七年级下册实数提高题与常考题型压轴题(含解析)

实数提高题与常考题型压轴题（含解析）

一.选择题供15小题）

1.的平方根是（）

A.4B.±4C.2D.±2

2.已知a=,b=,则=（）

A.2aB.abC.a2bD.ab2

3.实数的相反数是（）

A.-B.C.—D.

4.实数-兀，-3.14,0,四个数中，最小的是（）

A.—冗B.-3.14C,D.0

5.下列语句中，正确的是（）

A.正整数、负整数统称整数

B.正数、0、负数统称有理数

C.开方开不尽的数和兀统称无理数

D.有理数、无理数统称实数

6.下列说法中：（1）是实数；（2）是无限不循环小数；（3）是无

理数；（4）的值等于2.236,正确的说法有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0,则ba的值为（）

A.2B.C.-2D.-

8.的算术平方根是（）

A.2B.±2C.D.

9.下列实数中的无理数是（）

A.0.7B.C.兀D.-8

10.关于的叙述，错误的是（）

A.是有理数

B.面积为12的正方形边长是

C.=2

D.在数轴上可以找到表示的点

11.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是

（）

―J_____L_i_>

-1012

A.aeb>0B.a+b<0C.|a|<|b|D.a-b>0

12.如图，四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若

n+q=0,则m,n,p,q四个实数中，绝对值最大的一个是（）

―•—•-------•""•>x

PN"。

A.pB.qC.mD.n

13.估计+1的值（）

A.在1和2之间B在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间

14.估计的值在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

15.我21=222=423=8…3]=332=933=27.一

们根

据指

数运

算,得

出了

一种

新的

运算，

如表

是两

种运

算对

应关

系的

一组

实例：

指数

运算

新运log22=log24=log28=…1。&3=log39=log327=…

算123123

根据上表规律，某同学写出了三个式子：®log216=4,(2)log525=5.③

log2=-1・其中正确的是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

1第1行

02、瓜第2行

3VioVTT712第3行

4717718屈720第4行

根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是.(用含n的代数式表示)

25.阅读下列材料：设=0.333…①，贝ij10x=3.333…②，则由②-①

得：9x=3,即,所以=0.333—,根据上述提供的方法把下列两个

数化成分数.=,=.

三.解答题供15小题)

26.计算下列各式：

(1)T+3Tx(-18)

9618

(2)-12+-(-2)X.

27.化简求值：()，其中a=2+.

28.计算：|-3|-X+(-2)2.

29.如图，在一张长方形纸条上画一条数轴.

爻戈।

••

-8-7-6-5-4-3-2-10123456789>

■■

(1)若折叠纸条，数轴上表示-3的点与表示1的点重合，则折痕与数轴

的交点表示的数为；

(2)若经过某次折叠后，该数轴上的两个数a和b表示的点恰好重合，则

折痕与数轴的交点表示的数为(用含a,b的代数式表示);

(3)若将此纸条沿虚线处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重

合，这样连续对折n次后，再将其展开，请分别求出最左端的折痕和最右

端的折痕与数轴的交点表示的数.(用含n的代数式表示)

30.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pxq(p,q

是正整数，且p&q),在n的所有这种分解中，如果p,q两因数之差的绝

对值最小，我们就称pxq是n的最佳分解.并规定:F(n)=.例如12

可以分解成1X12,2X6或3X4,因为12-1>6-2>4-3,所有3X

4是12的最佳分解，所以F(12)=.

(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是

完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;

(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(l&x<y<9,x,y为自然数)，交

换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的

差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F(t)

的最大值.

31.(1)定义新运算：对于任意实数a,b,都有a，b=a(a-b)+1,等

式右边是通常的加法、

减法与乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5.计算如下:

2®5=2X(2-5)+1

=2X(-3)+1

=-6+1

=-5

求(-2)〶3的值;

(2)请你定义一种新运算，使得数字-4和6在你定义的新运算下结果为

20.写出你定义的新运算.

32.已知2m+2的平方根是±4,3m+n+l的平方根是±5,求m+3n的

平方根.

33.已知一个正数x的两个平方根分别是2a-3和5-a,求a和x的值.

34.已•一-00.000111000…

知0.0001

m+n

与m―

n分别

是9的

两个平

方根，

m+n-

P的立

方根是

1,求

n+p的

值.

35.先

填写下

表,观

察后回

答下列

问题:

a

圾-0.101

(1)被开方数a的小数点位置移动和它的立方方根的小数点位置移动有

无规律？若有规律，请写出它的移动规律.

(2)已知：=-50,=0.5,你能求出a的值吗?

36.阅读理解下面内容，并解决问题：

据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座

的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319,希望求出它的立方

根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘.

(1)由103=1000;1003=1000000,你能确定是几位数吗？

,/1000<59319<1000000,

/.10<<100.

,,,士59319是两位数;

(2)由59319的个位上的数是9,你能确定的个位上的数是儿吗？

・••只有个位数是9的立方数是个位数依然是9,

・•・病亚的个位数是9;

(3)如果戈ij去59319后面的三位319得至U59,而33=27,43=64,由

此你能确定的十位上的数是几吗？

*/27<59<64,

.*.30<<40.

二的十位数是3.

所以，的立方根是39.

已知整数50653是整数的立方，求的值.

37.按要求填空:

(1)0.00040.044400

填表：

a

5IJ

(2)根据你发现规律填空：

已知：=2.638,则=,=;

已知：=0.06164,=61.64,贝I」x=.

38.下面是往来是在数学课堂上给同学们出的一道数学题,要求对以下实

数进行分类填空：-，。，。.3(3无限循环)，，18,,,1.21(21

无限循环),3.14159,1.21,,,0.8。8。。8。。08…，

(1)有理数集合：；

(2)无理数集合：；

(3)非负整数集合：；

王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以

化为分数.

比如：0.3（3无限循环）=,那么将1.21（21无限循环）化为分数，则

1.21（21无限循环）=（填分数）

39.将下列各数的序号填在相应的集合里：①-，②2兀，③3.1415926,

©-0.86,⑤3.030030003…相邻两个3之间0的个数逐渐多1）,⑥

2,⑦，⑧--

有理数集合：{}.

无理数集合：{}.

负实数集合:{}.

40.观察下列各式，发现规律：=2;=3;=4;...

（1）填空：=,=；

（2）计算（写出计算过程）：；

（3）请用含自然数n（n>l）的代数式把你所发现的规律表示出来.

实数提高题与常考题型压轴题（含解析）

参考答案与试题解析

一.选择题供15小题）

1.（2017•微山县模拟）的平方根是（）

A.4B.±4C.2D.±2

【分析】先化简=4,然后求4的平方根.

【解答】解：=4,

4的平方根是±2.

故选：D.

【点评】本题考查平方根的求法，关键是知道先化简.

2.（2017•河北一模）已知a=,b=，则=（）

A.2aB.abC.a2bD.ab2

【分析】将18写成2X3X3,然后根据算术平方根的定义解答即可.

【解答】解：==XX=a・b・b=ab2.

故选D.

【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，难点在于对18的分解

因数.

3.（2017•南岗区一模）实数的相反数是（）

A.-B.C.—D.

【分析】根据相反数的定义，可得答案.

【解答】解：的相反数是一，

故选：C.

【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上符号就是这个数的

相反数.

4.（2017•禹州市一模）实数-兀，-3.14,0,四个数中，最小的是

（）

A.—nB.-3.14C,D.0

【分析】先计算|-兀|=兀，|-3.14]=3.14,根据两个负实数绝对值大的

反而小得-兀V-3.14,再根据正数大于0,负数小于。得到-兀〈-3.14

<0<.

【解答】解：・・,|-兀|=兀，|-3.141=3.14,

一兀V-3.14,

・・・—兀，-3.14,0,这四个数的大小关系为一兀V—3.14V0V.

