2026初中数学9年级上(湘教)第一章 反比例函数(讲义)(原卷版)

第一章反比例函数（举一反三讲义）全章题型归纳







...................................................................................................................................................................4

1!"#$%&

........................................................................................................4

2"'()*"+,

........................................................................................................5

3(-."/012

............................................................................................6

4k"3456(789":

........................................................................................7

5";,

................................................................................................................................8

<=

.................................................................................................................................................................10

6>"?!@

..................................................................................................................10

7>"AB)@

..............................................................................................................12

8>"CDEFD@

......................................................................................................13

9>"34GH@

..........................................................................................................15

10(IJKL"MN@

..................................................................................................17

知识点1反比例函数的概念

1.



xy

=k!"#$

풌

풙풌≠ퟎ

%y&x'()*+풚

2.,

-./01

-./0+

퐱≠ퟎ퐲≠ퟎ

3.'()*!"2=OP=OQ=+

풌−ퟏ

풙

4.k%3

'()*()45'()*!"

6풙풚풌풚풚풙k789+

퐤≠ퟎ

知识点2求反比例函数的表达式

:;<=>'()*?"

@A

TTXYZ[=

풌

풚풙(풌≠ퟎ)

\]K^_`aGb("c;DdUe

RfTXYZghijk"kl

VVklgmnoC:k"D

WWnXYZ

知识点3反比例函数的图像与性质

1.BC=DE

@AFGE

,

I-JCKLM'

±1±2±3NO

H

PQR

y.

①STU

.VCWXYZ[\]WX

BC

^BRM

C

②;abc`de_fTCghijklLWXm

_`

nopqWXmMr

③

2.'()*st

'()*=[pg

풌

풚(풌풌≠ퟎ)

xy-./00g풙0qWXm4rC

풙≠풚≠

kuvkq0kr0

Ew

Ewxy

zc`{|x}~€‚

zc`{|x}~ƒ„‚

Y…‚^y.†x.Y…‚^y.†x.

st

‡ˆ‰Š‹‡ˆ‰‡ˆ

知识点4比例系数k的几何意义

1.Œ=0)EŽC

WXmV‘`q

WXm0’![“N}||.

푘

푥

2._f푦=(푘≠0)EŽCqJCg”•CxmymV‘`–

\]€]!3

\풌

푘

푦푥(푘≠

]€]![“—N}||.

풌

ퟐ

3.˜Œ'()*EC

WXmV‘`™š

›‘`q

WXm0E![“œ–||

.ž‰>*?".푘

知识点5反比例函数与一次函数图象的交点问题

1.=(0)(s=(0)"M!

푘1

122

t>0ugvwvxjy!cz"M!Ot푦푥푘≠푦푘푥푘≠<0ugv{M!|

푘1푘2푘1푘2

2.=(0)(-.=+(0)"M!

푘1

122

}~v"XYZg€[-x-‚.kl푦푥푘≠푦푘푥푏+푘≠=0|1ƒZ>0vw2xM!O

2

=0vw1xM!O<0v„wM!|푘2푥푏푥−푘1∆⟺

3.∆…†⟺=(0)(-.∆⟺=+(0)"V‡ˆZ+>‰+<

1

푘1푘

푦푥푘1≠푦푘2푥푏푘2≠푘2푥푏푥푘2푥푏

푘1

`푥1d}~vXYZgV-‚.klmhM!Š#$gO

`2d…†gB7"D‹OBŒ7"Dgc;푥1푥2x"ŽD‘[’;‡ˆZ"V

“|

”f•gt>0g>0ug+>"V“[<<0‰>g+<"V“[<‰

푘1푘1

1222122

0<<|푘푘푘푥푏푥푥푥푥푥푘푥푏푥푥푥

푥푥1

知识点6利用反比例函数解决实际问题

1.=0)>gaGbx"ŽD˜™š›gœ˜B›@>žŸ

¡¢£¤(›

푘

56¥¦CaGb"ŽD|푦푥(푘≠

2.p¨:©

`1dª«78S-Cug¬y(­x"XYZ[=<)O

푺

풚풙(ퟎ풙≤푺

`2d®«78S-Cug-^c¯°¬y(±-^c¯°¬x"XYZ[=>O

ퟐ푺

풚풙(풙ퟎ)

