2026年湘教版高中数学选修第3章概率统计应用测试卷及答案

2026年湘教版高中数学选修第3章概率统计应用测试卷及答案第1页共1页2026年湘教版高中数学选修第3章概率统计应用测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.一个盒子里有5个红球和3个白球，从中随机抽取一个球，抽到红球的概率是多少？A.1/8B.3/8C.5/8D.3/5参考答案：C2.某校高三年级有500名学生，其中男生占60%，女生占40%。现要随机抽取50名学生参加活动，抽到男生的期望值是多少？A.25B.30C.35D.40参考答案：B3.已知一组数据：2,4,6,8,10，其标准差是多少？A.2B.4C.2√2D.4√2参考答案：C4.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，连续射击3次，恰好命中2次的概率是多少？A.0.147B.0.21C.0.441D.0.343参考答案：B5.已知两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∪B)是多少？A.0.42B.0.88C.0.98D.0.12参考答案：B6.某班级有30名学生，其中10名是团员，20名是非团员。现要随机抽取3名学生组成一个小组，抽到2名团员和1名非团员的概率是多少？A.1/19B.3/19C.5/19D.7/19参考答案：B7.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，μ=5，σ=2，则P(X3)是多少？A.0.1587B.0.3413C.0.8413D.0.6826参考答案：A8.某工厂生产的产品合格率为90%，现随机抽取4件产品，其中至少有3件合格的概率是多少？A.0.6561B.0.9472C.0.9861D.0.0139参考答案：A9.已知一组数据的样本方差为4，样本容量为16，则其标准差是多少？A.2B.4C.8D.16参考答案：A10.某市空气质量优良的天数占全年天数的70%，现随机抽取10天，其中至少有7天空气质量优良的概率是多少？A.0.0563B.0.1937C.0.728D.0.272参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.3，且事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B同时发生的概率为______。参考答案：0.182.某班级有50名学生，其中男生占60%，女生占40%。现要随机抽取3名学生，恰好抽到2名男生和1名女生的概率为______。参考答案：0.3363.一组数据：5,7,9,10,12，其平均数为______，中位数为______。参考答案：994.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ=10，σ=2，则P(X12)的值为______。参考答案：0.15875.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，连续射击5次，至少命中3次的概率为______。参考答案：0.83696.已知事件A的概率P(A)=0.4，事件B的概率P(B)=0.5，且事件A与事件B互斥，则事件A或事件B发生的概率为______。参考答案：0.747.一组数据的样本方差为9，样本容量为25，则其标准差为______。参考答案：38.某市空气质量优良的天数占全年天数的70%，现随机抽取10天，其中至少有7天空气质量优良的概率为______。参考答案：0.91329.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.2，则E(X)的值为______。参考答案：210.某工厂生产的产品合格率为90%，现随机抽取4件产品，其中至少有3件产品合格的概率为______。参考答案：0.8191三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中随机抽取一个球，抽到红球的概率是5/8。参考答案：√2.如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。参考答案：√3.样本方差是总体方差的无偏估计量。参考答案：√4.对于一个随机变量X，其期望E(X)一定小于或等于其方差DX。参考答案：×5.在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越大，说明两个变量的线性关系越强。参考答案：√6.如果一组数据的极差为10，那么这组数据的方差一定大于等于25。参考答案：×7.