故选A.

【点评】本题考查了有理数大小比较：正实数都大于0,负实数都小于0,

正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

5.（2017春•滨海县月考）下列语句中，正确的是（）

A.正整数、负整数统称整数

B.正数、0、负数统称有理数

C.开方开不尽的数和兀统称无理数

D.有理数、无理数统称实数

【分析】根据整数的分类，可的判断A;根据有理数的分类，可判断B;

根据无理数的定义，可判断C;根据实数的分类，可判断D.

【解答】解:A、正整数、零和负整数统称整数，故A错误；

B.正有理数、零、负有理数统称有理数，故B错误；

C.无限不循环小数是无理数，故C错误；

D.有理数和无理数统称实数，故D正确；

故选：D.

【点评】此题主要考查了实数，实数包括有理数和无理数；实数可分为正

数、负数和。.

6.（2017春•海宁市校级月考）下列说法中：（1）是实数；（2）是

无限不循环小数；（3）是无理数；（4）的值等于2.236,正确的说法

有（）

A.4个B.3个C,2个D.1个

【分析】根据实数的分类进行判断即可.

【解答】解：（1）是实数，故正确；

（2）是无限不循环小数，故正确；

（3）是无理数，故正确；

（4）的值等于2.236,故错误；

故选B.

【点评】本题考查了实数的分类，掌握实数包括有理数和无理数，有理数

是有限小数和无限循环小数，而无理数是无限不循环小数.

7.（2016•泰州）实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0,则ba的值为（）

A.2B.C.-2D.-

【分析】先根据完仝平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出a、b

的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：整理得，+（2a+b）2=0,

所以，a+l=0,2a+b=0,

解得a=-1,b=2,

所以，ba=2-l=.

故选B.

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为。时，这几个非负

数都为。.

8.（2016•毕节市）的算术平方根是（）

A.2B.±2C.D.

【分析】首先根据立方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定

义即可求出结果.

【解答】解：=2,2的算术平方根是.

故选：C.

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，注意关键是要首先计算

=2.

9.（2016•福州）下列实数中的无理数是（）

A.0.7B.C.冗D.-8

【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是兀，选出答案即可.

【解答】解：•..无理数就是无限不循环小数，

且。.7为有限小数，为有限小数，-8为正数，都属于有理数，

兀为无限不循环小数，

「•兀为无理数.

故选：C.

【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的

性质，即可解决此类问题.

10.（2016•河北）关于的叙述，错误的是（）

A.是有理数

B.面积为12的正方形边长是

C.=2

D.在数轴上可以找到表示的点

【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环

小数或兀；由此即可判定选择项.

【解答】解:A、是无理数，原来的说法错误，符合题意；

B.面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；

C.=2,原来的说法正确，不符合题意；

D.在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查了实数，有理数，无理数的定义，要求掌握实数，有

理数，无理数的范围以与分类方法.

11.（2016•大庆）已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列

式子正确的是（）

——

-1012

A.aeb>0B.a+b<0C.|a|<|b|D.a-b>0

【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，然后即

可作出判断.

【解答】解：根据点a、b在数轴上的位置可知lvav2,-l<b<0,

.,.ab<0,a+b>0,|a|>|b|,a-b>0,.

故选：D.

【点评】本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、乘法法则

的应用，掌握法则是解题的关键.

12.（2016•泰安）如图，四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为

M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中，绝对值最大的一个是

（）

―~•>x

PNM。

A.pB.qC.mD.n

【分析】根据n+q=0可以得至ijn、q的关系，从而可以判定原点的位置，从

而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决.

【解答】解：・.・n+q=O,

二.n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，

「•绝对值最大的点P表示的数P,

故选A.

【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形

结合的思想解答.

13.（2016•淮安）估计+1的值（）

A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间

【分析】直接利用已知无理数得出的取值范围，进而得出答案.

【解答】解：Bv<3,

.\3<+1V4,

+1在在3和4之间.