`3d²³F-Cug²´p(µ³78S"XYZ[=>O

푭

풑푺(푺ퟎ)

`4d¶²U-Cug¶·I(¶¸R"XYZ[=>O

푼

푰푹(푹ퟎ)

`5d¹º»¼½¹»bL-Cug¾¿u9t(ÀÁ»Ân"XYZ[=>|

푳

풕풏(풏ퟎ)

【培优篇】

【题型1反比例函数图象上点的坐标特征】

1

]K"ÃÄÅx!`﹣3g﹣4dE`2mgy1dE`6mgy2dgI>mq0gty1﹣y2

Æ4ugÇmÆ|

GZ1-1

]K=0)gBÈ-xɽgÊ"ˋÌˋgnjÍ!ÎÏBÐx

푘

"[`d푦푥(푘≠푦푥

A|(2,3)B|C|(0,3)D|

GZ1-2

”g!A˜(−2,3)-!gnjÍÑ!BÒ(−2,0)"˜`d

1

A|B|C|2,D|

2

(−1,−1)(1,−1)(−2,1)

GZ1-3

BÀ7Ó¯#$:>g!g3g3g2gԃBÅx‡Õ"ÉgÖ

퐴−2퐵퐶(−6,푚)

=(0)"ÃÄI>v!Ç"D[`××d

푘

푦A|푥1푘≠B|-1푚C|-6D|6

【题型2反比例函数的图像与性质的运用】

3

2

`2025·ØÙ¬Ú·‚Ûd]K()Ü()ÁB="gÝ<0<gÇ

12

ŒÍÞßs¦"˜`d퐴푚,푦퐵푛,푦푦−푥푚푛

A|+<0B|>0C|<0D|+>0

푦1푦2푦1푦2푦1푦2푦1푦2

GZ2-1

`24-25àáâ·ØÙãy·äåd]K="gt>0ugÊ"ˋÌ

푚−5

ˋgÇ"ŽDÎÏ[`d푦푥푥푦푥

A|4푚B|5C|6D|7

GZ2-2

=g=g=BÕ-#$:>"'”f•gÇgg"‹

푘1푘2푘3

123123

:[|`,“<”æçd푦푥푦푥푦푥푘푘푘

GZ2-3

]K=(0)"ÃÄè-EÅÉg(,)((,)˜=

푘푘

푦푥푘≠퐴푥1푦1퐵푥2푦2푦푥

112

"vx!gÖ=Ý=+gÇ"D[|

2

2

푥2−푥1푘−1푦푦1푘푘

【题型3反比例函数与一次函数图象的综合判断】

3

`24-25éáâ·êëì·íîïðdBÕ-#$:>g=(=""‹ñòó

푚

푥

‡ÎÏ"˜`d푦(푚−1)푥푦−

A|B|

C|D|

GZ3-1

BÕ-À7Ó¯#$:>g-.=+`agb[pgÝ0d"(

푦푎푥푏푎≠

=(0)"‹ñ˜`××d

푎푏

푦푥푎푏≠

A|B|C|D|

GZ3-2

`24-25àáâ·ôõö÷·äåd=(=(0)BÕ-À7Ó¯#:½"

푘

ÎϘ`d푦푘푥푦−푥푘≠

A|B|

C|D|

GZ3-3

`24-25àáâ·øùú÷·ä>d=(=gBÕ-#$:>"‹ñ˜

푎

푦푎(푥−3)푦푥

`d

A|B|

C|D|

【题型4反比例函数k的几何意义与面积间的关系】

4

`24-25éá⌷ûüü÷·ä>d”g![ýþiÿ"Åx!gԃÄ

ÐÅx!Āāgā"Ă°g(ā"M!ԃ[!푃,푄,푅g>făĄ"ąĆćÔ"78ýþiÿĈ.ĉ

[,,gI>푥푦=1:2:3푦gÖ=4gÇ퐶,퐵,퐴+=`××d

푆1푆2푆3푂퐴:퐴퐵:퐵퐶푆2푆1푆3

A|10B|9C|8D|7

GZ4-1

`2025·ĊċČč·ÛĎďĐd”gA˜yāsđā-!gĒ[c¯°Āª«gÝ!

