人教版八年级数学上册期中复习（学生版）

期中复习

知识点三角形的概念；三角形三边的关系定理及推论；三角形中的主要线段；三角形内角和

定理；三角形的外角性质；全等图形；全等三角形的表示和性质；全等三角形的判定；

等腰三角形的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称：最短路

径问题

教学目标了解三隹形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；

理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形，并能运用它解决

有关的问题；

认识二角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解二角形

的三条高所在的直线，三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；

理解三隹形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题

了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念；区别凸多边形与凹多边形；了解多边

形的内角、外角等概念；能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应

用它们进行有关计算.

知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；知道全等三角形的性质，

能用符号正确地表示两个三角形全等;能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；

掌握全等三角形的判定；应用角的平分线性质定理；轴对称：最短路径问题

教学重点三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平

分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质

多边形及有关概念、正多边形的概念；多边形的内角和与多边形的外角和公式；应用

角的平分线性质定理.

等腰三隹形的判定；等腰三角形的性质;等边三角形的判定与性质

轴对称：最短路径问题

教学难点用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分

线的区别；理解三角形的外角；

区别凸多边形与凹多边形;多边形的内角和定理的推导;应用角的平分线性质定理.等

腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质

轴对称：最短路径问题

【知识导图】

期

中

复

习

导入

一、

预习

复习

性质

相关

形的

三角

复习

1、

法

明方

种证

的几

全等

角形

习三

2、复

方法

判定

质及

关性

的相

分线

角平

复习

3、

质

的性

图形

对称

习轴

4、复

质

关性

的相

角形

边三

，等

三角形

习等腰

5、复

题

径问

短路

习最

6、复

二、知识讲解

1、不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形

2、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角,

相邻两边的公共端点是三角形的顶点

3、三角形ABC用符号表示为aABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B

所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

4、三角形的分类

三边都不相等的三角形

三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

从AABC的顶点A向它所对•的边BC所在的直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做&ABC

的边BC上的高，表示为ADJ_BC于点云

注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

再画出这个三角形AB、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。

如图，我们把连结AABC的顶点A和它的劝边BC的中点D,所得线段AD叫做AABC的边BC

上的中线，表示为BD=DC或BD=DC=2BC或2BD=2DC=BC.

在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点。

三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心。

如图，画NA的平分线八D.交NA所对的边BC于点D,所得线段AD叫做AABC的角平分线,

表示为NBAD=NCAD或NE，AD=NCAD=2ZBAC或2NBAD=2NCAD=NBAC。

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。三角形三个角的平分线

相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立。

三角形三个内角的和等于180°

用平行线的性质证明内角和180°

已知△ABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°。

证明：过点C作CM〃AB,则NA二NACM,ZB=ZDCM,

又ZACB+ZACM+ZDCM=180°

/.ZA+ZB+ZACB=180°。

即：三角形的内角和等于1800°

NACD叫做AABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的

外角。

三角形的外角共有六个。

注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个

顶点处取一个外角

三角形的外角ZACD与相邻的内角NACB是邻补角。

如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明NACD与NA、ZB

的关系吗？

VCM/7AB,AZA=Z1,ZB=Z2,又NACD=N1+N2

AZACD=ZA+ZB

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（polygon）

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边

形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2,螺母

底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。

oo

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的NA、NB、NC、ND、NE是

五边形ABCDE的5个内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图

7.3-4中的N1是五边形ABCDE的一个外角。

连接多边形不相邻的均个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）o图7.3—5

中，AC、AD是玉动形ABCDE的两条对角线.

特别提醒：n边形（「23）从一个顶点可引出（n-3）条对角线，把n边形分割成（n

n01

一2）个三角形，共有对角线1"条。

2

例如：十边形有条对角线。在这里『10,就可套用对角线条数公式

3=吆3:35（条）。

22

从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线，它们将四边形分成两个三角形，因此，四

边形的内角和二4AB1）的内角和+ZXBDC的内角和二2X180。=360。。

从五边形一个顶点出发可以引两条对角线，它们将五边形分成三个三角形，五边形的内

角和等于540°；

从六边形一个顶点出发可以引三条对角线，它们将六边形分成四个三角形，六边形的内

角和等于720°；

从n边形一个顶点出发，可以引（n-3）对角线，它们将n边形分成5-2）三角形，n

边形的内角和等于（n—2）•180°o

n边形的内角和等于（n—2）•180°.

三角形全等的五种判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL

找夹角fSAS

已知两边］找直角-HL

找另一边->SSS

边为角的对边f找任意一角fA4s

找这条边上的另一角一ASA

已知一边一角

边就是角的一条边找这条边上的对角一AAS

找该角的另一边一SAS

找两角的夹边->ASA

已知两角

找任意一1边TAAS

角平分线上的点到角两边的距离相等。

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条

线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距

离相等的点，这样才能确定已知线段的垂宜平分线.

［例］如图（1）,点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

・B-------；---------B

物

（1）（2）

已知：线段AB【如图（1：］.

求作：线段AB的垂直平分线.

作法：如图（2）

(1).分别以点A、B为圆心，以大于不AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；

2

(2).作直线CD.

直线CD就是线段AB的垂直平分线.

