2026新教材数学 3.5.2 图形面积问题与动点问题 课件 湘教版数学九年级上册

第3章一元二次方程3.5一元二次方程的应用九年级数学XJ上第2课时图形面积问题与动点问题旧知回顾2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm.若将矩形ABCD沿AB方向平移2cm，得到矩形A′B′C′D′，则四边形A′BCD′的面积为____cm2.1．平移前后图形的形状，大小_____(填“变”或“不变”).不变93．长方形的面积＝____________；三角形的面积＝____________；正方形的面积＝____________．长×宽

边长的平方自学互研知识模块一图形面积问题

思考图①

图②

根据等量关系,可以列出方程

方法总结:

依据矩形面积公式列一元二次方程;

图1图2

图2

方法总结:平移道路,将分散绿化区域拼接成完整新矩形,简化面积计算;

通用思路:不规则图形优先平移,割补转化为规则图形再建模.

【例1】要把一块长BC为30m，宽AB为20m的矩形ABCD空地修建成花园，要求在花园内修建宽度相同的小路(如图)，且小路的总面积为96m2，剩余的部分种植花草．设小路宽度为xm.(1)用含x的代数式表示小路的总面积为____m2；(2)求小路的宽．解：(1)(－x2＋50x)(2)由题意，得－x2＋50x＝96.整理，得x2－50x＋96＝0.解得x1＝2，x2＝48.经检验，x2＝48不符合题意，舍去．∴x＝2.答：小路的宽为2m．归纳总结

列一元二次方程解应用题的关键是找出题中相等关系，在面积或体积问题中，通常找面积公式或体积公式得到相等关系．对求出的两个解一定要进行对实际问题的题意检验，讨论是否符合题意．

【变例】如图，在宽为20m，长为32m的矩形空地上修同样宽的两条互相垂直的水泥路，余下部分作为草地．现要使草地的面积为540m2，求水泥路的宽应为多少米？解：设水泥路的宽为xm.依题意，得(32－x)(20－x)＝540.整理，得x2－52x＋100＝0.解得x1＝2，x2＝50(不合题意，舍去).答：水泥路的宽应为2m．知识模块二动点问题

方法总结:

解题流程:标动点→表线段→列面积方程→解方程→双重验根.

解：设经过ts，△PBQ的面积为5cm2.

整理，得t2－12t＋20＝0.解得t1＝2，t2＝10.当t＝10s时，BQ＝10cm>BC，不符合题意，应舍去．∴t＝2s.答：经过2s时，△PBQ的面积为5cm2.随堂检测

C

4.在长为100m、宽为80m的矩形地面上要修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化(如图所示).若要使绿化面积为7644m²，则道路的宽应为多少米?解:设道路的宽为xm。将道路向边缘平移，绿化部分拼成新矩形，

解得：x1=2,x2=178(178>80,不符合实际,舍去)答:道路的宽应为2米。5.

在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿边AC，BC向终点C移动，如图所示，若它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，问点P，Q出发几秒后，△PCQ的面积为Rt

△ABC面积的一半?

设出发t秒后，△PCQ面积是它的一半。AP=t,BQ=t，PC=(8-t)cm,CQ=(6-t)cm,0<t≤6

整理得t²-14t+24=0t1=2，t2=12（12>6，超出运动时间，舍去）答:出发2秒后，△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半。课堂小结几何图形问题与一元二次方程几何图形运用常见几何图形的面积公式构建等量关系类

型课本封面问题彩条/小路宽度问题常采用图形平移聚零为整，方便列方程动点面积问题知识点:基础建模流程:解决几何面积应用题完整六步法,明确几何图形边长,运动时间必须为正数是验根核心依据;

矩形裁剪模型:四角剪正方形折无盖盒,底面边长含2x的代数式表达,掌握取值范围判断;

平移转化技巧:曲折等宽道路通过平移拼接成标准矩形,简化不规则图形面积等量关系;

动点几何模型:根据运动速度,时间表示动态线段,结合直角三角形面积公式列方程,兼顾动点停止临界条件;

数学思想:数形结合(图形转代数式),转化化归(不规则转规则);

核心素养落地:提升几何直观(识图标线段),数学建模(图形转方程),逻辑推理(根的取舍说理),数学运算能力;

通用规律: