北京市石景山区第九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市石景山区第九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若全集U=x∈N0<x<7，集合A=1,3,4,5,6,B=1,2,4,5A.1,2,4,5 B.1,2 C.2,3 D.22.命题∀x>1,x2−m>1的否定是A.∃x>1,x2−m≤1 B.∃x≤1,x2−m≤13.已知2a=5，log83=bA.25 B.5 C.259 D.4.若a，b，c∈R且a>b>c，则下列不等式一定成立的是(

)A.a−b>b−c B.a+b>2c C.ac>bc D.a5.已知fx=4xA.fx为奇函数，且在0,+∞上单调递增

B.fx为奇函数，且在0,+∞上单调递减

C.fx为偶函数，且在0,+∞上单调递增

D.f6.函数fx=x2A. B. C. D.7.设x∈R，则“x−2<1”是“x2+x−6<0”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为1+1nn，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数n=8时，一年后本利和约为(参考数据：ln3≈1.099，A.e0.82 B.e0.95 C.e6.489.函数y=x−1•x−5的图象与直线y=k的交点个数的最大值为A.0 B.1 C.2 D.310.已知函数f(x)=a−x,x<0x+4x,x>0在定义域内有最小值，则实数A.−∞,2 B.2,+∞ C.−∞,4 D.4,+∞二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数fx=log12.若关于x的不等式|ax−2|<3的解集为{x|−53<x<13}13.已知定义在0,3上的函数，fx的图象如图所示，其导数为f′x，则不等式f′x<0的解集为

．14.已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y≥m215.已知函数fx的定义域为D，值域为A，函数fx具有下列性质：(1)若x，y∈D，则fxfy∈A；(2)若x，y∈D①函数fx②函数fx③存在x∈D，使得fx④对任意x∈D，都有f2x三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)(1)若不等式x2+ax+b<0的解集为x−1<x<2(2)解关于x的不等式a17.(本小题12分)已知函数fx(1)求函数fx(2)判断函数fx在−1,+∞上的单调性，并用函数单调性的定义(3)求函数fx在3,5上的最大值．18.(本小题12分)已知函数f(1)若a=0，求曲线y=fx的斜率为−4(2)求函数的单调递增区间；(3)若函数在−1,2上恰有1个零点，直接写出a的取值集合．19.(本小题12分)

已知函数f(x)=xln(x+1)．

(Ⅰ)判断0是否为f(x)的极小值点，并说明理由；

(Ⅱ)证明：f(x)x2>−20.(本小题14分)已知函数f(x)=e(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的最大值；(2)若a=2，是否存在x1，x2∈(0,2)，使得曲线y=f(x)在点x1,fx1和点x21.(本小题15分)设fx是定义在0,+∞的可导函数，且不恒为0，记gnx=fxxn(n∈N∗).若对定义域内的每一个x，总有gnx<0，则称fx为“(1)判断函数fx=−x2+x−1(x>0)(2)若fx=ax3−1(3)对任给的“2阶不减函数”fx，如果存在常数c，使得fx<c恒成立，试判断fx是否为“1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】D

10.【答案】D

11.【答案】2,+∞

12.【答案】−3

13.【答案】1,2

14.【答案】−4≤m≤2

15.【答案】②③④

16.【答案】解：(1)不等式x2+ax+b<0的解集为得x1=−1、x2则x1+x∴bx2+ax+1>0，即−2∴不等式bx2+ax+1>0(2)当a=0时，−2x+2≥0，解得x≤1；当a≠0时，ax令ax2−a+2x+2=当a<0时，2a<1，由ax−2x−1当0<a<2时，2a>1，由ax−2x−1≥0，解得当a=2时，2a=1，由ax−2x−1当a>2时，2a<1，由ax−2x−1≥0，解得综上所述，当a<0时，不等式的解集为x2当a=0时，不等式的解集为xx≤1当0<a<2时，2a>1，不等式的解集为当a=2时，不等式的解集为R；当a>2时，不等式的解集为xx≤

17.【答案】解：(1)由函数fx=2x−1x+1，则所以函数fx的定义域为−∞,−1(2)函数fx在−1,+∞任取x1,x则fx又x1,x2∈又x1<x所以fx1−f所以函数fx在−1,+∞(3)结合(2)有fx在−1,+∞则fx在3,5所以函数fx在3,5上的最大值为f

18.【答案】(1)解：因为a=0，所以fx=2设斜率为−4的直线与y=f(x)相切于(x令2x02+2x当x0=0时，切点为此时切线方程为y=−4x；当x0=−1时，切点为此时切线方程为：y−13即12x+3y−1=0；综上，所求切线方程为：y=−4x和12x+3y−1=0；(2)解：因为fx所以f′x令f’(x)>0，得所以函数的单调递增区间为(−∞,−2),(1,+∞)；(3)解：令fx则−a=2令g(x)=2则g′(x)=2x所以当x∈[−1,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1,2]时，g′(x)>0，g(x)单调递增；所以g(x)min=g(1)=−73又因为函数在−1,2上恰有1个零点，即直线y=−a与y=g(x)的图象在−1,2上只有一个交点，如图所示：由此可得−a=−73或解得a=73或所以实数a的取值集合为[−

19.【答案】解：(Ⅰ)0是f(x)的极小值点，理由如下：

对函数求导得f′(x)=ln(x+1)+xx+1，

当x>0时，ln(x+1)>0，xx+1>0，所以f′(x)>0．

当−1<x<0时，0<x+1<1，可知ln(x+1)<0，xx+1<0，所以f′(x)<0．

所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，在区间(−1,0)上单调递减．

所以0是f(x)的极小值点．

(Ⅱ)证明：f(x)x2>−12x+1，即ln(x+1)x>−12x+1，即ln(x+1)+12x2−xx>0，

记g(x)=ln(x+1)+12x2−x，(x>−1)，

求导得g′(x)=1x+1+x−1=x2x+1，

当x>−1时，易知g′(x)≥0，所以函数g(x)在区间(−1,+∞)上单调递增．20.【答案】(1)由f(x)=ex−a由于f(x)在(0,+∞)上单调递增，故f′(x)=ex−2ax≥0即2a≤exx设g(x)=exx当0<x<1时，g′(x)<0，则g(x)在0,1上单调递减，当x>1时，g′(x)>0，则g(x)在1,+∞上单调递增，故g(x)≥g(1)=e，故2a≤e,∴a≤e2，即a得最大值为(2)a=2时，f(x)=ex−2令h(x)=ex若存在x1，x2∈(0,2)，使得曲线y=f(x)在点x则存在x1，x2∈(0,2)令h′(x)=e当当0<x<ln4时，h′(x)<0，则h(x)在当ln4<x<2时，h′(x)>0，则h(x)在lnh即x∈(0,2)时，h(x)∈[−1.52,1)，故存在x1，x2∈(0,2)例如hx1=−

21.【答案】解：(1)fx=−x2+x−1(x>0)理由：因为fx=−xg所以fx=−x2+x−1(x>0)(2)①因为fx=a所以g1x=fx令t=x2，ht=t要a<ht对t>0成立，故a≤0②又fx=a所以g1x′得a≤12x2对所有综上①②，实数a的取值范围(−∞,0]．(3)fx不一定为“2理由如下：①构造反例说明存在反例，构造函数g对应fx=显然函数在0,1,当x→1−时，f′1−=−2x2+6x−4因此函数fx在0,+∞上处处可导，且不恒为0当0<x≤1时，g′2x当x>1时，g′2x