系统辨识习题解答

系统辨识习题解答

1-14.若一个过程的输入、输出关系可以用MA模型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小

二乘格式。

提示：①MA模型z(口二O(zT)〃(k)

②定义e=[%，4,…,=[〃(左),〃(左一1),…,乂(女一力T

解：因为MA模型z(型=0(ZT)W(Q,其中

。仁7)=么+4z-|+—+〃)-〃，从而

所以当定义。=[〃，4,…,乙『,〃伏)=[〃(外,〃伏一1),…，〃伏一〃)]"则有最小二乘格式：

z(k)=£1di%(k)+e(k)=h(k)0+e(k),

i=0

其中e(k)是误差项。

2-3,设｛e(幻｝是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种模型

来描述它。请解释如何用白噪声和表示定理把e(Q表示成AR模型、MA模型和ARMA模型。

解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环节的输

出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成

即C(z-l)e(k)=D(z-l)v(k)

其中C(z-i)=1+GzT+…+qz-

根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：

自回归模型(AR模型)：C(z-l)e(k)=v(k)

平均滑动模型(MA模型)：e(k)=D(z-'Mk)

自回归平均滑去模型(ARMA模型)：C(z-l)e(k)=D(z-])v(k)

3—4、根据离散Wiener-Hopf方程，证明

p

解：由于M序列是循环周期为N/V,NP=2-i,加为M序列移位脉冲周期，自相关函数

近似于5函数，。为M序列的幅度。设数据的采样时间等于A/,则离散Wicner-Hopf方程

为：

当M序列的循环周期Npbt大于过程的过渡过程时间时，即Np充分大时，离散Wiener-Hopf

方程可写成：

由于M序列的自相关函数为

a1,k=0,N「2Np,…

R”(幻二1/，

,k"Np?Np,…

NP

代入上式得

4—证明：

(1)P(k)h(k)=P(k-1)〃(幻[I+hT(k)P(k-1)人⑻/(2)「

(2)P(k-l)h(k)=P(k)h(k)[l-hT(k)P(k)h(k)A[k}]-i,

(3)(k)P(k)h(k)=h，(k)P(k-1)h(k)[1+hT(k)P(k

(4)hT(k)P(k-l)h(k)=hT(k)P(k)h(k)[\-hT(k)P(k)h(k)A(k)]-1,

解：(1)由于

P(A)=[/-K(Z)/f(A)]P(A-D

K(k)=P(k-})h(k)[hr(k)P(k-W：)+A-1'

所以

(2)由于

P(k)h(k)=P(k+hr(k)P(k-l)h(k)A(k)]-\

及

(3)由于

P(k)h(k)=P(k-1)h(k)[\+hT(k)P(k-\)h(k)A(k)]~i,

所以

(4)由丁

P(k-r)h(k)=P(k)h(k)[\-hT(k)P(k)h(k)A(k)]-',

所以

4一18、考虑如下模型

其中，〃伏)和z伏)是模型的输入输出变量，v(k)是零均值向噪声。定义参数向量

请利用增广最小二乘思想，写出模型参数夕的递推辨识算法。

解：令

%(Q=[-z/(攵一1),…，-Z/(Z-〃“),〃/(2-1),…,〃"一曲)，出:一1),…,可攵一%)『

及，

今如…,%，4,…&J

则模型化成最小二乘格式：zf(k)=(⑥，/.+v(k)

h(k)=\-e(k-1),…，一e(k-n)]r

令e(k)=]]伏/)，及《ec

C(Z)4=匕,…,gj

则噪声模型也化成最小二乘格式：&(&)=Fl：(k)6e+“&)

数据向量h£k）包含着不可测的噪声量，这可用相应的，古计值代替:

«(A)=0MW0;

其中，A

A

T

e(k)=z(k)-h(k\61(k)

则可写出利用增广最小二乘法得到的递推算法:

。可表示成:

4一19、考虑如下模型

其中，〃伏）和z㈤分别为模型的输入和输出变量,它们是可测的：Mt）是零均值白噪声,它是

不可测的。试从Markov估计概念出发，证明该模型的参数向量。=［叫,…，…包「的估

1

计值0可以写成如下加权最小二乘算法的形式3=（":ALH,YH;ALZL

1

式中，”,为数据矩阵，ZL为输出向量，加权矩阵取4CTC其中矩阵C为

解：令

及

则模型化成最小二乘格式：Zf（k）=h；（k）e+v（k）

准则函数取J（9）=之A（幻［Z/（k）—h/伏⑼2,其中/（Q为加权因子，对所有的人A（k）

k=1

都必须大于零。

对于攵=1,2,…,L（£为数据长度），可以构成线性方程组Z/L=口4。+以

z=[z(l),--,z(L)]r

AL/_1/

h/(D-z/0)…-Mz(0)…uf(1-n)

hj⑵一Z/(2-〃)〃/⑴…u(2-//)

式中-zz(D…f

•・・・・・・:

h/(I)

—Zy(L-1)…-z((L-n)uf(L-\)

r

vt=[v(l),---,v(L)]

则｛e）=（z4一HaevAjz4一H〃e）,式中4.为加权矩阵，它是正定的对角阵，由加

权因子/（左）构成

-A(1)0…0

AL=0A(2)­•­0

00…A(L)

设AWLS使得J（0）最小，则有：

从而:

当4是正则矩阵时，模型的加权最小二乘解为

1

@WLS=（HzA/H"）H；7ALz“。

由于“4=C（zT）”「zfL=C（z-'）zL,

所以

由Markov估计，%=Cov{vL}=E{vLvJ}=。:（。（尸，其中矩阵C为

0

G1

0.........c„cn_i•••c,1

取加权阵A,=」vC「C。

Lt/

P532/4：解：（1）由参数估计值偏差的估计