在独立性检验中，卡方统计量的值越大，说明两个分类变量之间关联性越强。参考答案：√8.对于一个分类变量，其频数分布直方图的高度之和一定等于1。参考答案：×9.如果事件A的概率P(A)=0.6，那么事件A的补事件A的概率P(¬A)=0.4。参考答案：√10.在分层抽样中，每个个体被抽到的概率都相等。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知一组数据：5,7,9,10,12，求这组数据的平均数和方差。参考答案：平均数为9，方差为92.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，连续射击5次，求至少命中3次的概率。参考答案：0.6573.在一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。参考答案：5/84.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ=10，σ=2，求P(X12)。参考答案：0.15875.一组数据的样本容量为25，样本方差为9，求这组数据的标准差。参考答案：36.对于一个分类变量，其频数分布直方图的高度之和是多少？参考答案：17.如果事件A的概率P(A)=0.6，那么事件A的补事件A的补事件的概率是多少？参考答案：0.48.在分层抽样中，每个个体被抽到的概率是否相等？参考答案：是五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产一种零件，已知该零件的长度X（单位：毫米）服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ=100，σ=2。现从该批零件中随机抽取一件，求该零件长度小于98毫米的概率。参考答案：0.02282.某市为了解市民对垃圾分类的知晓率，采用分层抽样的方法进行调查。该市总人口为100万人，其中老年人占10%，中年人占60%，青年人占30%。现计划抽取1000人进行调查，应分别从老年人、中年人、青年人中抽取多少人？参考答案：100,600,3003.某学校为了解学生的身高情况，随机抽取了50名学生进行测量，得到如下数据（单位：厘米）：160,165,170,175,180,185,190,195,200,205,210,215,220,225,230,235,240,245,250,255,260,265,270,275,280,285,290,295,300,305,310,315,320,325,330,335,340,345,350,355,360,365,370,375,380,385,390,395,400。请估计该校学生身高的平均数和标准差。参考答案：275,35.364.某公司对员工进行了一次技能考核，考核成绩X（单位：分）服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ=80，σ=10。现从该次考核中随机抽取100名员工的成绩，求这100名员工成绩的平均数在75分到85分之间的概率。参考答案：0.68265.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。现要从中随机抽取一个10人的小组，求该小组中男生人数为6人的概率。参考答案：0.11766.某商场进行了一次促销活动，活动期间购买满200元即可获得一次抽奖机会，抽奖时从10个奖品中随机抽取一个。已知这10个奖品中有3个是一等奖，2个是二等奖，5个是三等奖。现某顾客购买满200元获得了一次抽奖机会，求该顾客抽到一等奖的概率。参考答案：0.37.某工厂生产一种产品，该产品的次品率为5%。现从该批产品中随机抽取100件，求这100件产品中次品数不超过5件的概率。参考答案：0.82028.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。现要从中随机抽取一个10人的小组，求该小组中男生人数不少于6人的概率。参考答案：0.8281标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查古典概型。盒子里共有8个球，其中红球有5个，所以抽到红球的概率为5/8。A选项错误，1/8是抽到白球的概率；B选项错误，3/8是抽到白球的概率；C选项正确；D选项错误，3/5是抽到白球的概率。2.参考答案：B解析：本题考查超几何分布。男生人数为500×60%=300人，女生人数为500×40%=200人。抽到男生的期望值为50×60%=30人。A选项错误，25是抽到女生的期望值；B选项正确；C选项错误，35不是男生人数的60%；D选项错误，40不是男生人数的60%。3.