2026初中数学9年级上(湘教)第二章 一元二次方程(讲义)(原卷版)

第二章一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳







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78()-0109:

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10-BCDE

..................................................................................................................13

知识点1一元二次方程的定义

1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做

一元二次方程.

2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.

1

FG

+=2H+1H+=0H+8=0H=IJK.

22232

푥푥푥푥푦−3푥−3푥(푥−1)(푥−2)푥−1

知识点2一元二次方程的一般形式

1.一元二次方程的一般形式是++=0(0)，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，

2ퟐ

是一次项系数；是常数项.푎푥푏푥푐푎≠풂풙풂풃풙풃

2.L1M是一元二次方程一般形式的重要条件，但是풄b，c可以为0；L2M任何一个一元二次方程都可

以化成一퐚般≠形ퟎ式；L3M一元二次方程的各项都包含它前面的符号.

3.一元二次方程的特殊形式.

（1)当b=0时，得+=()；

ퟐ

（2)当c=0时，得풂풙+풄=ퟎ풂(≠ퟎ)；

ퟐ

풂풙풃풙ퟎ풂≠ퟎ

（3)当b=0且c=0时,得=().

ퟐ

풂풙ퟎ풂≠ퟎ

知识点3一元二次方程的解（根）

1.定义：NOPQRSTU1:VKWX$H$YZ[

).

2.\]^_41)H\]_QXS41)HY\]_QXJS41).`HK

++=0(0)QX41)HabcQXS,deHf\8(WQXS,9$TUg푥1푥2

2

1

+푎푥+푏푥=0(푐0푎)，≠++=0(0).

22

푎푥1푏푥1푐푎≠푎푥2푏푥2푐푎≠

知识点4直接开平方法解一元二次方程

1.hi1ajkl)mHl)m±n

FG

144jkl)m144푎=12Hl)m푎±144=±12n

2.)ol)pqrstlu$%HZ[rstl%n

FG=25H$v=±5n

2

#wHxy푥푥=pn

2

푥

>0方程有两个不等的实数根=，=

푝푥1풑푥2−풑

=0方程有两个相等的实数根==

푝푥1푥2ퟎ

<0方程z41)

푝

3.rs{$|}

(1)~m=p€(+)=(0,0)E,

22

L2)rstlmQX푥푚푥푛푝푝≥푚≠

L3)$QXv‚ƒ$n

知识点5配方法解一元二次方程

1.$„H…†‡1ˆ‰‚PRHŠ†‹OR&dŒ_TU1Žl,H~m

(+)=E,HGPRKXhi1H‘’V\“8(rstl%9$nW”•–&dŽ

2

lE,u$%HZ[&%n푥푎푏

2.&%$#|}(—F)

#|}%4F=0)

2

~‡1ˆ‰‚PRHŒ(9푦−18푦−4

‰‰ˆ=4

TU1ˆ‰‚OR

2

9푦−18푦

O˜PQR™„š“4

ˆ01m1=

ˆ019

2

푦−2푦

4

+1=+1

O˜PQR™„œ9

›&&2

ˆ01žl푦−2푦

=13

9

2

(푦−1)

8(l)pqrstl13

Ÿttl=±

3

(y−1)

13

$v¡QX)‰ˆH3f™¢ˆy=1+Hy=13

33

121−

£¤

¥R&d¦yTU1Žl,§HG¨RK©1H‘’WXV_QXJS

41)G¨RKªH‘’WXV_QXS41)G¨RKi1H‘’WXV

^_41)n

3.$«o

±=±+H†

,¬­®TU1Hf(¯°Ha±=±+

22222

n(푎푏)푎2푎푏푏푎푥푥(푥푏)푥2푏푥

2

푏

知识点6一元二次方程根的判别式

xyH•–&\v+)Ha)./±

1.++=0)=2

푏2푏−4푎푐

222

²>³n푎푥푏푥푐0(푎≠(푥2푎4푎푏−4푎푐

#wH,´Z[++=0)*+,H•‡(µ¶·¸“”¹—‹H=

ퟐ2ퟐ

n풃−ퟒ풂풄푎푥푏푥푐∆∆풃

2.−ퟒ풂풄)*+,²-)./

L1M>_QX∆JS41)