故选：C.

【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题

关键.

14.（2016•天津）估计的值在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围.

【解答】解：・「vv,

・,.的值在4和5之间.

故选：C.

【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确把握最接近的有理数是

解题关键.

15.2]=222=423=8…31=332=933=27…

（201

6•永

州）我

们根据

指数运

算，得

出了一

种新的

运算，

如表是

两种运

算对应

关系的

一组实

例：

指数运

算

新运算log22=log24=log28=…log33=log39=1。软27=…

123123

根据上表规律，某同学写出了三个式子：0log216=4,（2）log525=5,③

log2=-1.其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论.

【解答】解：①因为24=16,所以此选项正确；

②因为55=3125^25,所以此选项错误；

③因为2-1=，所以此选项正确；

故选B.

【点评】此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的

关键.

二填空题（共10小题）

16.（2017•涿州市一模）-2的绝对值是2-

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答.

【解答】解：-2的绝对值是2-.

即I-2|=2-.

故答案为：2-.

【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质.

17.（2016秋•南京期中）在-4,,0,71,1,-,1.这些数中，是

无理数的是兀.

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理

解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小

数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

【解答】解：无理数只有：兀.

故答案是：兀.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有:

兀，2兀等；开方开不尽的数；以与像0.1010010001…，等有这样规律的

数.

18.（2016•金华）能够说明“=x不成立”的x的值是-1（写出

一个即可）.

【分析】举一个反例，例如x=-l,说明原式不成立即可.

【解答】解:能够说明“二乂不成立”的x的值是-1,

故答案为：-1

【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的

关键.

19.（2016•德阳）若实数x,y满足（2x+3）2+|9-4y|=0,则xy的

立方根为一.

【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入

求出立方根即可.

【解答】解：•・.（2x+3）2+|9-4y|=0,

.*.2x+3=0,解得x=-,

9-4y=0,解得y=,

xy=-x

二•xy的立方根为-.

故答案为：一.

【点评】本题考查了偶次方和绝对值，方程的思想，立方根的应用，关键

是求出x、y的值.

20.（2016•成都）实数a,n,m,b满足avnvmvb,这四个数在数轴

上对应的点分别为A,N,M,B（如图），若AM2=BM*AB,BN2=AN*AB,

则称m为a,b的“大黄金数”，n为a,b的“小黄金数”，当b-a=2

时，a,b的大黄金数与小黄金数之差m-n=2-4.

」_____工__>

anmh

【分析】设AM=X,根据AM2=BM*AB列一元二次方程，求出x,得出

AM=BN=-1,从而求出MN的长，即m-n的长.

【解答】解：由题意得：AB=b-a=2

设AM=x,贝ljBM=2-x

x2=2（2-x）

x=-1±V5

xl=-1+,x2=-1-（舍）

贝ljAM=BN=M-1

MN=m-n=AM+BN-2=2（V5-1）-2=2在-4

故答案为：2-4.

【点评】本题考查了数轴上两点的距高和黄金分割的定义与一元二次方程,

做好此题的关键是能正确表示数轴上两点的距离：若A表示xA、B表示

xB,则AB=|xB-xA|;同时会用配方法解一元二次方程，理解线段的和、

差关系.

21.(2016•宜宾)规定：logab(a>0,b>0)表示a,b之间的

一种运算.

现有如下的运算法则：logaan=n.logNM=(a>0,aw1,N>0,Nw1,

M>0).

例如：log223=3,log25=,贝I」log1001000=

【分析】先根据logNM=(a>0,a^l,N>0,NR1,M>0)将所求式

子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算.

【解答】解：logl001000===.

故答案为：.

【点评】本题考查了实数的运算，这是一个新的定义，利用已知所给的新

的公式进行计算.认真阅读，理解公式的真正意义；解决此类题的思路为:

观察所求式子与公式的联系，发现1。。。与100都与1。有关，且都能写

成1。的次方的形式，从而使问题得以解决.

