线性代数期末复习题 (二)

线性代数

一.单项选择题

1.设A、B均为n阶方阵，则下列结论正确的是o

(a)若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵

(b)若AHO且BHO,则ABHO

(c)若AB是奇异矩阵，则A和B都是奇异矩阵

(d)若AB是可逆矩阵，则A和B都是可逆矩阵

2.设A、B是两个n阶可逆方阵，贝打(4B)T等于()

(a)⑷-("尸(b)⑻T(4尸

(c)炉)(/Ly(d)仁j(A尸

3.〃?xn型线性方程组AX=b,当r(A)=m时，则方程组.

(a)可能无解(b)有唯一解(c)有无穷多解(d)有解

4.矩阵A与对角阵相像的充要条件是.

(a)A可逆(b)A有n个特征值

(c)A的特征多项式无重根(d)A有n个线性无关特征句量

5.A为n阶方阵，若A2=0,则以下说法正确的是,

(a)A可逆(b)A合同于单位矩阵

(c)A=O(d)AX=0有无穷多解

6.设A,B,。都是〃阶矩阵，且满足关系式ABC=E,其中E是〃阶单位矩阵,

则必有()

(A)ACB—E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E

42《33%-ai2~a!3

则。=

7.若D=%a22%3=2,3%4a2l-a22-a23=()

a32〃334。31-a32-〃33

(A)-6(B)6(C)24(D)-24

二、填空题

LA为n阶矩阵，|A|=3,则|A4'|=,|2A-JA卞,

112

2.设A=021,则A的伴随矩阵A*=

003

2—1।

3.设A=,则4一|=

-11

4.R’中的向量a=（l23）,尸=（222）,2a-/?=2九则/=,\a\=.

5.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为

6.二次型/'（%,工2，工3，14）=X：+2x；-2石一4%出一4七刍对应的矩阵是

7.已知三维向量空间的一组基为：4=[1,1,0],%=[1,0,1],%=[0]，1]，则向量。=[2,0,0]

在这组基下的坐标为：。

8.假如二次型/'（芯,々，$）=2x；+3x；+戊；+2中2+2斗均是正定的，则/的取值范围

是_______________

三、解答题

0101-1

1.设AX+4二X,其中A二-111,B=00求X

-10-15-3

a0c0

0a0c

2.计算，

h0d0

0h0d

3.求向量组《-39的一个极大线性无关组,并将其

<9J

他向量用该极大线性无关组线性表出.

+2X-2X3=0

4.设线性方程组12玉-2々+入3=0,问力取何值时方程组有非零解？并求通解，写出其基

3x}+x2-x3=0

础解系.

x1+x2+kxy=4

5.已知方程组《

%)-x2+2X3=-4

一$+在+W=公

（1）%为何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？

（2）在有无穷多解时，求出方程组的通解。

6.J知二次型/（%,工2，n）=2内々+2用当+2工2与，利用正交变换化/为标准形，并写出相

应的正交矩阵.

四、证明题

若4?一2A-4E=0,证明A+E可逆，并求(A+Ey].

答案

一、⑴d(2)a(3)d(4)d(5)d(6)d(7)d

~6-3-3-

11

二、(1)9;3,,_,(2)03-1(3)(4)1；V14(5)

12_

0022

1-20

3

(6)-22-2⑺[1,1-1](8)t>-

5

0-22

三、(1)由AX+5=X得：(A-E)X=-3

10

由于A-E=01|4-目二一300,所以A-E可逆

0-2

2]_

0

331

2

(A-Ey1，故X=(4-石尸台二0(2)(ad-he)

~33

-11

]_

0

33

1728

(3)a,a,a—--a.(4)2=1时有非零解；

x233-3

X=%(011)『k取任意数(o11)7■为基础解系

11k

⑸网=1-12=代+1)/—4)

-1

(1)当女工一1且女工4时，方程组有唯一解;

114-14

⑵当％=—1时，[A6=I-12:-4T0-23；-8

-1-111000；3

r([A6])"(A),方程组无解;

114:4103；0

（3）当％=4时，［A力］=1-12；-4->011：4

-1-41；16000：0

r(fA^l)=r(A)=2<3,方程组有无穷多解,

通解为:(x3为任意常数)

11

_L

Ff

V16

/2222P1