L2M∆=0⟺_QXS41)

L3M∆<0⟺z41)n

3.'(∆0⟺

L1MJ$*º)./

L2M)o)./9·¸01;:<=n

知识点7公式法解一元二次方程

±

1.¥„H•–&H»41)\¼mE,HWX,´

0++=0)=ퟐ

2−풃풃−ퟒ풂풄

Z[∆≥푎푥+푏푥+=푐09)

,n~½01rs¯¾9)

,HW”$%0(푎≠풙ퟐ풂

2

Z[

,%n푎푥푏푥푐

>0_QXJS41)=±

2

−푏푏−4푎푐

∆푥2푎

=0_QXS41)==

푏

∆푥1푥2−2푎

<0z41)

2.8∆(

,%$#|}

L1M†m#E,H¿³aHbHc:

L2M9¡=:

2

∆푏−4푎푐±

L3M`Ha~aHbHc:¯À9)

,9¡)H`Haz41)n

0=ퟐ<0

−풃풃−ퟒ풂풄

∆≥풙ퟐ풂∆

知识点8因式分解法解一元二次方程

1.…Á,Â$HNmQX,ÃÄSy0E,HŠNWQX,Â+Sy0HÅ

Æ4Ç{HW”$%Z[Á,Â$%n

2.È3(Á,Â$%9$E,

3.8(Á,Â$%$#|}

一移使方程的右边为0

二分将方程的左边因式分解

三化将方程化为两个一元一次方程

Ÿ$¼¡QX$

知识点9一元二次方程根与系数的关系

1.±9)

,\v¥„HQ)Â+mH

++=0)=ퟐ=

2−풃+풃−ퟒ풂풄

∆≥ퟎ푎푥푏푥푐0(푎≠푥1ퟐ풂푥2

,a+=H=n

ퟐ

−풃−풃−ퟒ풂풄풃풄

1212

FG

ퟐ풂푥+푥+=−풂0Q)m푥푥풂HHa+=H=n

2

2.푥푝푥)-0푞10'푥(1푥2푥1푥2−풑푥1푥2풒

L1MJ$H9yQ)¯1,:n

L2MÉU)H9¨)ʬ·¸:n

L3MÉUQ)0H9¬·¸:n

L4M-)*+,Ë3H$>Ì23n

知识点10实际问题中常见的数量关系及表示方法

1.lIÍÎL{ÏMÐA

ÑÍÎL{ÏMÒ1maHÓlIÍÎÐL{ÏÐMmxHÍÎL{ÏMn§1ÔmbHaÍÎ

Ð

,m+=H{ÏÐ

,m=n

푛푛

2.ÕÖ8푎(1×A푥)푏푎(1−푥)푏

L1M8×=ÖØÙÚ؁

8×ÖØÚØ

L2M8×Ð=×100%=×100%

ÚØÚØ

−

L3MÖØ=ÚØ×(1+利润率)

L4MÛ8×=ÓÜÝÞ8×ßÕÖÔ=Ûà¾ÙÛá¡n

3.BCA

L1MâÄ

,

=H=H=H=1

长方形正方形圆三角形2

22

ãä

åaHbÂ+mÎEΘæ푆푎푏푆푎푆휋푟푆푎ℎ

çam©ER΁

èrméžê

ëam›ìERÎHhmRÎmaRín

L2MîÄ

,

=H=H=H=1n

长方体正方体圆柱圆锥3

322

ãä

åaHbHh푉Â+mÎîΘæ˜í푎푏ℎ푉푎푉휋푅ℎ푉휋푅ℎ

çam©îï΁

èRméðñâéžêHhméðí

ëRméòñâéžêHhméòín

4.óôA

óõö+øùúóõ+øùúóõ=ùóõ§úóõÛ1n

5.ü1A

`gýþÿ1mHaĀāĂý¬ÓþăýĄ1mĄHăýÛĄ1mĄ.ĆāĂý¬ÓþăýĄ

n(2

푛(푛−1)

1m2(ĄHăýÛĄ1m(Ąn푛−1)