22.(2016•河池)对于实数a,b,定义运算:a*b=,例如：因为

4>2,所以4*2=42-4x2=8,贝I」(-3)*(-2)=-1.

【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果.

【解答】解：根据题中的新定义得：(-3)*(-2)=-3-(-2)=-

3+2=-1,

故答案为：-1

【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

23.（2016•瑞昌市一模）观察分析下列数据，并寻找规律：，，2,

,,…根据规律可知第n个数据应是

【分析】根据2=，结合给定数中被开方数的变化找出变化规律“第n

个数据中被开方数为：3n-l”，依此即可得出结论.

【解答】解：.「2=,

被开方数为：2=3X1-1,5=3X2-1,8=3X3-1,11=3x4-1,

14=3X5-1,17=3x6-1,•••,

・•・第n个数据中被开方数为：3n-l,

故答案为：.

【点评】本题考查了算术平方根以与规律型中数的变化类，根据被开方数

的变化找出变化规律是解题的关键.

24.（2016•天桥区模拟）下面是一个某种规律排列的数阵:

1显第1行

"2小而第2行

j邪3对内尼第3行

用取第44行

根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是.（用含n的代数式表示）

【分析】探究每行最后一个数的被开方数，不难发现规律，由此即可解决

问题.

【解答】解：第1行的最后一个被开方数2=1X2

第2行的最后一个被开方数6=2X3

第3行的最后一个被开方数12=3X4

第4行的最后一个被开方数20=4X5,

♦♦♦

第n行的最后一个被开方数n(n+1),

」・第n行的最后一数为，

・•・第n行倒数第二个数为.

故答案为.

【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是从特殊到一般，归纳规律然

后解决问题，需要耐心认真审题，属于中考常考题型.

25.(2016•乐陵市一模)阅读下列材料：设=0.333…①，则

10x=3.333…②，贝IJ由②一①得：9x=3,即.所以=0.333-=.%艮

据上述提供的方法把下列两个数化成分数.=,=

【分析】根据阅读材料，可以知道，可以设=x,根据10x=7.777…，即

可得到关于x的方程，求出x即可；

根据=1+即可求解.

【解答】解：设=x=0.777…①，

贝lj10x=7.777…②

贝岫②一①得：9x=7,KPx=;

根据已知条件=0.333—

可以得到=1+=1+=.

故答案为：；.

【点评】此题主要考查了无限循环小数和分数的转换，正确题意，读懂阅

读材料是解决本题的关键，这类题目可以训练学生的自学能力，是近几年

出现的一类新型的中考题.此题比较难，要多次慢慢读懂题目.

三.解答题供15小题)

26.(2017春•萧山区月考)计算卜列各式：

(1)x(-18)

9618

(2)-12+-(-2)X.

【分析】(1)运用乘法对加法的分配律，比较简便；

(2)先计算、，再进行加减乘运算.

【解答】⑴原式=(一《)X(-18)+搭X(-18)--Lx(-18)

9618

=14-15+1

=0;

⑵原式=-1+4-(-2)X3

=-1+4+6

=9.

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计

算题型.题目(1)即可通分先算括号里面的，再进行乘法运算，也可直接

运用乘法对加法的分配律；掌握立方根、平方根的求法与有理数混合运算

的顺序是解决题目(2)的关键.

27.(2016•宁夏)化简求值：()，其中a=2+

【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,

同时利用除法法则变形，约分后两项化简得到最简结果，把a的值代入计

算即可求出值.

【解答】解：原式=[+]•+=•+==,

当a=2+时，原式=+1.

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

28.(2016•合肥校级一模)计算：|-3|-X+(-2)2.

【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用算术平方根

定义计算，第三项利用立方根定义计算，第四项利用乘方的意义化简，计

算即可得到结果.

【解答】解：原式=3-4+X(-2)+4=3-4-1+4=2.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

29.(2016秋•南京期中)如图，在一张长方形纸条上画一条数轴.

