苏科版数学八年级下册 期末学情自测·拔尖卷（举一反三测试范围：八下全册） 试卷 含答案

八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷【新教材苏科版】时间：120分钟满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（

）A．分式m2−1m2C．若分式x2x−3有意义，则x>0 2．（25-26九年级上·陕西延安·期末）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（

）A．14 B．13 C．233．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式4x2+1+★A．−5 B．4x C．172x 4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入−2，则输出的值（）A．10+46 B．10−46 C．2 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）若a=n2−mn，b=k2−2n，c=km，其中m，n，k为连续整数，且0<m<n<kA．b<a<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b6．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数a，b满足4a2+4b=n，b²+8a=n，b≠2a，n为自然数，则A．11 B．12 C．13 D．147．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，AB∥CD，∠ABC是直角且AB=BC，其中AB=3，CD=4，则A．27 B．30 C．58 D．68．若关于x的分式方程2−6xx−3−2a3−x=−4解为正数，且关于y的不等式组yA．22 B．30 C．32 D．409．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH,∠1=∠2=25°，A．30° B．45° C．50° D．60°10．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD=DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG=12AB；②S四边形ODGF>S△ABF；③由点A、B、A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26八年级上·全国·期中）已知x≠y，且满足两个等式x2−2y=20262，y212．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于x的分式方程1x−2+kx+2=13．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知x=12+3，y=12−3，记a为x的整数部分，b14．如图，在▱ABCD中，对角线BD=8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE=3cm，BC=4cm，则AD与BC15．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC，过点A作AE∥BC，且AE=12BC，连接CE16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB=3，CF=4，则BE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）已知，关于x的分式方程a2x+3(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；(2)当a=1时，求b为何值时，分式方程a2x+3(3)若b=0，a为正整数，分式方程a2x+3−b−x18．（6分）（25-26八年级上·山东潍坊·期中）小明发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方．例如4和5，有4×5+5=25=5(1)【证明结论】请填写该结论证明过程的依据．设m，n是连续的正整数，且m<n，可得n=m+1；所以mn+n=nm+1

=n⋅n

（______）=所以mn+n一定是正数n的平方．(2)【类比证明】小红发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明．19．（8分）（25-26九年级上·吉林·期末）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，再将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，连接CD．(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)若点P在线段CD上，AB=1，则AP+BP的最小值为________．20．（8分）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌温度枪的数量是用4000元购买乙品牌温度枪的数量的32(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共80个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？21．（10分）（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料：1和4为两个相邻的整数，4−1=3=2×1+1；4和9为两个相邻的整数，9−4=5=2×2+1；9和16为两个相邻的整数，16−9=7=2×3+1；…小海发现结论：若a和b为相邻的两个整数，其中a<b，则有b−a=2a根据题意，得b−a=1根据二次根式的性质a2=a，可以在等式两边同时平方，得整理得b−a=2a请根据以上材料，解决以下问题：(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．(2)若m和m+11为两个相邻整数，则m的值是．(3)若n和n+216为相差4的两个整数，求n的值．22．（10分）某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出）组别身高范围（单位：厘米）划记频数频率A149≤x<15430.03B154≤x<159正80.08C159≤x<164a0.15D164≤x<169正正正正正280.28E169≤x<174正正正正正一260.26F174≤x<179正正140.14G179≤x<184正一60.06请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)本次抽样调查的样本容量是___________．(2)a=___________，m=___________°．(3)请补全频数分布直方图(4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数．23．（12分）（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．【特例感知】(1)如图①，当点D在BC上，点E在AC上时，则△AEM的形状为；【类比迁移】

(2)当△CDE绕点C顺时针旋转至图②的位置时，此时点E在线段BC的延长线上，请判断△AEM的形状，并说明理由；【方法运用】(3)若CD=12BC，将△CDE由图①位置绕点C顺时针旋转α0<α<360°，当24．（12分）如图1，矩形纸片ABCD中，点E在AD边上．连接BE，将矩形纸片沿BE折叠，使点C、D分别与点C′、D′重合，BC′与AD交于点F；如图2，继续将纸片EFC′D′沿EF折叠，使点C′、D′分别与点C″、D(1)如图2，若∠EBC=30°，则∠BED″=(2)如图3，点D″恰好落在BC边上（即点H与点D①若AB=4，BC=13，求BF的长．②已知AB=a，BC=b，若D′，E，G三点恰好在同一条直线上，试探究a、b

八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷【新教材苏科版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（