6.1·푛−1)A푛푛−1)

两位数十位数字个位数字三位数百位数字十位数字个位数字

10+100+10+

7.Ĉ푥ĉ8푦ĊA푥푦푎푏푐푎푏푐

ċĊČ=ċč+8Ċ8Ċ=ċč×8Ð×ĈĎn

8.ďLĐMA

ď®ÛÔ=ď®đÐ×ﮄĒē=ĔĕׄĒn

9.?@A

$>BCDE¬?@AH•‡KĖ@ė?ʬHc¡ęĚ¯1,HŠ8(âÄ

,˜ěĜ

³ĝSc¡$>n

知识点2列一元二次方程解应用题的一般步骤

\ĞĀwÂmğ˜Ñ˜c˜$˜Ġ˜ġĢX|}n

L1Mğ

ģĤğHÂĥpHä¿ÉUԘTUÔʋĦħĒ0

L2MÑ

(·¸LGxM¹—Ĩ¬XTUԁ

L3Mc

)oSÔ0Hc¡ĩĪ¯1,HÚÆc¡

L4M$

$H9¡TU1:

L5MĠ

īĠ$KĬ²345pqHJ²345pqĭĮ

L6Mġ

¼¡ġįLİıĀIJijĴ)n

【培优篇】

【题型1一元二次方程的相关概念】

F1

L24-25ĵĶķ·ĸĹĺĻ·ļĚĽľMÉUaK+1=0$Ha¯1,+

22

:mn푥−2푥2023−푎2푎

Ę,1-1

L24-25ĿĶķb·ŀĸŁł·ļĚĽľMbcKKLM

1

An+3=Bn=0Cn=Dn+=1

222

푥푥푥푥

Ę,1-2

L24-25ĵĶķ−푥·Ńń3Ņ·ļĚĽľM~2(푥−1)3푥=3d#E,H¥2푦

2

ˆ01m3„Hˆ01ȇ1ˆÂ+mLM4푥−1푥

An4HBn4H1CnHDnH1

Ę,1-3−1

L24-25ĵĶķ·ŃńņŇ·ļĚĽľM`−4−1()||+−4=0KyH

푎

a=n푎−2푥3푥−푎푥

푎

【题型2一元二次方程的一般解法】

F2

L24-25ĿĶķb·ňʼnŊŋ·Ď¬MÉU41Ōō(+)()+6=0Ha+:

222

Kn푥푥푥1−푥−푥푥푥

Ę,2-1

L24-25ĿĶķb·ŎŏĸŐőŒ·ļĚĽľM$bc

(1)(+5)=25

2

(2)푥+=0

2

(3)푥+2푥+21=0

2

(4)3푥+10푥=0

2

Ę,푥2-26푥−4

L24-25ĿĶķb·ŀĸœŔ·Ď¬My()=3()HbcŸ”J™$%¬HŽ

©¿KLŕŕM푥푥푥−1푥−1

①QR™„š“()v=3.

푥−1푥4±28

②ĞŖĝv=H=1H=H=H=28H=2=2±7.

22

푥푏

③Ŗĝv−4푥=H&v−3∵푎+푏+2−4=푐H−3()−4푎푐=H∴=푥±1H=1H=3.

222

2

④‰ˆv

푥−4푥−3=0H푥4푥=0€−1=0∴H푥−2=1H−1=∴푥−23.∴푥1푥

2

An①(푥−3)(푥−1)Bn②∴푥−3푥−1Cn④∴푥1푥Dn③④

Ę,2-3

L24-25ĿĶķb·ŗĹŘř·ĎŚMGDHĖÎE¬H“@méśHmžê®Ŝ-

퐴퐵퐶퐷퐴퐴퐷퐴퐶

ŝy@H“@méśHmžê®Ŝ-ŝy@nÑ==Ha+=X©)