6푂퐴푂퐵퐴퐶

BgCԃB=(0)E="|Öª«"78[14gÇk"D

푘

[|푦푥푘≠푦푥푂퐵퐴퐶

62

GZ4-2

”gBECԃ˜=(>0)(=(>0)""!gÝāgÄ!

CĀ"Ă°Myāj!Ag푦푥푥푦−푥푥퐵퐶∥푦

퐵퐶

(1)ÖB!"Š#$[2gm"78O

(2)!P˜xā-!gæç△퐴퐵퐶gÝgæçE|m"78|

퐶푃퐶푃∥퐴퐵푃퐴푃퐵△퐴퐵푃8

GZ4-3

`24-25àáâ·ûüùē·äåd”g!B˜=(>0)-!gÄ!B

푦푥푥

ԃĔ#$āĀĂ°gĂĕ[AgC|=(>0)"ÃÄ">!Mg(gԃ’

푘

Mj!DgE|æçĖė¬Mxāj!Fg!G푦(!푥O푥j!Cczgæç푂퐵g|퐴퐵퐵퐶

퐷퐸퐵퐹퐵퐺

(1)Ęę

=O

(2)m"78O푘

(3)mĚ

ěĜ«퐵퐷퐹[À¾ěĜ«|

퐵퐷퐹퐺

【题型5反比例函数的应用】

5

`24-25àáâ·øùĝč·íîïðd€

›Ğ>pğ,"Ġġ˜ĢģĤĥjĦfħh"|”,

ěx!ԃĨĩĪEģEīEĬěĭĠġ"Įį`ĭ>ģĤ"*b(Ġġ*b"Ddy(Ġġ"*bx"