参考答案：C解析：本题考查标准差。首先计算平均数，平均数为(2+4+6+8+10)/5=6。然后计算方差，方差为[(2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²]/5=8。标准差为√8=2√2。A选项错误，2是平均数；B选项错误，4是方差；C选项正确；D选项错误，4√2是方差的平方根。4.参考答案：B解析：本题考查二项分布。射手每次射击命中目标的概率为0.7，不命中的概率为0.3。连续射击3次，恰好命中2次的概率为C(3,2)×0.7²×0.3=3×0.49×0.3=0.441。A选项错误，0.147是恰好命中1次的概率；B选项正确；C选项错误，0.441是恰好命中2次的概率；D选项错误，0.343是恰好命中3次的概率。5.参考答案：B解析：本题考查独立事件的概率。两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.7-0.6×0.7=0.88。A选项错误，0.42是P(A)P(B)；B选项正确；C选项错误，0.98不是P(A)+P(B)；D选项错误，0.12是P(A)P(B)。6.参考答案：B解析：本题考查超几何分布。某班级有30名学生，其中10名是团员，20名是非团员。现要随机抽取3名学生组成一个小组，抽到2名团员和1名非团员的概率为C(10,2)×C(20,1)/(C(30,3)=45×20/4060=3/19。A选项错误，1/19是抽到3名非团员的概率；B选项正确；C选项错误，5/19是抽到1名团员和2名非团员的概率；D选项错误，7/19是抽到3名团员的概率。7.参考答案：A解析：本题考查正态分布。已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，μ=5，σ=2，则P(X3)=P((X-5)/2(3-5)/2)=P(Z-1)=0.1587。A选项正确；B选项错误，0.3413是P(Z1)的概率；C选项错误，0.8413是P(Z1)的概率；D选项错误，0.6826是P(-1Z1)的概率。8.参考答案：A解析：本题考查二项分布。某工厂生产的产品合格率为90%，现随机抽取4件产品，其中至少有3件合格的概率为C(4,3)×0.9³×0.1+C(4,4)×0.9⁴=4×0.729×0.1+1×0.6561=0.6561。A选项正确；B选项错误，0.9472不是至少有3件合格的概率；C选项错误，0.9861不是至少有3件合格的概率；D选项错误，0.0139是4件产品都不合格的概率。9.参考答案：A解析：本题考查样本方差与标准差的关系。已知一组数据的样本方差为4，样本容量为16，则其标准差为√4=2。A选项正确；B选项错误，4是样本方差；C选项错误，8是样本方差的2倍；D选项错误，16是样本方差的4倍。10.参考答案：B解析：本题考查二项分布。某市空气质量优良的天数占全年天数的70%，现随机抽取10天，其中至少有7天空气质量优良的概率为C(10,7)×0.7⁷×0.3³+C(10,8)×0.7⁸×0.3²+C(10,9)×0.7⁹×0.3¹+C(10,10)×0.7¹⁰=120×0.087481×0.027+45×0.057648×0.09+10×0.040354×0.3+1×0.028247=0.1937。A选项错误，0.0563是至少有7天空气质量优良的概率；B选项正确；C选项错误，0.728不是至少有7天空气质量优良的概率；D选项错误，0.272是至少有3天空气质量优良的概率。二、填空题1.参考答案：0.18解析：本题考查独立事件的概率乘法公式。由于事件A与事件B相互独立，所以事件A与事件B同时发生的概率为P(A)×P(B)=0.6×0.3=0.18。2.参考答案：0.336解析：本题考查超几何分布的概率计算。班级中男生人数为50×60%=30，女生人数为50×40%=20。恰好抽到2名男生和1名女生的概率为C(30,2)×C(20,1)/C(50,3)=(30×29/2)×20/(50×49×48)=0.336。3.参考答案：99解析：本题考查数据的平均数和中位数计算。平均数为(5+7+9+10+12)/5=9，中位数为9。4.参考答案：0.1587解析：本题考查正态分布的概率计算。首先将X标准化，得到Z=(X-μ)/σ=(12-10)/2=1。然后查标准正态分布表，得到P(Z1)=1-P(Z≤1)=1-0.8413=0.1587。5.参考答案：0.8369解析：本题考查二项分布的概率计算。设Y为命中次数，Y~B(5,0.7)。至少命中3次的概率为P(Y≥3)=1-P(Y3)=1-(P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2))=1-(0.7^0×0.3^5+0.7^1×0.3^4+0.7^2×0.3^3)=0.8369。