2026-2027学年天津市双菱中学高三（上）第一次阶段检测数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津市双菱中学高三（上）第一次阶段检测数学试卷（9月份）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|x<2},B={−1,1,2}，则A∪B=A.{1,2} B.{−1,1,2} C.{−1,1,2,3} D.{−1,0,1,2,3}2.“x>3”是“xx−4>1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，给出以下四个结论：

①D1C//平面A1ABB1

②A1D1A.①② B.③④ C.①④ D.②③4.已知函数f(x)=mx−2(m>0，且m≠1)恒过定点(a,b)，则在直角坐标系中函数g(x)=(1A.B.C.D.5.已知等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、TA.13 B.．12 C.35 6.已知函数f(x)=ln(x2−2x+3)+e|x−1|，设a=f(0)，b=f(log34)，c=f(A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a7.已知定义域为R的奇函数f(x)=(2x−a)5+mx4+nA.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(−∞,1) D.(−∞,0)8.已知非零向量a，b满足|a|=t，|b|=1t，a⋅bA.2 B.2 C.229.函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则以下说法正确个数为(

)

①A=23

②函数f(x)图象的对称中心为(−π3+kπ2,0)(k∈Z)

③f(A.1

B.2

C.3

D.4二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知i是虚数单位，复数6+32i11.二项式(3x−19x)8的展开式中的常数项为

12.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c=5b，C=2B，则cosA=

13.已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒中有3个正品和2个次品．其中正确结论的序号是

．

①若从甲盒中任取2个产品，这2个产品均为正品的概率为25

②若从甲盒中任取2个产品，这2个产品一个为正品一个为次品的概率为415

③若从甲盒中任取2个产品，这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率为47

④若从甲盒中任取2个产品，乙盒中取1个产品，则取到次品个数的期望为2315

⑤若先从甲盒中任取2个产品，将这2个产品放入乙盒，然后从乙盒任取114.已知向量a=(2,0)，|b|=1，则|a+b|的最大值为

；a+b15.若存在常数A，使得函数F(x)对任意实数x>0都有F(x)≥Ax成立，且等号能取到，则称y=Ax为F(x)的∗下托函数.以下说法正确的有

．

①函数f(x)=x+1x没有∗下托函数；

②函数g(x)=exx有∗下托函数；

③函数h(x)=lnx有∗下托函数y=−1三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

已知函数f(x)=23sinxcosx−2sin2x．

(1)若角α的终边与单位圆交于点P(35,45)17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，PA=2，AB=1，BC=1，AD=2，M是PD的中点．

(1)求证：CM//平面PAB；

(2)若AB⊥AD．

①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；

②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为1？若存在，求出BQBD18.(本小题15分)

等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知S3=−15，且a1，a3，−a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)当Sn取最小值时，求序号n19.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−ax2−bx−1．

(1)若a=0，b=1，证明：f(x)≥0；

(2)若a=12，且对任意x≥0，f(x)≥0，求b的取值范围；

(3)若20.(本小题15分)

已知函数f(x)=xlnx−mx2．

(1)当m≥12时，讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性；

(2)若x2−xf(x)>1对任意的x∈[e,e2]恒成立，求实数m的取值范围；1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】611.【答案】708112.【答案】713.【答案】①③⑤

14.【答案】3[0,

15.【答案】①③

16.【答案】解：(1)∵角α的终边与单位圆交于点P(35,45)，

∴sinα=45 , cosα=35，

f(α)=23sinαcosα−2sin2α=23×45×35−2×(45)2=243−3225；

17.【答案】证明：取PA中点N，因为M为PD中点，

所以MN/​/AD，且MN=12AD=1，

又因为BC=1，BC/​/AD，

所以BC/​/MN，且BC=MN，

所以四边形BCMN为平行四边形，即CM//BN，

因为BN⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，

所以CM/​/平面PAB

①18.【答案】(1)an=2n−9

(2)n=4，−1619.【答案】解：(1)证明：当a=0，b=1时，f(x)=ex−x−1，f′(x)=ex−1．

令f′(x)=0，得x=0．

当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)是单调递减函数；

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)是单调递增函数．

则f(x)min=f(0)=0，即f(x)≥0；

(2)当a=12时，f(x)=ex−12x2−bx−1，易得f(0)=0，

f′(x)=ex−x−b，f′(0)=1−b，

当b≤1时，结合(1)易得f′(x)=ex−x−b≥ex−x−1≥0，

所以f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数，

所以f(x)≥f(0)=0，符合题意．

当b>1时，令g(x)=f′(x)=ex−x−b，x∈[0,+∞)．

因为g′(x)=ex−1≥0，所以g(x)递增．

又g(0)=1−b<0，由(1)得ex≥x+1，将x换作x−1可得ex−1≥x，即ex≥ex，

所以g(be−1)=ebe−1−be−1−b≥e⋅be−1−be−1−b=0，

所以存在唯一的x0∈(0,be−1]，使得g(x0)=f′(x0)=0．

当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)<f(0)=0，不合题意．

综上，实数b的取值范围为(−∞,1]．

(3)若f(x)在R上单调递增，则f′(x)=ex−2ax−b≥0恒成立．

令g(x)=f′(x)，则g′(x)=ex−2a．

当a<0时，g′(x)>0，故g(x)=f′(x)在R上单调递增．

m<min{0,1−b2a}，则f′(m)=em−2am−b<1−2a×1−b2a−b=0，不合题意．

当a=0时，b≤ex20.【答案】解：(1)因为f(x)=xlnx−mx2，所以f′(x)=lnx+1−2mx，

令φ(x)=lnx+1−2mx，则φ′(x)=1x−2m=1−2mxx(x>0)，因为m≥12，

所以当0<x<12m时φ′(x)>0，φ(x)单调递增；当x>12m时φ′(x)<0，φ(x)单调递减，

故φmax(x)=φ(12m)=ln12m=−ln2m≤0(m≥12)，即f′(x)=φ(x)≤0，

故f(x)在(0,+∞)上单调递减．

(2)x2−xf(x)>1对任意的x∈[e,e2]恒成立，

即x−1lnx−mx>1对任意的x∈[e,e2]恒成立，因为x∈[e,e2]时x−1>0，

故