£¤gI>ģEĬv!İıBÕ-"gÇÐěĭĠġ>IJģĤ*bFij"˜`××d

A|ĪB|ģC|īD|Ĭ

GZ5-1

`2025·ĴĵĶķ·ÅÛd˜ĸĹĺĻļĽľ"Ŀ7gŀ~À7Ó¯#$:|I>îÎŁ

Ą˜"-îgª«[ĔłŃ"ľńgľńŅ6mg­1mgnņ!Ci"Ňň퐵퐶

[11m|ÖĽľw-xʼnQ퐴푂퐸퐵gQ"Ņį‡Ņj3mgÇQi"ŇňŊŋ[m퐵퐸|퐶퐹

퐵퐶퐵퐸

GZ5-2

`2025·ŌōŎŏ·‚ÛdŐőŒĦœ>ywĦ"Ŕį[gē¶ŕœŖgŒĦœa?ŕŗ

Řř[ŚÄl>ĦŔ()(ŕœu9x`Ôdśĕ-.:]gtŘři20℃ua?ŜŝŘřgÊŖĦ

ŔŕŗŒŞ[ŚÄl>ĦŔ푦℃()(ŕœu9x`ÔdĄ:]gtĦŔŞŊ100℃ugŒĦœşa?ŕŗ

ŘřgŠšĩlŢ`”f•dgŸ

>ţŤ"ťgVŦŒÍ@

푦℃20℃

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(1)m>t"DO

(2)֍ŐBē¶ŕœŖ‘ŧnŨRgũŪďЍŐŨR45ÔūŬiőugŒĦœ½"Ŕįŭ[ijŋŮůįŰ

GZ5-3

B-.űŲĴųŴŵ"Ŷŷ>ŸŹ

”gýšuźgŻ½ęż>"ĮįYi4mg/LgŚŖ

ĮįŽÓ°ËŘgBè7uYiFŅD46mg/LgžŸſƀƁgƀƁŖęż>퐶푂"ĮįŒŞgŚuĮį

(u9Ą|Ÿ

>’ťgŬŦŒÍ@

퐶푂

(1)mƀƁƂEŖęż>"Įįy`mgLd(u9x`hdƃ9"XYZgĖWn’;"aGbx"Ž

D|퐶푂

(2)tęż>"ĮįYi34mgLugŻŒ3kmƄ"Ųƅçia?ƆƇgÐuƈƉŊŋžĒijŋ"Ɗ

įƋňƌÏBƀƁƂƍſŰ퐶푂

(3)ŲƅƎwBęż>"ĮįŞi4mgLƏĒŒugƌÏŬiŲŻŕƐſƑƒƓƅĀgÇŲƅŊŋBƀƁ

Ŗij¬u9ƌόŻŰ퐶푂

【拔尖篇】

【题型6反比例函数中的动点问题】

6

”gˆƔӯů«Bè-Ég!AgB"#$ԃ[(1,5),(1,2)g=90°|?!Dý

퐴퐵퐶∠퐵

!AnŸgƕ+?i!Cg=`>0d"LÃÄ!DgÇB!D"+?Äl>g

푘

푥

ŒÍÑ!>g퐴퐵−퐵퐶LÃÄv."˜`d푦푥

A|(1,2)B|(3,2)C|(2,2)D|(4,2)

GZ6-1

`24-25éá⌷ƖûŔ÷·äåd”1gB®«>g[Ĝ-?!gj!

gT=g=|t!ý!+?i!ugj"”퐴퐵퐶퐷퐸2f•gÇ퐴퐵j퐶퐹"XY⊥퐷퐸

퐹Z[퐶퐹푦|퐷퐸푥퐸퐴퐵푦푥푦푥

6

GZ6-2

”g!˜ƗƘ°=Bè-É"-?!gæçĖė¬M±-Ôƙj!gĒ[ƚ

푥

ĜĀˆƔRtg!퐴Bè‚ÉgÊƛ!푦"+?g!"òóƜ‡2"G€gœŗƝB-퐴푂퐵퐴퐵

+?gÇÐx"VƞZ[△퐴퐵퐶퐶|퐴퐶

GZ6-3

`24-25éá⌷ûüƟ÷·äåd”1gBÀ7Ó¯#$:>gsk«"Ĝ¬[

g!ԃBāEā"sđāv!ý!ƄÕunŸgԃƕƛ푥푂푦Ü"kĔ+?푂퐴퐵퐶xƠ

푚ò¬įg+?i퐴,퐶푥v!ƄÕuŜŝ+?gæç푦푃,푄|I>푂,퐵Á[pÝ푂→퐶0ơ퐵→퐴푎

퐶,퐴푃푄푎,푚푎푚≠

(1)mĚ

B+?Äl>°îÃÄ-C!gĉĀMgĖÓçWn!M"#$O(,IJwm"UZX•)

푃푄

(2)”2g!(!jy!cz|Ä!ĀƗƘ°=[pg0)(Mj!gĀÓ°

′푘

1

Ƣ(āE푀āԃMj푀v!gæç푂ơ푀푦푥(푘푘≠퐴퐵퐷

①퐷푀mĚ

푥푦퐸,퐹푀퐸

②ÖěĜ«푀퐸∥퐵퐴˜À¾ěĜ«gmna(mƃ9":ZO

푀퐸퐷푄

(3)t2ugB`2d>②"^_Œgė¬MƗƘ°=>0)jgƣÓ°ƕāĔŒÀƤÃ

푎

푚≠푀퐸푦2−푥(푥퐺퐷퐸푦

Ä!hiÓ°=+|Þ0gÓçWn‡ˆZ>+"V“|

푎

퐺푦3푠푥푡−푥푠푥푡

【题型7反比例函数中的存在性问题】

7

`24-25àáâ·ôõƥőƦ·äåd”g-.=+1"(="