6.参考答案：0.74解析：本题考查互斥事件的概率加法公式。由于事件A与事件B互斥，所以事件A或事件B发生的概率为P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9。7.参考答案：3解析：本题考查样本方差的平方根即标准差的计算。标准差为样本方差的平方根，即√9=3。8.参考答案：0.9132解析：本题考查二项分布的概率计算。设Y为优良天数，Y~B(10,0.7)。至少有7天空气质量优良的概率为P(Y≥7)=1-P(Y7)=1-(P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6))=0.9132。9.参考答案：2解析：本题考查二项分布的期望计算。二项分布的期望为E(X)=np=10×0.2=2。10.参考答案：0.8191解析：本题考查二项分布的概率计算。设Y为合格产品数，Y~B(4,0.9)。至少有3件产品合格的概率为P(Y≥3)=1-P(Y3)=1-(P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2))=0.8191。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查古典概型概率计算。盒中共有8个球，其中红球有5个，所以抽到红球的概率为5/8。计算过程符合古典概型公式P(A)=事件A包含的基本事件数/基本事件总数，条件自洽且有解。2.参考答案：√解析：本题考查互斥事件的概率加法公式。根据概率加法公式，若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，这是互斥事件的定义性特征，无矛盾且符合概率论基本定理。3.参考答案：√解析：本题考查样本方差与总体方差的关系。在统计学中，样本方差s²是总体方差σ²的无偏估计量，即E(s²)=σ²，这是大数定律和中心极限定理的推论，有明确的理论依据。4.参考答案：×解析：本题考查期望与方差的关系。对于随机变量X，其期望E(X)与方差DX是两个不同的统计量，E(X)表示平均水平，DX表示离散程度，二者没有必然的大小关系。例如，当X取常数值时DX=0，但E(X)可能不为0，因此该命题错误。5.参考答案：√解析：本题考查相关系数的性质。相关系数r的绝对值|r|越接近1，说明两个变量的线性关系越强；|r|越接近0，线性关系越弱。这是线性回归分析中的基本结论，符合统计学原理。6.参考答案：×解析：本题考查极差与方差的关系。极差仅反映数据的最大值与最小值之差，而方差反映所有数据偏离均值的程度。一组数据可能极差为10，但若数据集中，方差可能接近0；也可能数据分散，方差远大于25。因此该命题错误。7.参考答案：√解析：本题考查卡方检验的原理。在独立性检验中，卡方统计量χ²的值越大，说明观测频数与期望频数的差异越大，即两个分类变量之间的关联性越强。这是卡方检验的基本应用，符合统计推断原理。8.参考答案：×解析：本题考查频数分布直方图的性质。频数分布直方图的高度之和等于样本容量n，而不是1。若要表示概率，需将频数除以样本容量得到频率后再作图。因此该命题错误。9.参考答案：√解析：本题考查对立事件的概率关系。根据概率基本性质，若事件A的概率P(A)=0.6，则其补事件¬A的概率P(¬A)=1-P(A)=1-0.6=0.4，符合概率的互补法则。10.参考答案：×解析：本题考查分层抽样的特点。在分层抽样中，各层内个体被抽到的概率相等，但不同层之间被抽到的概率可能不同。例如，若各层样本量不同，则总抽样概率会按比例调整。因此该命题错误。四、简答题1.参考答案：平均数为9，方差为9解析：本题考查样本均值和方差的计算。平均数计算公式为所有数据之和除以数据个数，即(5+7+9+10+12)/5=9。方差计算公式为各数据与平均数差的平方和除以数据个数，即[(5-9)²+(7-9)²+(9-9)²+(10-9)²+(12-9)²]/5=9。2.参考答案：0.657解析：本题考查二项分布的概率计算。至少命中3次的对立事件是命中0次、1次或2次。P(X≥3)=1-P(X3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-C(5,0)×0.7⁰×0.3⁵-C(5,1)×0.7¹×0.3⁴-C(5,2)×0.7²×0.3³≈0.657。3.参考答案：5/8解析：本题考查古典概型的概率计算。抽到红球的概率为红球个数除以总球数，即5/(5+3)=5/8。4.参考答案：0.1587解析：本题考查正态分布的概率计算。首先将X标准化，即Z=(X-μ)/σ=(12-10)/2=1。然后查标准正态分布表，得P(Z1)≈0.1587。5.参考答案：3解析：本题考查样本标准差的计算。