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边

腰与底边的夹角叫做底角

两腰的夹角叫做顶角

等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互用重合(也称等腰三角形三线合一),

它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴

等腰三角形的两个底角相等

(1)性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。

(2)判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角

形。③有个角是60°的等腰-：角形是等边三角形

特殊直角三角形

(1)含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：V3：2；

(2)等腰直角三角形各边长比为1：1：O

求直线同侧的两点到直线上•点距离的和最小的问题

讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段

与该直线的交点即为所求的位置。

如图所示，三角形的个数是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

用一条长为18cm的细绳用成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？

下面四个图形中，线段BE是AABC的高的图是（)

BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm,BC=3cm,求△ABM与△BCM的周长之差

如图，在△ABC中,ZBAC=40°,NB=75°,AD是△ABC的角平分线。求/ADB得度数。

如图，在aABC中,NB=47°,三角形的外角NDAC和NACF的平分线交于点E,则NAEC=

B

(1)如图1,在aABC中，NABC、NACB的平分线相交于0.

①已知NA=40°,求NB0C的度数，/A与NB0C有怎样的数量关系？

②若NA=n。，则NA与NB0C有怎样的数量关系？

(2)如图2,在AA'B'C'中，NA'B'C'的平分线与NA'C'B'的外角平分线相交于

()'，请你探索NA'与/0'有怎样的数量关系？

若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为()

A.14或15或16B.15或16C.14或16D.15或16或17

如图，Nl、N2、N3、/4是五边形ABCDE的4个外角.若NA=120。，则N1+N2+N3+N

4=.

如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他能否只带其中一块碎片到商店，就能配

出一块和原来一样的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？

如下图，RtAADCRtABCI),AC=BI),求证AD=BC

已知：0C是NAOB的平分线，点P在0C上，PD±OA,PE±OB,垂足分别是D、E

求证：PD=PE.

如图，在RtAABC中,ZC=90°,AD是NBAC的平分线,DC=2,则D到AB边的距离是—

如图，AABC中，NABC、/ACB外角的平分线相交于点F,连接AF,则下列结论正确的有（）

A.AF平分BCB.AF平分NBACC.AF±BCD.以上结论都正确

如图,ZA0E=ZB0E=15°,EF/70B,EC±OB,若EC=L则EF=

△ABC中，点0是AABC内一点，且点。到AABC三边的距离相等；ZA=40°,则NBOC=一

如图，在aABC中，ZC=90d,AC=BC,AD平分NBAC交BC于点D,DE_LAB于点E,若ADEB

的周长为10cm,求斜边AB的长

如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）

A.ED=CDB.ZDAC=ZBC.ZO2ZBD.ZB+ZADE=90°

如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC二AD,求：Z\ABC各角的度数.

D

BC

如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上，且BC=BD=DE=EA,则NA的度数为

己知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）

A.与AB距离相等的点在MN上

B.与点A和点B距离相等的点在MN上

C.与MN距离相等的点在AB上

D.AB垂直平分MN

下列说法中:

①P是线段AB上的一点，直线1经过点P且1_LAB,则1是线段AB的垂直平分线;

②直线1经过线段AB的中点，则1是线段AB的垂直平分线；

③若AP=PB,且直线1垂直于线段AB,则1是线段AB的垂直平分线；

④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线1是线段AB的垂直平分线.

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

如图，在Rt^ACB中，ZC=90°,BE平分NABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,则AE的值

是（）

A.673B.4V3C.6I）.4

等边三角形ABC的边长是6cm,BD是中线，延长BC至E,使CE=CD,连接DE,则DE的长是

cm.

例题24

A

D

BCE

如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次，依次得到点PK已、巳、…、

P2011,则点Pan।的坐标是.

如图，在RtAABC中，ZACB=90a,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F,若NF=30°,

DE=1,则EF的长是()

A.3B.2C.GD.1

FCB

如图，AABC是等边三角形,P是NABC的平分线BD上一点,PE_LAB于点E,线段BP的垂

直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为()

A.2B.2GC.6D.3

如图，△力劭与都是等边三角形，AB^AC.下列结论：①除敛②/仇2庐60°：

③4BD84CE0,正确的是.

如图，A和1＜两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN,桥造在何处可使从A到B的路

径AM+M3最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)

b

A°M

N

,B

如图A是锐角NMON内部任意一点，在NMON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,

使三角形周长最小.

1、本次课主要针对期中考试前学习的内容进行综合复N：

复习三角形的相关性质

复习三角形全等的几种证羽方法

复:习角平分线的相关性质及判定方法

复习轴对称图形的性质

复习等腰三角形，等边三角形的相关性质

复习最短路径问题

1.如图，点D是△ABC中NBAC的平分线AD和边BC的垂直平分线DE的交点，DG_LAB于点

G,DH1AC的延长线于点H：求证：BG=CH.

E

2.如图，在AABC中，ZC=90°,NB=30°,AD是AABC的角平分线，DEIAB,垂足为E,

DE=L则BC=()

A.6B.2C,3D.6+2

3、如图，△力比'和都是等腰三角形，且N的090°,/如后90°,B,3〃在同一条

直线上.

求证：BD-CE.

1.如图，AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,ADXBC,垂足是D,AE平分NBAD,交BC于点E.在

△ABC外有一点F.但FA_LAE.FCIBC.

(1)求证：BE=CF；

(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.

求证：①MEJ_BC；②DE=DN

2.(1)如图1,在AABC中，NABC、NACB的平分线相交于0.

①已知NA=40°,求NB0C的度数，NA与/B0C有怎样的数量关系？

②若NA=n°,则NA与NB0C有怎样的数量关系？

(2)如图2,在AA'B'C'中，NA'B'C'的平分线与NA'C'B'的外角平分线相交于

0',请你探索N