푘2

1

’MjEv!g!Bāsđāg!()gæçE푦E푘푥EEgěĜ«푦[®«|푥

퐴퐵퐶푥퐷1,−2푂퐵푂퐴푂퐷퐷퐶퐴퐶푂퐴퐶퐷

(1)m-.("VƞZO

(2)Ÿ

gÓçWnD‹j-.Du"ŽDO

푥1

(3)T!˜Ó°-?!g˜ƧAB!gğ=2菱形gÖABgũÓçWnśĕ^_!"#

△푂퐴푃푂퐴퐶퐷

$gևABgũƨŐƩĢ|푃퐴퐵푃푆푆푃

3

GZ7-1

`24-25àáâ·øùƪč·ä>d”g]KÓ°=+4(="Mj!

gg!˜ā-?!gæçg|푦−푥푦푥

퐴퐵푃푦푃퐴푃퐵

(1)m!g"#$O

(2)t!퐴+?ug퐵"ƫ¬˜ƧABFDgÖABgũmnŚu!"#$OևABgũƨŐƩĢO

푃△푃퐴퐵3푃

(3)!Bāsđāg!˜=`>0d""-x!g֘Ē![Ó¯Ƭ

!"ˆƔӯů«ugmfwśĕ^_"!푁푥푀푦푥"#$|푥△퐴푀푁퐴

GZ7-2

`24-25àá⌷ƭƮƭ÷·íîïðd]Kgª«푀BÀ7Ó¯#$:>"òó”f•g

!CBxā"sđāg!AByā"sđāg]K!B"#$[푂퐶퐵퐴(2,4)g=>0)"

푚

푦푥(푥

ÃÄ">!DgÝ(Mj!EgƯ.æçOgDgE|

퐴퐵퐵퐶

(1)mm"DÜE"#$O

3

(2)B°îAB-!Mgt"78ˆj4ugm!M"#$O

(3)À7Ó¯#$:>˜ƧAB-!푂퐷△푀푂퐸NgğhOEDEEENě!ăĄÀ¾ěĜ«ŰÖABgũưƱN"#$O

ևABgũƨŐƩĢ|

7-31(>0)

GZ

`24-25éá⌷ěƲƳƴ·íîïðd”g]KÓ°=2(ƗƘ°=MjE

푘

v!gÝ!"Š#$[4|푦푥푦푥푘퐴퐵

퐴

(1)m"DO

푘

(2)ÖƗƘ°=(>0)-!gƵ#$[8gm"78O

푘

푦푥푘퐶△퐴푂퐶

(3)Ö()˜=(>0)"!gBā˜ƧAB!ğh"ƫ¬FŰÖABg

푘

mn!퐶2,푎"#$gĖmnÒƫ¬"FDOևABgũƨŐƩĢ|푦푥푘푥푀△푀퐴퐶

푀

【题型8反比例函数中的定值、最值问题】

8

”gBÀ7Ó¯#$:>g!AgCԃB#$āgÝěĜ«˜Ĝ¬[3"sk«g

푥표푦푂퐴퐵퐶

=(>0)"'(gĜԃMjgv!g"78[4g!P[yā-!g

푘

푥

Ç+"FD[`푦푥d퐵퐶퐴퐵퐸퐷△퐷푂퐸

푃퐷푃퐸

A|3B|25C|32D|5

6

GZ8-1

”gBÀ7Ó¯#$:>g!"#$˜(5,0)g!˜=(>0)'"-x?

