵四边形ACDE为菱形，

∴AD⊥CE，AD=2OD，CE=2OC，

∴，

∴，

∴菱形ACDE的面积为

21.【答案】【小题1】由题意可知，AP=2tcm,BQ=4tcm,则PB=AB-AP=（10-2t）cm,

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

在Rt△PBQ中，由勾股定理得：PB2+BQ2=PQ2，

即（4t）2+（10-2t）2=102，

解得：t1=2，t2=0（不合题意，舍去），

答：当t为2时，PQ的长度等于10cm【小题2】不存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于90cm2，理由如下：

∵矩形ABCD中，AB=10cm,BC=12cm,

∴矩形ABCD的面积为：10×12=120（cm2），

∵五边形APQCD的面积等于90cm2，

∴S△PBQ=120-90=30（cm2），

即×4t×（10-2t）=30，

整理得：2t2-10t+15=0，

∵Δ=b2-4ac=（-10）2-4×2×15=-20＜0，

∴原方程无实数根，

∴不存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于90cm2

22.【答案】是；

b=-5，c=6；

存在，m=-1

23.【答案】（1）CF+CE=BC；

（2）如图2，过点O′作O′G∥AB，交BC于G，

∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O′是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，α=60°，

∴AB=BC=CD=AD=A′B′=B′C′=C′O′=O′A′=8，∠B=∠D=∠B′=∠A′O′C′=60°，

∴△ABC、△ACD均为等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°，AC=AB=8，

∵O′G∥AB，

∴∠CO′G=∠BAC=60°=∠O′CG，

∴△O′CG是等边三角形，

∴O′G=CG=O′C=k•AC=8k,

∵∠EO′G+∠CO′E=∠CO′E+∠CO′F′=60°，

∴∠EO′G=∠CO′F，

∴△O′EG≌△O′FC（ASA），

∴EG=CF，

∵