期末复习：实数（讲义）原卷版-2026年人教版七年级数学下学期

核心考点复习目标

平方根理解平方根概念，掌握性质，会求非负数先择填空必考，常考概念辨析、求数的平方

平方根，区分正负平方根：根，难度基础。

算术平方根掌握算术平方根定义与非负性，会求算术高频考点，侧重非负性、计算，常与绝对值、

平方根，会简单应用；平方结合出题。

立方根理解立方根概念，掌握性质，会求任意文比择填空常考，考查计算与性质，正负立方

数的立方根；根均存在。

实数及其简单运认识实数分类，理解无理数概念，掌握实琮合考查，选择填空判断无理数，解答题考

算数运算与性质；运算与大小比较。

知识点01平方根

L定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x?=a,那么a叫做这个数x的平方；

这个数x叫作a的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。

平方运算和开平方运算是互逆关系。

例：求下列各数的平方根:

(1)100：(2)白；(3)0；(4)-9o

16

解：（1）（±10）2=100,・•・100的平方根是±10；

(2)V(±y)24»*,•白的平方根是土。

416164

(3)02=0.04,・•・0的平方根是0；

(4)•••任何数的平方都不会是负数，・••-9没有平方根。

2.平方根的符号记法

一个正数Q的有两个平方根，记作：±口，其中+口叫做a的正的平方根，“+於”简写“口”；

-«叫做a的负的平方根；

3.平方根的性质

(1)正数有两个平方根，它们是互为相反数；

(2)0的平方根是0；

(3)负数没有平方根.

因为负数没有平方根，所以口有意义的条件是azo.

知识点02算术平方根

定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根6又叫作a的算术平方根。

规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为血.

例求下列各数的算术平方根：

(1)100;(2)64;(3)0.0001.

解：⑴=10；

(2)V64=8：

(3)V0.0001=0.01

总结：从例题可以看出一一被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这是实数比较大小的依据，也是求

无理数近似值的依据。

例：V5在整数—和_____之间，V30在______和_____之间。

解：V5在整数2和3之间，同在5和6之间。

知识点03立方根

1.定义

一般地，如果一个数的立方等于〃，那么这个数叫做。的立方根或三次方根,记作：案；

求一个数的立方根的运算，叫做开立方；

2.立方根的性质

互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。

心二-始

3.立方根的小数点移动规律

例：用计算器计算求,V0.000216,V0216,V216,V216000,…,你能发现什么规律？

解：^0.000216=0.06

V0216=0.6

V216=6

V216000=60

总结：被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。

知识点04实数及其简单的运算

1.实数的概念及分类

（1）相关概念；无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。

（2）实数的分类

①按定义分类：②按性质分类：

正有理教|

有理数0有限小数或无限循环小数।正实数

实数负有理数।实数0

劲।正无理数।丁西H需“I%।负实数

无理数你无理数।无限不循环小数

（3）实数与数轴上点的对应关系

实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据）

2.实数的运算

（1）实数的相反数

数a的相反数是-a.

如：-（-V6）=V6.

（2）绝对值

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

产・当”>0时；

a=.0.当a=0时；

1-a•当aV0时.

例：因为V2<V3，

所以，I或-遮1=-（&一百）二万一企（负数的绝对值等于它的相反数）

（3）加减乘除运算法则

有理数的运算法则及运算律同样适用于实数.

3x/可以省略“X”，写成“3夜”.

例：372+272=（3+2）V2=5VZ（乘法分配律）

易错题：V3+V2V3T2（不属于乘法分配律）

（4）实数的乘方、开方运算

因为x（xZO）的平方是a（a>0）,所以x是a的算术平方根，口=%；

因为3的平方是32,所以3是32的算术平方根，记作：每=3；

反之，因为x是a的算术平方根，所以x2=a：

因为厉是3的算术平方根，所以2=3；

归纳：=a(a>0),(Va):(a")；

2

同理：器=a，（,）=a

题型一平方根

解।题।技।巧

先判断数非负，再找平方等于该数的数，注意正负两个根:

i.易漏负平方根，负数无平方根，勿与算术平方根混淆。

【典例I]（24-25七年级下•内蒙古乌兰察布•期末）的平方根为（)

A-±53+上2

B.-CD.