）A．分式m2−1m2C．若分式x2x−3有意义，则x>0 【答案】A【分析】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可．【详解】解：A．∵该分式的分子为m2−1=m−1∴m2B．当m=−1时，得：m+1=0，与分式的基本性质不符，变形不成立，∴原说法不正确，故此选项不符合题意；C．若分式x2x−3有意义，则x−3≠0，得∴原说法不正确，故此选项不符合题意；D．−1+nm∴原说法不正确，故此选项不符合题意．故选：A．2．（25-26九年级上·陕西延安·期末）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（

）A．14 B．13 C．23【答案】B【分析】根据概率公式，找出所有等可能结果数和符合要求的结果数，代入计算即可得到答案．【详解】解：∵霖霖从三部电影中随机选择一部，共有3种等可能的结果，其中恰好选中《731》的结果只有1种，∴所求概率为133．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式4x2+1+★A．−5 B．4x C．172x 【答案】D【分析】本题考查了因式分解，多项式4x【详解】解：A、★=−5，多项式为4xB、★=4x，多项式为4xC、★=172x，多项式为4xD、★=−4x4，多项式为故选：D．4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入−2，则输出的值（）A．10+46 B．10−46 C．2 【答案】C【分析】先判断−2+6>0，然后利用平方差公式计算【详解】解：∵6>∴−2+6∴−2+6∴输出的值为2．5．（25-26八年级上·福建福州·期末）若a=n2−mn，b=k2−2n，c=km，其中m，n，k为连续整数，且0<m<n<kA．b<a<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b【答案】D【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且0<m<n<k，设n=m+1，k=m+2（m≥1），代入表达式计算a，b，c，再比较大小．【详解】解：∵m，n，k为连续整数，且0<m<n<k，∴n=m+1，k=m+2（m≥1）．∴a=nb=kc=km∵m2∴m2∴c<a<b．故选：D．6．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数a，b满足4a2+4b=n，b²+8a=n，b≠2a，n为自然数，则A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】本题考查了因式分解及利用配方法确定代数式取值范围．解题的关键是通过联立方程消去n，结合b≠2a的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次函数，结合自然数的要求确定最小值．联立等式消去n，整理后因式分解求得每个因式为0，利用b≠2a得到b=4−2a；将b=4−2a代入n的表达式，转化为a的表达式；根据b≠2a排除特殊值，结合n为自然数确定最小值即可．【详解】∵4a∴4a整理得b2b2b−2ab−2ab+2a−4∵b≠2a，∴b+2a−4=0，即b=4−2a．将b=4−2a代入4a2+4b=n∵b≠2a，∴4−2a≠2a，即a≠1，故a−12>0．即因n为自然数，故n的最小值是13，此时(a−1)2=1故选：C．7．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，AB∥CD，∠ABC是直角且AB=BC，其中AB=3，CD=4，则A．27 B．30 C．58 D．6【答案】C【分析】本题考查了正方形的判定和性质，以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点A作AE⊥DE，证得四边形ABCE是正方形，再利用正方形的性质求得AE=3，DE=EC+CD=7，最后利用勾股定理求得AD的长度即可．【详解】解：过点A作AE⊥DE，交CD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ABC=∠E=90°，∴四边形ABCE是矩形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是正方形，如图可得，AE=EC=BC=AB=3，DE=EC+CD=3+4=7，在△ADE中，根据勾股定理可得，AD=A故选：C．8．若关于x的分式方程2−6xx−3−2a3−x=−4解为正数，且关于y的不等式组yA．22 B．30 C．32 D．40【答案】A【分析】分别解分式方程和一元一次方程组，根据解得情况可得a的不等式，取出符合条件的所有整数解求和即可．【详解】解：解分式方程2−6xx−3去分母得2−6x+2a=−4x+12，移项合并得：−2x=10−2a，解得x=a−5，∵解为正数，∴a−5>0且a−5≠3，即a>5，且a≠8，解y2−2≤1解3y−a≥31−y得y≥∴y2−2≤1∵恰有五个整数解，∴1<12+∴5<a≤9且a≠8，符合条件的整数a有6,7,9，和为22，故选：A．【点睛】本题考查根据分式方程解得情况求参数和根据一元一次不等式组的情况求参数．注意分式方程的解要使分母不能为0．9．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH,∠1=∠2=25°，A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】C【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．由矩形的性质可得∠D=∠C=90°，进而可得∠HGC=∠IJD=65°；再根据三角形内角和定理可得∠GMJ=50°；然后再证四边形NUMV是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠VNU=∠GMJ=50°，最后由对顶角相等即可解答．【详解】解：如图：∵矩形ABCD中，∴∠D=∠C=90°，∵∠1=∠2=25°，∴∠HGC=∠IJD=65°，∴∠GMJ=50°，∵IJ∥∴四边形NUMV是平行四边形，∴∠VNU=∠GMJ=50°，∴∠3=∠VNU=50°．故选：C．10．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD=DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG=12AB；②S四边形ODGF>S△ABF；③由点A、B、A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=12AB③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论．④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到S△AOG=S△COG，S△ACG=S△DCG，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，∠AGB=∠DGE∠BAG=∠EDG∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝12AB∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；∵连接CG，∵O、G分别是AC，AD的中点，∴S△AOG∴S△ACD＝4S△AOG，∵OG∥∴S△AOG＝S△BOG，∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；连接FD，如图：∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三边的距离相等，∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；正确的是①③④，故选C．