河北省邢台市卓越联盟2026届高三下学期4月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市卓越联盟2026届高三下学期4月质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，或，则（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】由题得，，，，只有选项D正确.2.设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，由题意得，所以，所以解得，所以.3.在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，所以，所以，所以.4.已知，，则（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】由题意得，，所以.5.设，，且，则的最小值为（）A.12 B.9 C.8 D.4【答案】B【解析】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9.6.某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第百分位数恰为这组数据的众数，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】将数据从小到大排列为5，6，8，8，9，10，11，12，众数为8，则这组数据的第百分位数为8，又，若为整数，则，解得；若不为整数，则或，解得或，综上，.7.设，已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得，即，所以，所以，解得（舍去）.8.已知抛物线与圆有且仅有一个公共点，则实数（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】由题意得圆，则圆心，半径为，其中为的焦点.设与圆的公共点为，则.由题知上满足条件的点有且只有一个，由抛物线C和圆F均关于x轴对称，故两曲线公共点在x轴上，即为原点，则与原点重合，所以，即，解得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.的图象关于轴对称的图象恰为的图象C.两函数没有相同的零点D.两函数在上单调性相同【答案】BCD【解析】对于A，由题得，所以，又，所以，A错误；对于B，，所以两函数图象关于轴对称，B正确；对于C，令，，，解得，；令，，，解得，，令，，，则，，，无解，C正确；对于D，当时，，单调递减，可得，所以单调递减，D正确.10.已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被截得的弦长也为的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】双曲线关于轴、轴和原点对称若两直线关于轴、轴或原点对称，那么它们被双曲线截得的弦长相等.对于A，直线与直线关于轴对称，它们被双曲线截得的弦长相等，故A正确；对于B，直线与直线，它们既不关于轴对称，也不关于轴和原点对称，它们被双曲线截得的弦长不相等，故B错误；对于C，直线与直线关于原点对称，它们被双曲线截得的弦长相等，故C正确；对于D，直线与直线，它们既不关于轴对称，也不关于轴和原点对称，它们被双曲线截得的弦长不相等，故D错误.11.已知是定义在上的奇函数，，，若为偶函数，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因为为偶函数，所以，所以，所以，所以.又为奇函数，所以，所以，将替换为，得，所以，所以的周期为4，且.对于A：在中，令，得.又，所以，A错误；对于B：，B正确；对于C：，C正确；对于D：当时，，，，，所以，所以，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，满足，，则______．【答案】12【解析】由题得，又，作差得，所以，，所以．13.记等差数列的前项和为，，，则的最大值为______.【答案】42【解析】由题得，所以，又，所以，即，所以公差，所以，可得的前6项为正，第7项为0，从第8项起为负，所以的最大值为.14.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______.【答案】【解析】如图，取的中点，连接，，，则，，所以四边形是平行四边形，所以，同理.又，所以，所以，确定一个平面，即为平面.过作，垂足为点，因为平面，平面，所以，又，平面,所以平面，即.在中，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角，，所对的边分别为，，，，.（1）求的值；（2）若边上的高为，求的周长.解：（1）由，得，所以，由余弦定理得，即，得，所以，由余弦定理得.（2）由（1）得，，，所以的面积，又边上的高为，所以，所以，解得，所以的周长为.16.甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为，已知第一局甲队胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局.（1）求甲队第2局获胜的概率；（2）求比赛不超过4局且甲队获胜的概率.解：（1）记事件第局甲队胜，，.（2）记事件“比赛不超过4局且甲队获胜”，比赛结束时的局数，则；，所以.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）四棱锥的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积．（1）证明：因为底面是正方形，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：设交于点，过作，垂足为点，因为平面平面，平面平面，所以平面，又，，，所以，所以，所以，所以，以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，在，，所以，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，由得，取，得，设平面的法向量为，由得，取，得，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．（3）解：连接，由（2）知，又为的中点，所以，又，所以，所以四棱锥的所有顶点在球的球面上，所以球的半径，所以球的体积．18.已知椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，的短轴长比的长轴长小2.（1）分别求，的方程；（2）直线与交于，两点，与相切于点.（i）若为的中点，求的方程；（ii）直线过交于，两点，，证明：.（1）解：由题得，所以的离心率为，因为的离心率是的离心率的倍，所以，整理得①，又的短轴长比的长轴长小2.所以②，联立①②解得，，所以的方程为，的方程为.（2）（ⅰ）解：联立得，所以，化简得.且，所以，所以，即.设，.联立得，所以，化简得，且，，所以，所以，所以的中点坐标为，所以解得则此时直线或（ⅱ）证明：当时，为的短轴端点，为的短轴，所以，，所以；当时，由（ⅰ）可得，设直线，因为点在上，所以，解得，同理可得，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，即.综上，.19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有三个零点，，，其中，函数的两个极值点分别为，.（i）求的取值范围；（ii）证明：.（1）解：当时，，所以，所以，又，所以切线方程为，即；（2）（i）解：函数的定义域为，，由，得，即，由题意可得有三个零点，，，，令，则，①当时，，单调递增，且当时，；当时，，由零点存在定理可知存在正数，使得，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则在上最多有2个零点，不符合题意；②当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，若，则，所以，所以在上单调递减，不可能有三个零点；若，则，，且当时，；当时，，故由零点存在定理可知存在，，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，所以，即.又，当时，；当时，，所以由零点存在定理可知存在三个零点，，，所以有三个零点时，的取值范围