푥

2푥푂푦퐴퐵푦푥

!gÄ!ĀāM=(<0)"'j!g!Bā`B"þĿdgÝ=gæç

푥푥

g|w”ŒěxÞß

퐵퐵퐶⊥푦푦①ěĜ«−ÎϘ®«O퐶②퐷ěĜ«푥퐷ÎϘsk«O퐴③퐴퐷ěĜ«퐵퐶

퐴퐵"ƫ¬˜CDO퐶퐷④ěĜ«"78˜CD|fws¦Þß"ޘ퐴퐵퐶퐷퐴퐵퐶퐷|퐴퐵퐶퐷

퐴퐵퐶퐷

GZ8-2

`2025·ûċ·ÛĎďĐd”1g!˜=`>0dƶ5-!gÄ!Ā

푘

ā"Ă°gĂĕ[g]K"78[1|퐴푦푥푥퐴푥

퐵△퐴푂퐵

(1)m"D|

(2)ÖÄ!푘"Ó°=+(>0)(āMj!g”2|

①mĚ

퐴=푦|푥푏푏푥퐶

②(퐴퐵"ÀkƷ˜‡˜CDŰ֘gmnÒCDOև˜gũƨŐƩĢ|퐵퐶

GZ푂퐴8-3푂퐶

`24-25éá⌷ųƸ·äåd”gBÀ7Ó¯#$:>g"ĜBxāg!

푥푂푦▱푂퐴퐵퐶푂퐶

B#$[(9,3)g!C#$[(5,0)g=0g>0"ÃÄ!Ag(Mj!E|

푘

푦푥푘≠푥푂퐵

(1)mÒ"XYZO

(2)!G˜yā"?!gæçggm+"FDO

(3)æçgB퐺퐴˜ƧAB!퐺퐸퐺퐴P`!퐺퐸P(!E‡Š0dgğh=ŰÖABgm

n!P"#$OևABgũƨŐƩĢ|퐴퐸푆△푂퐴푃푆△푂퐴퐸

【题型9反比例函数中的几何变换问题】

9

”gBÀ7Ó¯#$:>g°îAB"ƹ![A(1g1)EB(3g1)|tyÆ`xq0d"(

푘

°îABwM!ugTM![P`!P‡(!AEBŠ0dgƣ°îPBƺ!PƻuƼkĔƽ푥90°hi°î

PQgĒPAEPQ[ĜĀª«APQMgÖyÆ`xq0d"(ª«APQM"ĜAMw

ƾ!gÇk"D

푘

‡ÎÏ[`××d푥

A|5B|2C|3D|2

GZ9-1

`24-25éá⌷ûüƿ÷·äåd”gBĒ[#$y!"Ó¯#$:>gª«"vĜ

푂푂퐴퐵퐶

EԃBāÜā"sđāgƣ=(>0)"'ĔŒÀƤxƠò¬įŖgİıÕu

푘

푂퐴푂퐶푥푦푦푥푘푛

ÃĪ«c¯°M!ÜƬ!gÝ'(ĜMj!gÇ"D˜|

퐶퐷

퐴퐵퐶퐷퐶퐵

12

GZ9-2

`2025·øõǀǁ·ÅÛd”g-.=+(>0)"(="M

j!`!òjèÅÉdgÝ-.(āE푦āԃMj!푥푚푚|푦푥

퐴,퐵퐴푥푦퐶,퐷

(1)t=1ugm°î"¬O

(2)ƣƗƘ°ƕÓ°푚ǂ¾ǃDŽgǃDŽŖ"«(퐵퐶āÜāԃ’Mjv!gÖ=64gm"D|

△푂푃푄

GZ9-3

`24-25퐴퐵éá⌷ŠDždžû·äåd”푥1gBÀ7Ó¯#$:>g-.푦푃,푄푆="(푚

푦1푥−2

=(0)"Mj()g()v!gÓ°(yāMj!Cg(xāMj!Dgæ

푘

2

ç|푦푥푘≠퐴−2,푎퐵푚,2퐴퐵

푂퐵

(1)m=(0)"XYZO

푘

2

(2)m"78O푦푥푘≠

△퐵푂퐶

(3)”2gƣÓ°ĔÀƤgÄ