22

KLŕŕM퐹퐶퐶퐷퐴퐶퐸퐴퐵푎,퐴퐷푏푥2푎푥푏

AnÎBnÎCnÎDnÎ

퐴퐸퐶퐹퐸퐹퐴퐶

【题型3配方法的应用】

F3

L24-25ŞĶķb·ŗĹşŠ·ļĚĽľMšŢţĖŤÃ%

,±=±+ť”ė(

222

§HŦ9™

Ħė(ĩ

Uŧ9¯1,++5Ũũ:n™

ĦŪ–ŝūŬŭHŨ§ÛË¡Gb$ġ(푎푏)푎2푎푏푏

2

%

푥4푥

++5

2

푥=4푥++4+1

2

=푥+2)4푥+1

2

Ám(푥+2)0Hĩ“¥=„H+2)Ũũ:K0n

22

ĩ“(푥+2)+≥11n푥−2(푥

2

ĩ“¥(푥+2)=≥0„H+2)+1:ŨũHŨũ:K1n

22

ĩ“(푥++5Ũũ:K(푥1n

2

«oŮ%H$>bcA

푥4푥

(1)¥=______„H+5)+7_Ũũ:K______

2

(2)ťˆ,푥+18(푥_Ũ______(ů“Ű”€“ũ”):Hf9¡űťˆ,Ũ:

2

(3)ÉU−푥−4푥›RȘŲK©Ŗ1HųŌō+=H9¥=4„HŴÎn

22

Ę,3-1△퐴퐵퐶

L2025·ŃńĢŃ푎푏·ŵMÉU푐HHm41Hų푎푏−2푎+=8푏−17+3푐H=△퐴퐵퐶+Ha

22

HHħĒŰũ0KLM푥푦푧푦푧5−4푥푥푧−푦1−2푥푥

푥푦An푧<Bn<Cn<Dn<

Ę,3-2푥

L푦≤2025·푧ŃńŶł푦·ŵŷŸŹMÉU41푥≤푧푦≤aH푧bŌō푥+=푧>푥0≤Habc*º©¿KL푦M

An+>2,++<4Bn+<2,푎+2푏+4,푎<4

22

Cn푎+푏>2,푎+5푎+2푏>4Dn푎+푏<2,푎+5푎+2푏>4

22

Ę,3-3푎

L푏2025·푎ŀĸŇł5푎2푏·ŵM1

źŻż?¬HŢţŽ¡¦QXťˆ,푎푏푎5푎2푏2++H

22

푥푝푥푐−푥

++L»¬pHqHcIKJmª‡1MÊWQX¯1,ÌĊHGb¹ĩ—

ťˆ,푞푥푐xťˆ,ÚĐÁ,Â$xťˆ,N(&%

2++++2+

22

푥푝푥푐(2푥푎)(푥푏)(푥−푚)푘1

+++++

22

−푥푞푥푐−(푥−푛)푘2

Lãä

aHbH(푥mH푎)(−푥nHH푏)Im‡1M

푘1푘28

_

žźŻv‚“bŸXËŭ

①`+=12Ha+6=②`==2Ha=3③`_ųſ

_Xx:HN¯1,2++:m푝푞0Ha2푚=0④푛`푝=2푞Hac:J\]K푐−n»¬

2

ĩ_．．©¿ËŭƀK푥n푝푥푐푝−4푞푚−푛−5

【题型4根的判别式与一元二次方程根的情况】

F4

L24-25ĿĶķb·ŃńĢŃ·ĎŚMÉUy(+2)+=0n

2

(1)9Ɓ

zŭ;C:HƂÛ_QXJS41)푥푥−푘푥푘−1

(2)ÉU2KƂX)H9푘:ČWX¨X)n

Ę,4-1

L24-25ĿĶķb·ƃĹƄƅ푘·ļĚĽľM`y2+=0_QXS

2

41)Ha:mLM푥푥−4푥−1푘

An6푘Bn4Cn2Dn3

Ę,4-2

L2025·ƆŘƇ®·ŵM³qėj

※=+HFG4※3=4+4××3Ha

2222

J$H*º(+1)※2=0)./K푎푏n푎푎푏−2푏3−2

Ę,4-3

L24-25ĿĶķb푥·ŀĸŁł·ļĚĽľMxy++=0(0)Hbcã%

2

①`++=0Ha0②`+=0_QXJS4)Ha푎푥푏푥푐푎≠++=0ƈ

222

_QXJ푎푏S4)푐③푏−4푎푐`K≥++푎푥=0X)Ha³_푐++1=0de푎푥푏푥④`푐K

2

0

++=0)Ha푐푎푥푏푥=푐(+)H»¬©¿LŕŕM푎푐푏푥

222

0

Anſ_푎①②푥푏푥푐Bnſ_①②④푏−4푎푐Cnſ_2푎푥②③④푏Dnſ_②③

【题型5根的判别式与根与系数关系的综合】

F5

L24-25ĿĶķb·ŃńŃƉ·Ď¬M`y+=>0)n

22

L1Mű)./KLů“QXS4)푥”˜“QXJS4)푥2푥−”€푚“z4)−푚”M0(푚

L2M¥=1H2H3HH2025„H'QX)Â+Ɗm˜HHHHH

푚1⋯1111111훼1훽1훼2훽2훼3훽3⋯

HHHa++++++++:mn

12025

훼2025훽2025훼훽1훼2훽2훼3훽3⋯훼2025훽

Ę,5-1

L24-25ĿĶķb·ŃńŃƉ·ĎŚMÉUyx+5=0_QX41

2

)HHųŌō++=+6Ha=LM푥−4푥−2푚

2

푥A1n푥2€1푥1푥2Bn푥11푥2푚Cn푚3€Dn

Ę,−35-2

L24-25ĵĶķ·ŀĸƋł·ļĚĽľMy−1x+−1+=0_QXJS4)H

2

1

H`=2HaŨŰ:KLM푎푥푏푥푐푥

푥2An푥12푥14푏−3푎푐Bn4Cn6Dn8

Ę,5-3

L24-25ĿĶķb·ŀĸƋł·ļĚĽľMxyyx¯1,++H`ĈĖ41mHNv

2

¥=„H¯1,:YSymHaĴmmWX¯1,“J?:”nFG

xyy푎푥푏푥푐x¯1,H¥=0

2

„H¯1,:Sy푥푚0¥=1„H¯1,:Sy1HƌĦVĴ0Č1ŲKWX¯1,“J?:푥”n푥

(1)yx¯1,J?:K푥n

2

(2)*ºyx¯1,푥−62+1KĬ_J?:H`_Hƍ9¡¯1,J?:`^_Haãäĝ±n