标准差是方差的平方根，即标准差=√9=3。6.参考答案：1解析：本题考查频数分布直方图的性质。频数分布直方图的高度之和等于1，因为所有类别的频率之和为1。7.参考答案：0.4解析：本题考查补事件的概率计算。事件A的补事件的概率为1减去事件A的概率，即1-0.6=0.4。8.参考答案：是解析：本题考查分层抽样的性质。在分层抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，因为分层抽样是按照各层比例进行抽样的。五、应用题1.参考答案：0.0228解析：本题考查正态分布的应用。首先，根据题意可知，零件长度X服从正态分布N(100,2²)，即μ=100，σ=2。要求零件长度小于98毫米的概率，即P(X98)。由于正态分布的对称性，可以将P(X98)转化为P(X102)，因为98和102关于100对称。然后，根据标准正态分布表，可以查到P(Z1)=0.1587，其中Z为标准正态分布的随机变量。因此，P(X98)=P(X102)=0.1587，即零件长度小于98毫米的概率为0.0228。2.参考答案：100,600,300解析：本题考查分层抽样的方法。根据题意，该市总人口为100万人，其中老年人占10%，中年人占60%，青年人占30%。现计划抽取1000人进行调查，应分别从老年人、中年人、青年人中抽取的人数分别为：老年人：100万人×10%=10万人，从中抽取1000人，即1000/10万人=100人；中年人：100万人×60%=60万人，从中抽取1000人，即1000/60万人=600人；青年人：100万人×30%=30万人，从中抽取1000人，即1000/30万人=300人。因此，应分别从老年人、中年人、青年人中抽取100人、600人、300人。3.参考答案：275,35.36解析：本题考查样本平均数和样本标准差的计算。首先，计算样本平均数：样本平均数=(160+165+170+175+180+185+190+195+200+205+210+215+220+225+230+235+240+245+250+255+260+265+270+275+280+285+290+295+300+305+310+315+320+325+330+335+340+345+350+355+360+365+370+375+380+385+390+395+400)/50=275。然后，计算样本标准差：样本标准差=sqrt(((160-275)²+(165-275)²+(170-275)²+(175-275)²+(180-275)²+(185-275)²+(190-275)²+(195-275)²+(200-275)²+(205-275)²+(210-275)²+(215-275)²+(220-275)²+(225-275)²+(230-275)²+(235-275)²+(240-275)²+(245-275)²+(250-275)²+(255-275)²+(260-275)²+(265-275)²+(270-275)²+(275-275)²+(280-275)²+(285-275)²+(290-275)²+(295-275)²+(300-275)²+(305-275)²+(310-275)²+(315-275)²+(320-275)²+(325-275)²+(330-275)²+(335-275)²+(340-275)²+(345-275)²+(350-275)²+(355-275)²+(360-275)²+(365-275)²+(370-275)²+(375-275)²+(380-275)²+(385-275)²+(390-275)²+(395-275)²+(400-275)²)/49=35.36。因此，该校学生身高的平均数约为275厘米，标准差约为35.36厘米。4.参考答案：0.6826解析：本题考查正态分布的应用。首先，根据题意可知，员工考核成绩X服从正态分布N(80,10²)，即μ=80，σ=10。现从该次考核中随机抽取100名员工的成绩，求这100名员工成绩的平均数在75分到85分之间的概率，即P(75X85)。由于正态分布的对称性，可以将P(75X85)转化为P(70X90)，因为75和85关于80对称。然后，根据标准正态分布表，可以查到P(Z1)=0.8413，P(Z-1)=0.1587，其中Z为标准正态分布的随机变量。因此，P(75X85)=P(70X90)=P(Z1)-P(Z-1)=0.8413-0.1587=0.6826，即这100名员工成绩的平均数在75分到85分之间的概率为0.6826。5.参考答案：0.1176解析：本题考查超几何分布的应用。根据题意，该班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。现要从中随机