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26八年级上·全国·期中）已知x≠y，且满足两个等式x2−2y=20262，y2【答案】4【分析】本题考查因式分解的应用，联立方程，通过因式分解求出x+y的值，再将x2+2xy+y2因式分解得【详解】解：∵x2−2y=2026∴x2∴x2∴x+y∴x−y∵x≠y，则x−y≠0∴x+y+2=0，则x+y=−2，∴x2故答案为：4．12．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于x的分式方程1x−2+kx+2=【答案】k≠−1且k≠−【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解．【详解】解：1方程两边同乘x+2x−2，得x+2展开并整理，得k+1x=2k+1当1+k=0，即k=−1时，方程无解，∴k≠−1，当k≠−1时，x=2k+1又∵分母不为零，需x≠2且x≠−2，检验增根：若方程有增根，则x=2或x=−2，若x=2，代入整式方程k+1x=2k+1，得2k+1=2k+1，化简得2=1若x=−2，代入整式方程得−2(k+1)=2k+1，解得k=−34，故当因此，分式方程有解的条件为k≠−1且k≠−313．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知x=12+3，y=12−3，记a为x的整数部分，b【答案】3−1/【分析】本题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，先有理化分母化简x和y，得到x=2−3，y=2+3；再确定x的整数部分a和y的小数部分b，最后计算【详解】解：∵x=1y=1又∵1<3∴−2<−3∴0<2−3<1，∴x的整数部分a=0，y的整数部分为3，∴y的小数部分b=2+3∴a+b=0+3故答案为：3−114．如图，在▱ABCD中，对角线BD=8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE=3cm，BC=4cm，则AD与BC【答案】6cm【分析】设AB与CD之间的距离为h，由条件可知▱ABCD的面积是△ABD的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，S四边形ABCD=BC⋅【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD=BC=在△ABD和△BCD中，AB＝CDBD＝DB∴△ABD≌△CDB（SSS），∵AE⊥BD，AE=3cm，BD=8cm，∴S△ABD∴S四边形ABCD设AD与BC之间的距离为h，∵BC=4cm，∴S四边形ABCD∴4h=24，解得h=6cm，故答案为：6cm．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）．15．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC，过点A作AE∥BC，且AE=12BC，连接CE【答案】8【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定，证出四边形ADCE是矩形是解题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质得到CD=12BC=4，AD⊥BC，利用勾股定理求出AD=【详解】解：∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴CD=12BC=∴∠ADC=90°，∴AD=A∵AE=12BC=CD∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形，∴矩形ADCE的面积=AD×CD=221故答案为：82116．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB=3，CF=4，则BE的长为______．【答案】2【分析】作EH∥AB，交BC于点H，连接AH交BE于点L，由平行四边形的性质得AD∥BC，∠BCD=∠BAD，根据角平分线的定义得出∠CBE=∠ABE，∠BCF=∠DCF，根据平行线的性质得出∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，即可推得∠AEB=∠CBE=∠ABE，∠DFC=∠BCF=∠DCF=12∠DCB=12∠BAD，根据等角对等边得出AE=AB，根据平行四边形的判定定理得出四边形ABHE是平行四边形，根据菱形的判定和性质得出AH⊥BE，BL=EL，AL=HL，∠EAH=∠BAH=12∠BAD【详解】解：解：作EH∥AB，交BC于点H，连接AH交BE于点L，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠BCD=∠BAD，∵∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，∴∠CBE=∠ABE，∠BCF=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，故∠AEB=∠CBE=∠ABE，∠DFC=∠BCF=∠DCF=1∴AE=AB，∵EH∥AB，AD∥BC，∴四边形ABHE是平行四边形，∵AE=AB=3，∴四边形ABHE是菱形，∴AH⊥BE，BL=EL，AL=HL，∠EAH=∠BAH=又∵∠DFC=1∴∠EAH=∠DFC，∴AH∥CF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH=CF=4，∴AL=HL=1在Rt△AEL中，EL=∴BE=2EL=25故答案为：25【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，等角对等边，勾股定理等知识，正确添加辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）已知，关于x的分式方程a2x+3(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；(2)当a=1时，求b为何值时，分式方程a2x+3(3)若b=0，a为正整数，分式方程a2x+3−b−x【答案】(1)x=−(2)b=112(3)3，55【分析】（1）将a，（2）把a的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值使分式方程无解即可；（3）把b=0代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和a为正整数即可确定a的值．【详解】（1）解：把a=2，b=1代入分式方程a2x+3得：22x+3方程两边同时乘以2x+3x−5得：2x−5去括号得：2x移项合并同类项得：10x=−2，系数化为1得：x=−1检验：把x=−15代入所以原分式方程的解是x=−1（2）解：把a=1代入分式方程a2x+3得：12x+3方程两边同时乘以2x+3x−5得：x−5−去括号得：x−5+2x移项合并同类项得：11−2bx=3b−10①当11−2b=0时，即b=11②当11−2b≠0时，x=3b−10x=−32时，分式方程无解，即3b−1011−2bx=5时，分式方程无解，即3b−1011−2b=5，综上所述，b=112或b=5时，分式方程（3）解：把b=0代入分式方程a2x+3得：a2x+3方程两边同时乘以2x+3x−5得：ax−5整理得：x=5a−15∵x=5a−15a+10=5−65a+10∴a+10必为65的因数，a+10≥11，∵65=5×13，∴65的因数有1，5，13，65，∵1，5小于11，∴a+10可以取13，65这两个数，对应地，方程的解x为0，4，对应地，a的值为3，55，∴满足条件的a可取3，55这两个数．【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．18．（6分）（25-26八年级上·山东潍坊·期中）小明发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方．例如4和5，有4×5+5=25=5(1)【证明结论】请填写该结论证明过程的依据．设m，n是连续的正整数，且m<n，可得n=m+1；所以mn+n=nm+1

