2026-2027学年福建省厦门市央美恒一高级中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年福建省厦门市央美恒一高级中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系Oxyz中，点(3,−1,−4)关于平面Oxy的对称点为(

)A.(−3,−1,−4) B.(−3,1,−4) C.(3,−1,4) D.(−3,1,4)2.已知平面α外的直线l的方向向量为v=(1,0,2)，平面α的一个法向量为n=(6,1,−3)，则(

)A.l与α斜交 B.l⊥α C.l//α D.v3.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，若CA=a，CBA.a+b−c

B.−a+4.如果A(1,5,−1)，B(2,4,1)，C(a,3,b+2)三点共线，那么a+b=(

)A.1 B.2 C.3 D.45.如图，四面体ABCD的所有棱长都是2，则AB⋅AC=(

)A.23

B.3

C.26.已知空间向量a=(2,1,3)，b=(−1,2,−2)，c=(7,6,λ)，若向量a，b，c共面，则实数λ的值为A.9 B.10 C.11 D.127.已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=135°，AB=2，BC=1，BA.306 B.55 C.8.已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是23，则PM⋅PNA.[0,4] B.[1,6] C.[0,6] D.[1,4]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间向量a=(1,0,2)，b=(−1,1,1)，则(

)A.2a−b=(3,−1,3) B.a⋅b=2

C.|10.若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是(

)A.AB+2BC+2CD+DC B.211.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足BP=λA.若λ+u=1，则AP//面A1C1D

B.若λ+u=1，则AP⊥BC1

C.若λ=μ=12，则P到平面A1BD的距离为233

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点A(1,0,0)，点B(0,0,3)，点C(3,1,−1)，则点C到直线AB的距离为

．13.已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，都满足OD=3OA+(2−3m)OB+mOC，若A，B，C，D四点共面，则14.已知空间向量a=(1,1,λ)，b=(−2,2−λ2,λ−6)，若a,b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间向量a=(2,4,−2)，b=(−1,0,2)，c=(x,2,−1)．

(1)若a/​/c，求|c|；

(2)若b16.(本小题15分)

如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为2，且两两夹角为60°，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM=2MC′，AB=a，AD=b，AA′=c．

(1)用a，17.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，PA=AD=3，AB=BC=1，点Q在PD上，且PQ=2QD．

(1)求异面直线BQ与AD夹角的余弦值；

(2)求点C到平面PBD的距离．18.(本小题17分)

如图，已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=AB=2．

(Ⅰ)求证：当AD=2时，平面PBD⊥平面PAC；

(Ⅱ)当AD=2时，

①求二面角B−PD−C的大小；

②求PB与平面PDC19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．

(1)证明：BM//平面PAD；

(2)若PC=5，PD=1，

(i)求二面角P−DM−B的余弦值；

(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】1413.【答案】2.

14.【答案】(0,2)∪(2,+∞)

15.【答案】解：(1)空间向量a=(2,4,−2)，c=(x,2,−1)，b=(−1,0,2)，

∵a//c，

∴存在实数k，使得c=ka，

所以x=2k2=4k−1=−2k，则x=1，

则|c|=12+216.【答案】解：(1)AC′=AB+BC+CC′=AB+AD+AA′=a+b+c，

OM=OB+BM=12DB17.【答案】解：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图，

则D(0,3,0)，B(1,0,0)，P(0,0,3)，Q(0,2,1)，C(1,1,0)，

∴BQ=(−1,2,1),AD=(0,3,0)，

∵cos<BQ,AD>=BQ⋅AD|BQ|⋅|AD|=636=63，

∴异面直线BQ与AD夹角的余弦值为63．

(2)设平面PBD的一个法向量n18.【答案】(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，

又因为底面ABCD为矩形，AB=AD=2，

所以底面ABCD为正方形，即AC⊥BD，

又因为AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，又因为BD⊂平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC；

(Ⅱ)①π6；②19.【答案】(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：

∵M为棱PC的中点，

∴MN/​/CD，MN=12CD，

∵AB/​/CD，AB=12CD，

∴AB/​/MN，AB=MN，

∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM/​/AN，

又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，

∴BM//平面PAD；

(2)解：∵PC=5，PD=1，CD=2，

∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，

PD⊂平面PDC，

∴PD⊥平面ABCD，

又AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，

∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：

则P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，

∵M为棱PC的中点，

∴M(0,1,12)，B(1,1,0)，

(i)DM=(0,