艾笑

■■■

」[1111111

-8-7-6-5-4-■3-2-1012345>6789"

(1)若折叠纸条，数轴上表示-3的点与表示1的点重合，则折痕与数轴

的交点表示的数为-1；

(2)若经过某次折叠后，该数轴上的两个数a和b表示的点恰好重合，则

折痕与数轴的交点表示的数为(用含a,b的代数式表示)；

(3)若将此纸条沿虚线处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重

合，这样连续对折n次后，再将其展开，请分别求出最左端的折痕和最右

端的折痕与数轴的交点表示的数.(用含n的代数式表示)

【分析】(1)找出5表示的点与-3表示的点组成线段的中点表示数，然

后结合数轴即可求得答案；

(2)先找出a表示的点与b表示的点所组成线段的中点，从而可求得答

案；

(3)先求出每两条相邻折痕的距离，进一步得到最左端的折痕和最右端的

折痕与数轴的交点表示的数，即可求得答案.

【解答】解：⑴(-3+1)-2

=-24-2

=­].

故折痕与数轴的交点表示的数为-1；

(2)折痕与数轴的交点表示的数为(用含a,b的代数式表示);

(3)二・对折n次后，每两条相邻折痕的距离为=,

最左端的折痕与数轴的交点表示的数是-3+,最右端的折痕与数轴

的交点表示的数是5-.

故答案为：-1;.

【点评】木题主要考查的是数轴的认识，找出对称中心是解题的关键.

30.(2016•重庆)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解:

n=pxq(p,q是正整数，且p<q),在n的所有这种分解中，如果p,q

两因数之差的绝对值最小，我们就称pxq是n的最佳分解.并规定:F(n)

=.例如12可以分解成1X12,2X6或3X4,因为12-1>6-2>4

-3,所有3X4是12的最佳分解，所以F(12)=.

(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是

完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;

(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(l&x<y<9,x,y为自然数)，交

换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的

差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F(t)

的最大值.

【分析】(1)根据题意可设m=n2,由最佳分解定义可得F(m)==1;

(2)根据“吉祥数”定义知(lOy+x)-(10x+y)=18,即y=x+2,结

合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F(t),比

较后可得最大值.

【解答】解：(1)对任意一个完全平方数m,设m=rl2(n为正整数)，

,/|n-n|=O,

nXn是m的最佳分解，

「•对任意一个完全平方数m,总有F(m)==1;

(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为,则也

=10y+x,

•・・t为“吉祥数”，

.*.tz-1=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=18,

.\y=x+2,

*/l<x<y<9,x,y为自然数，

二“吉祥数”有：13,24,35,46,57,68,79,

/.F(13)=,F(24)==,F(35)=,F(46)=,F(57)=,

F(68)=,F(79)=,

/>>>>>,

・・.所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是.

【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并

将其转化为实数的运算是解题的关键.

31.(2016•龙岩模拟)(1)定义新运算：对于任意实数a,b,都有a〶

b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、

减法与乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5.计算如下:

2®5=2X(2-5)-1

=2X(-3)+1

=-6+1

=-5

求(一2)〶3的值；

(2)请你定义一种新运算，使得数字-4和6在你定义的新运算下结果为

20.写出你定义的新运算.

【分析】(D利用题中的新定义计算即可得到结果；

(2)规定一种运算，计算结果为2。即可.

【解答】解：(1)(-2)e3=-2X(-5)+1=10+1=11;

(2)规定:a@b=2(b-a),例如(-4)®6=2x[6-(-4)]=20.(开

放题，答案不唯一)

【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关健.

32.(2016秋•上蔡县校级期末)已知2m+2的平方根是±4,3m+n+l

的平方根是±5,求m+3n的平方根.

【分析】先根据2m+2的平方根是±4,3m+n+l的平方根是±5求出m

和n的值，再求出m+3n的值，由平方根的定义进行解答即可.