2

(3)ÉUyx¯1,푥−푥+()(0)n

2

①`Ƃ¯1,Ǝ_XJ?:H9푎푥4−푎푥−3a:푎≠

②`Ƃ¯1,_QXJ?:HųQXJ?:Əm2Hrs¼¡©Ŗ1a:n

【题型6一元二次方程的实际应用】

F6

L24-25ĵĶķb·ƐƉƑð·Ď¬MƒďƓm¦žƔƕ”ƖƗƘƙH>³Åƚ'ÝƛƜƝƞ˜ƟQ

”ďƒƙnÉUÓƠƞďƒƙăÓƠƟďƒƙơ4HďƓøƢƣ800ƤƜƞďƒƙČ240

ƤƜƟďƒƙHƥÇƞďƒƙƠ1KƟďƒƙƠ12Ʀn

(1)9ÓƠƞďƒƙ-ƟďƒƙÖØÂ+mťƧn

2

(2)ÉUƚ'ÝÓƠƞďƒƙÚØKHÓƠƟďƒƙÚØK3Hƞ˜ƟÖØJĘnm¦ƨŰž

ƔHďƓ>³ŠƜƝWQ”ďƒƙHųøƜƝƞďƒƙ1ÔăøƜƝ1ÔƧ푎푎%HƜ

ƝƟďƒƙ1ÔKø3Ʀn`ƚ'ÝøƩƪ8368H9:n10푎

Ę,6-1

GJƫ<HƬƭóôĔĕƮƮƯưH_”Ƭƭ1ÀƱõ§HŪ–QùóôHƩ_푎361ÀƱ

õn

(1)lIÓÀÓùƱõťƧÀƲ

(2)øùóô§HÀĦœƳƫ<HNƬƭóôƴĕƵƧ‚ƒu%HWƶø›ùóô§ƱõÀ1ſK

øùóô§ƱõÀ110ƦH9:n푎

Ę,6-2

2025ĶƷĎHƌƸƹƺƻƼíŁČƽƾHƿǀũƸǁÂǂǃDŽDžnũƸdžLJLjĝ

lj>푎

³NJ”ǂǃHüNjƜƝũnjǍČǎǏƩ50ǐÚĐǑ”n»¬ũnjǍÓǐ680HǎǏÓǐ1000HŪ

ŹjHƜƝQ”ǃƩĪ38800n

(1)ƒüNjƜƝũnjǍ˜ǎǏ½ťƧǐƲ

(2)45ƜƝ„HŪdžLJLjĝ

lj-݃ǒÝHÓǐũnjǍČǎǏÖØIb{L10)MHųQ”

ǃÖØÓ{Ï10HdžLJLjĝ

lj~ĖƒüNjÒǓťƜƝũnjǍ2ǐHǎǏ10푚1ǐndžLJLjĝ

lj4푚≤

5ƜƝƣ(ăƒüNjť3600H9džLJLjĝ

lj45ƜƝQ”ǃƩťƧǐƲ

Ę,6-3

1ǔ21ǕHƐƉĖšǖǗǘЦǙǚƐƉŲǛǜkǝǞĶǟǠ¹ǡH“ǞĶŖ@ǟǠE,Ǣ

ǣǤǥHmƱǦǧƉ˜ǨǩÇĄǪ=Hƞ˜ƟQÀŽǫƒǬƮǭǮǯŗĄǰ­ǟǠ¹ǡ˜±y¥DZǰ

­ǟǠ¹ǡÀDzťHƞ…~dzt‚ǴǵǫǶƒ50ǷǸǹdzĄ§HŠ|Đ1ǷǸ‚ǺĨwHƩƢ¦1.5

ũ„HƂĎĒHÉUƞtdzlIĔĕKƞ|ĐlIĔĕ퐴25Ʀn

(1)9ƞtdzlIĔĕÊ|ĐlIĔĕÂ+KťƧƲ

(2)Ɵ…~dzt‚ǹdzĄ§HŠ|ĐǬƮĨwHÛēm46ǷǸHƂĎĒHÉUƟtdzlIĔĕăƞt

퐵1

dzlIĔĕưǷǸ/ũ„>0)HƟtdz„Ēăƞtdz„ĒƧ24ũ„Ɵ|ĐlIĔĕăƞ|Đ

1푚(푚1푚

lIĔĕư4ǷǸ/ũ„HƟ|Ц3ũ„§‚ǺĨwH9:n

푚푚

【拔尖篇】

【题型7利用根与系数的关系求值】

F7

L24-25ĵĶķ·ŇǻǼǽ·ļĚĽľMGmHnK+=0QX)H‘’ť

2

3푥

ˆ,+++2032:Kn푥−3

3

푚푛

Ę,7-13푛−푚푛

L24-25ĵĶķ·ǾǿȀİȁ·ļĚĽľM`m˜nK+=0QX41)H

2

a+17:Kn푥푥−3

32

푚−4푛9

Ę,7-2

ÉUȂJS›X41a˜b˜cŌō=H=H92+2:n

푐푐푎푏

푎푏푐푐

Ę,7-3

L24-25ĵĶķ·ĸȃŘȄ·Ď¬MÉUH−푎−3HHmȂJ−푏−3S41Hų푐−(+)(+)=2H

(+)(+)=2Ha:mLM푚푛푠푡푚푠푚푡

푛푠푛푡푚푛−푠푡1

AnBn0Cn2Dn2

−2

【题型8利用一元二次方程的根求取值范围】

F8

`yx()+=0ĩ_)ŲKă1ũ©1na41m;:<=Kn

22

1−푚푥2푚푥−1

Ę,8-1

L2025·ȅȆ›ä·ŵMÉU()(+)=0›XȂJS41)\®m›ì

2

E›RRÎHa41;:<=KLM푥−2푥−4푥푎

An1<<3푎Bn1<<4

Cn3<푎<4Dn2<푎<3

Ę,8-2

ÉUy푎++=0푎_QX)HHųŌō1<<<2nƊ

2

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