河南省2025-2026学年高一上学期期末数学试题（解析版）

高一数学注意事项：1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为，，所以．故选：B2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为存在性命题，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题的否定为存在性命题，可得命题“”的否定为“”.故选：C3.若函数（，）的图象恒过点，则实数（）A.1B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】根据求出的值.【详解】由题意得，，则，解得．故选：C4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，结合诱导公式即可求解.【详解】．故选：A5.已知，，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数值的符号判断角的象限，再由同角三角函数的平方关系即可求解.【详解】因为，，所以角的终边在第二象限，所以．故选：B6.某生态修复项目计划对一片沙化土地进行植被恢复.已知到2025年底植被恢复面积为10万亩，即初始值．经过年后该地区植被恢复面积为万亩，且，满足关系式，其中为增长系数．若增长系数为0.2，则到2030年底植被恢复面积为（）A.20万亩B.16万亩C.15万亩D.12万亩【答案】B【解析】【分析】根据题意求出，将代入关系式，可求得2030年底植被恢复面积.【详解】由题可知，到2030年底时，，此时，所以，所以，所以，解得．故到2030年底植被恢复面积为万亩.故选：B.7.已知，，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】由条件确定，再由正弦二倍角公式，结合弦化切即可求解.【详解】由，，得，所以．故选：C8.已知函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的单调性和奇偶性，将不等式转换成，再构造函数，结合单调性即可求解.【详解】因为定义域为R，又，，所以为奇函数，由解析式可知在上单调递增，所以，从而，可得，令，可知的定义域为，因为，在内均单调递增，所以在内单调递增，且，所以不等式即，解得，所以原不等式的解集为．故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】通过特例，和幂函数、指数函数、对数函数的单调性逐项判断即可.【详解】对于A，当或时，或没有意义，故A错误；对于B，因为函数在上单调递增，所以，故B正确；对于C，因为函数在上单调递增，所以，故C正确；对于D，由，可得，但不能得到，所以不一定成立，故D错误．故选：BC10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A.B.C.曲线关于原点对称D.若在上恰有两个实根，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】本题考查三角函数的图象和性质．对于A，由图可知函数的最小正周期及，从而可求出；对于B，根据最值点可求出，进而可知的解析式，再根据诱导公式可判断B；对于C，首先求出的解析式，判断其是否为奇函数即可判断C；对于D，根据在上的图象可知实数的取值范围.【详解】对于A，设的最小正周期为，由图象可知，，故A正确；对于B，由，所以，解得，又，所以，所以，故B正确；对于C，，是偶函数，其图象关于轴对称，故C错误；对于D，当时，，所以，，又因为，结合的图象，若恰有两个实根，则，故D正确．故选：ABD.11.设函数，集合，则下列结论正确的有（）A.当时，中有3个元素B.中不可能恰有1个元素C.若中恰有2个元素，则不可能为负数D.若（），则【答案】AD【解析】【分析】本题考查分段函数的性质．画出的大致图象.对于A，当时，，解方程后结合图象可知集合，从而判断A；对于B，令，得，此时解方程后结合图象可知集合，从而判断B；对于C，令，则有，由，解得，则，，举反例说明为负数时，中恰有2个元素，从而判断C；对于D，由于，故，至少有一个为负值，不妨设，则方程的根只有1个，为，方程有3个根，根据对应的函数解析式可得结果，可判断D．【详解】画出的大致图象如下：对于A，当时，，解得或0，由函数的解析式结合图象可知，此时，2或3，故，故A正确；对于B，，令，得，令，解得，此时，即时，中恰有1个元素，故B错误；对于C，若中恰有2个元素，令，则有，由，解得，则，，当时，，，此时，，满足题意，此时为负数，故C错误；对于D，由于，故，至少有一个为负值，不妨设，则方程的根只有1个，记为，方程有3个根，由图知，这3个根分别为，则，，故，又，故，得，则，故D正确．故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】直接由基本不等式即可求解【详解】，当且仅当时，等号成立．即的最大值为，故答案为：13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则的解集为______.【答案】【解析】【分析】由等价于或即可求解.【详解】因为当时，和都是单调递增，所以当时，单调递增，且是奇函数，所以当时，也单调递增，因为，所以，所以等价于或结合的单调性，解得或，故所求的解集为．故答案为：14.已知函数，，若对任意的，总存在（），使得成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分别求解的值域为，的值域为，由题意得到，结合集合关系即可求解.【详解】当时，，可知在上的值域为．因为在上是增函数，且，，可知在上的值域为．因为对任意的，总存在，使得成立，所以，可得解得，所以实数的取值范围是．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.15.（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由对数的运算性质即可求解；（2）由指数的运算性质结合立方和公式即可求解.【详解】（1）原式．（2）因为，所以，即，所以，则，所以．16.已知幂函数（）的图象经过点.（1）求的值及的解析式；（2）求不等式的解集.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由幂函数的定义求得，再结合点求得，即可；（2）由（1）将不等式展开，结合一元二次不等式求解即可.【小问1详解】因为为幂函数，所以，解得，因为的图象经过点，所以，则，解得或，又，故，则，所以．【小问2详解】由（1）知，则即为，整理得，即，解得，所以原不等式的解集为．17.已知函数（）图象的两条相邻对称轴间的距离为.（1）求的解析式；（2）先将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上恰有3个根（），求实数的取值范围和的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先化简的解析式，根据最小正周期可求，进而可得解析式；（2）根据图象变换先求出的解析式，先换元，再根据数形结合法可知方程在上有3个根时实数的取值范围，根据对称性可求出的值．【小问1详解】．设的最小正周期为.因为两条相邻对称轴间的距离为，所以，解得，故．【小问2详解】将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，所以．当时，，此时，令，画出函数在上的图象，如图所示：当时，，当时，，结合图象可知，若方程在上有3个根，则，即实数的取值范围为．根据对称性可知，，，即，，得，，所以．18.已知函数的定义域为，对任意的正实数，都有，且当时，，.（1）求，的值；（2）证明：在上单调递增；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）通过分别令和，即可求解；（2）由单调性的定义即可求解；（3）由，将不等式转换成，再结合单调性，得到，进而可求解.【小问1详解】令，得，解得．令，得，所以，所以．小问2详解】设，，且，则，由题意得，则，所以，即，所以在上单调递增．【小问3详解】由，，可得．因为在上单调递增，且，所以，即．由对勾函数的性质可知在上单调递增，其值域为，所以实数的取值范围为．19.已知函数的定义域为，区间，定义在上的振幅为，其中，．若，则称在上具有“1-振幅性质”．（1）设函数，，判断在上是否具有“1-振幅性质”．（2）某公园拟在直线形道路旁修建一条休闲小道，休闲小道的第一段为如图所示的曲线段，它是函数（），的图象，第二段为曲线段，它是函数（且），的图象．（ⅰ）求点的坐标；（ⅱ）为使休闲小道不偏离道路过远，需休闲小道对应的函数在上具有“1-振幅性质”，求实数的取值范围．【答案】（1）具有“1-振幅性质”（2）（ⅰ）（ⅱ）【解析】【分析】（1）由函数单调性求得最值，再结合新定义即可求解；（2）（ⅰ）由函数图象确定，即可求解；（ⅱ）分时，由新定义得到求解，和时，由新定义得到，求解即可.【小问1详解】因为在上单调递增，所以，，，所以，，有，所以在上具