【解答】解：.・.2m+2的平方根是±4,

/.2m+2=16,解得:m=7;

・「3m+n+l的平方根是±5,

3m+n+l=25,即21+n+l=25,

解得：n=3,

m+3n=7+3X3=16,

・・・m+3n的平方根为:±4.

【点评】本题考查的是平方根的定义：如果一个数的平方等于a,这个数

就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.注意：一个正数有两个平方根,

这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

33.(2016春•宜春期末)已知一个正数x的两个平方根分别是2a-3

和5-a,求a和x的值.

【分析】正数x有两个平方根，分别是2a-3与5-a,所以2a+2与5

a互为相反数，可求出a；根据x=(2a-3)2,代入可求出x的值.

【解答】解：依题意可得2a-3+5-a=0

解得：a=-2,

.*.x=(2a-3)2=49,

.*.a=-2,x=49.

【点评】本题主要考查了平方根的定义和性质，以与根据平方根求被开方

数，一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解答此题的关键.

34.(2016秋•龙海市期末)已知m+n与m-n分别是9的两个平方根,

m+n-p的立方根是1,求n+p的值.

【分析】根据平方根与立方根的性质即可求Him、n、p的值

【解答】解：由题意可知：m+n+m-n=0,(m+n)2=9,m+n-p=l,

.*.n2=9,

.*.n=±3,

0+3-p=l或0_3-p=l,

「.p=2或p=-4,

当n=3,p=2时，n+p=3+2=5

当n=-3,p=-4时,n+p=-3-4=-7,

【点评】本题考查平方根与立方根的性质，解题的关键是根据平方根与立

方根的性质列出方程，然后求出m、n、p的值即可.

35.…-00.000111000…

(20160.0001

秋•无棣

县期

末)先

填写下

表，观

察后回

答下列

问题：

a

我…-0.101…

(1)被开方数a的小数点位置移动和它的立方方根的小数点位置移动有

无规律？若有规律，请写出它的移动规律.

(2)已知：=-50,=0.5,你能求出a的值吗？

【分析】(1)首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其

中的规律即可；

(2)依据规律进行计算即可.

【解答】解：填表结果为。.1,10;

(1)有规律，当被开方数的小数点每向左(或向右)移动3位，立方根的

小数点向左(或向右)移动1位；

(2)能求出a的值;

=0.5,

=-0.5,

由-0.5和-50,小数点向右移动了2位，则a的值的小数点向右移动6

为，

.,.a=125000

【点评】此题考查了立方根，弄清题中的规律是解本题的关键.

36.(2016春•平定县期末)阅读理解下面内容，并解决问题：

据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座

的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319,希望求出它的立方

根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘

(1)由103=1000,1003=1000000,你能确定是几位数吗？

•.TOOOv59319V1000000,

/.10<<100.

,,叼59319是两位数;

(2)由59319的个位上的数是9,你能确定的个位上的数是几吗？

・・,只有个位数是9的立方数是个位数依然是9,

・••病获的个位数是9;

(3)如果戈ij去59319后面的三位319得至ij59,而33=27,43=64,由

此你能确定的十位上的数是几吗？

•/27<59<64,

/.30<<40.

的十位数是3.

所以，的立方根是39.

已知整数50653是整数的立方，求的值.

iRa

【分析】分别根据题中所给的分析方法先求出这50653的立方根都是两

位数，然后根据第（2）和第（3）步求出个位数和十位数即可.

【解答】vl000<50653<1000000,

/.10<<100,

是两位数，

只有个数是7的立方数的个位数是3,

・•.的个位是7.

•/27<50<64,

.*.30<<40,

「•的十位数是3.

的立方根是37.

【点评】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个

数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度.

37.（2016春•固始县期末）按要求填空：

（1）0.00040.044400

填表：

a

Va

(2)根据你发现规律填空：

已知：=2.638,贝I」=26.38,=0.02638;

已知：=0.06164,=61.64,则x=3800.

【分析】(D分别用计算器将。.。。。4.0.04.4.400开方即可得出答案.

(2)将720化为7.2