=n⋅n

（______）=所以mn+n一定是正数n的平方．(2)【类比证明】小红发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明．【答案】(1)乘法分配律；等量代换(2)见解析【分析】本题考查了因式分解的应用．（1）根据乘法分配律解答即可；（2）设m<n，m、n是连续的正整数，可得n=m+1，从而得到mn−m=mn−1【详解】（1）解：设m，n是连续的正整数，且m<n，可得n=m+1；所以mn+n=nm+1=n⋅n（等量代换）=n所以mn+n一定是正数n的平方．故答案为：乘法分配律；等量代换（2）证明：设m<n，m、n是连续的正整数，所以n=m+1，所以n−1=m，所以mn−m=mn−1所以mn−m一定是正数m的平方．19．（8分）（25-26九年级上·吉林·期末）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，再将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，连接CD．(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)若点P在线段CD上，AB=1，则AP+BP的最小值为________．【答案】(1)正方形，见解析(2)5【分析】此题考查了正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识．（1）根据旋转的性质得到AB=AD=BC，∠A=∠B=90°．证明四边形ABCD是平行四边形．由∠A=90°即可证明四边形ABCD是正方形；（2）作点A关于CD对称的点A′，连接A′B交CD于点P，则AD=A′D=1，【详解】（1）解：四边形ABCD是正方形，理由：由旋转得AB=AD=BC，∠A=∠B=90°．∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：如图，作点A关于CD对称的点A′，连接A′B交CD于点P，则AD=A′D=1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴A′故答案为：5.20．（8分）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌温度枪的数量是用4000元购买乙品牌温度枪的数量的32(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共80个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？【答案】(1)甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：160元，200元；(2)该校共有两种购买方案：方案一：购买甲种25个，乙种55个；方案二：购买甲种26个，乙种54个；(3)购买甲种26个，乙种54个费用最低，最低为14960元．【分析】（1）设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为(x+40)元，根据用4800元购买甲品牌温度枪的数量是用4000元购买乙品牌温度枪的数量的32（2）根据总费用不超过15000元及乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍列不等式组求解即可得到答案；（3）根据（2）代入求解即可得到答案．【详解】（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为(x+40)元，由题意可得，4800x解得：x=160，经检验x=160是原方程的解，则x+40=160+40=200，答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：160元，200元；（2）解：由题意可得，80−m≥2m160m+200(80−m)≤15000且m解得：25≤m≤803，且∴m为：25或26，∴该校共有两种购买方案，方案一：购买甲种25个，乙种55个；方案二：购买甲种26个，乙种54个；（3）解：由（2）得，方案一费用为：160×25+200×55=15000（元），方案二费用为：160×26+200×54=14960（元），∵14960<15000，∴方案二：购买甲种26个，乙种54个费用最低，最低为14960元．【点睛】本题考查分式方程解决应用题，不等式组择优方案选取问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式．21．（10分）（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料：1和4为两个相邻的整数，4−1=3=2×1+1；4和9为两个相邻的整数，9−4=5=2×2+1；9和16为两个相邻的整数，16−9=7=2×3+1；…小海发现结论：若a和b为相邻的两个整数，其中a<b，则有b−a=2a根据题意，得b−a=1根据二次根式的性质a2=a，可以在等式两边同时平方，得整理得b−a=2a请根据以上材料，解决以下问题：(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．(2)若m和m+11为两个相邻整数，则m的值是．(3)若n和n+216为相差4的两个整数，求n的值．【答案】(1)((2)25(3)n=625【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．(1)根据证明过程补全即可；(2)根据已知结论，得出m+11−m=2m+1，求出(3)根据题意，得n+4=【详解】（1）解：根据题意，得a+1=等式两边同时平方，得(a整理得b−a=2a故答案为：(a（2）解：由题意可知，m+11−m=2m∴m=5，即m=25故答案为：25.（3）解：根据题意，得n+4=等式两边同时平方，得(n整理得：(∴n+8n∴n=25∴n=625．22．（10分）某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出）组别身高范围（单位：厘米）划记频数频率A149≤x<15430.03B154≤x<159正80.08C159≤x<164a0.15D164≤x<169正正正正正280.28E169≤x<174正正正正正一260.26F174≤x<179正正140.14G179≤x<184正一60.06请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)本次抽样调查的样本容量是___________．(2)a=___________，m=___________°．(3)请补全频数分布直方图(4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数．【答案】(1)100；(2)15，100.8；(3)见解析(4)168【分析】（1）由A的学生人数和所占百分比求出调查总人数；（2）用总人数乘以B的百分比即可求出a，用360°乘以百分比得到m；（3）根据a值补全直方图；（4）用总人数600乘以D的百分比即可．【详解】（1）解：本次抽样调查的样本容量是3÷3%=100（人），故答案为：100；（2）a=100×0.15=15，m=360°×28%=100.8°，故答案为：15，100.8；（3）补全直方图：（4）600×28%=168（人），∴身高在D组的学生有168人．【点睛】本题考查的是直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（12分）（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．【特例感知】(1)如图①，当点D在BC上，点E在AC上时，则△AEM的形状为；【类比迁移】

(2)当△CDE绕点C顺时针旋转至图②的位置时，此时点E在线段BC的延长线上，请判断△AEM的形状，并说明理由；【方法运用】(3)若CD=12BC，将△CDE由图①位置绕点C顺时针旋转α0<α<360°，当【答案】(1)等边三角形(2)等边三角形，见解析(3)60°或300°【分析】（1）先证明四边形ABDM是平行四边形，得到AM∥BD，BD=AM，利用平行线的性质，得到∠AEM=∠DEC=60°，∠AME=∠MDC=60°，∠MAE=∠C=60°，从而推出∠AEM=∠AME=∠MAE=60°，最后判定三角形△AEM为等边三角形；（2）连接DM，BD交分别AC、AE于点F、G，同理可证明四边形ABDM是平行四边形，得到AM∥BD，BD∥AM，再证明△BCD≌△ACESAS，得到∠CBD=∠CAE，BD=AE，得到△AEM是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到∠EAM=∠AGF=60°，从而判定三角形△AEM（3）连接BD、DM，同（2），可证四边形ABDM是平行四边形，△AEM是等边三角形有ME=AM=BD，设CD=a，则BC=2a，BD=ME=3CD=3a，先判定△BDC是直角三角形，∠BDC=90°，取BC的中点K，连接DK，通过DK=BK=CK=12BC=a，推出∠DCB=60°，即此时D在边AC上，那么α=60°；连接BD、DM，同①，可证△BDC是直角三角形，∠BCD=90°【详解】（1）解：由题意可得，AP=PD，BP=PM∴四边形ABDM是平行四边形∴AM∥BD，BD=AM∵△ABC和△DCE是等边三角形∴∠ABC=∠EDC=60°∴AB∥D