4,~22

【变式1】（24-25七年级下•全国•期末）（-04『的平方根是（)

A.-0.4B.±0.4C.±0.2D.±0.16

【变式2】（24-25七年级下•吉林・期末）已知一个数的一个平方根是2025,则它的另一个平方根为（）

A.V2025B.-V2025C.-2025D.±V2025

题型二算术平方根

答|题|模|板

结果为非负数，直接找正的平方根，利用非负性列方程求解;

结果只能为非负，易误写为正负值，混淆与平方根的范围。

【典例1]（24-25七年级卜••内蒙古乌兰察布•期末）的平方根为（）

3

cD.

-42

【典例2】（24-25七年级下•陕西延安•期末）已知某正数的两个平方根分别是5〃+3和5-万的算术平方

根是3,求3/）+。的平方根.

【变式1】（24-25七年级下•重庆秀山•期末）|0-2卜岳=.

【变式2】（24-25七年级下•四川南充・期末）已知C〜2.45,廊、0.77,则疯而=（）

A.0.0077B.0.077C.0.0245D.0.245

题型三立方根

答|题|模|板

根据立方运算求根，正数、负数、0均有唯一立方根：

易与平方根性质混淆，忽略负数有立方根，计算符号出错。

【典例1】（24-25七年级下•吉林白山•期末）9的立方根是（）

A.3B.衿C.±3D.石

【典例2】（24-25七年级K广西南宁•期末）（1）填表：

m0•・・0.0000010.00010.01110010000

\[rr:0•・•0.001—0.11—100・・・

（2）规律归纳：

①若正数的小数点向左（或右〉移动位，则。的小数点就相应地移动位；

②当加＞1时，若正数加越大，则而也越大.

（3）尝试运用：已知Jf羽=13，标=1300，求〃?的值；

（4）灵活应用：当初20时，比较血和利的大小.

【变式1】（24-25七年级下•甘肃武威•期末）一个正方体的体积是16,则它的棱长是.

【变式2】（24-25七年级下•河北沧州•期末）某正数的两个不相等的平方根分别是。-2和18+a,则〃的立

方根为.

题型四实数的运算

答I题I模I板

先化简再运算，按有理数运算法则计算，区分有理无理数；

误判带根号数为无理数，运算时符号、运算法则出错。

【典例1］（24-25七年级下♦陕西商洛•期末）在实数：4141s9,临，1.010010001…（每相邻两个1之间

22

依次多1个0）,瓜4.21,兀，半中，无理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【典例2】（24-25七年级下•吉林白山・期末）计算：冷方+心存+|&-1卜也.

【变式1】（24-25七年级下•云南丽江・期末）在实数-；，0,”,我，百，兀中，无理数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2】（24-25七年级下•内蒙古鄂尔多斯•期末）计算：V^64-V9=.

【变式3】（24-25七年级下•全国•期末）计算：

（1）749-^27+7（^7

⑵海不得+局

【变式4】（24-25七年级下•甘肃平凉・期末）已知/口=2，纭-b+l的平方根是±3,。是历的整数部

分,求代数式2。+分+。的平方根.

（测试时间：10分钟）

一、单选题

1.下列各式中，正确的是（）

A.\/16=±4B.±囱=3C.J（—4）~=—4D.（G）=3

2.16的平方根是±4,用数学符号表示，正确的是（）

A.V16=4B.>/16=±4C.±V16=4D.+V16=±4

3.实数是有理数与无理数的统称，下列实数中，属于无理数的是()

A.3.1415B.囱C.TT—2D.—

7

4.下列说法中错误的是()

A.9的算术平方根是3B.4的平方根是±2

C.27的立方根为±3D.立方根等于1的数是1

二、填空题

5.若一个正数的算术平方根是的，则这个正数的平方根是

6.化简,(-2026)2=.

7.(-3『的平方根是.

8.已知卜一3|+Jy+2=0,则x+y=.

三、解答题

9.已知：实数”，匕满足671+|4-6|=0.

(1)求。和b的值;

(2)求2a+10b的平方根.

10.(1)如图1,用两个边长为次的小正方形纸片剪拼成一个大正方形.求大正方形的边长：

(7)如图九某同学把长为九宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形.求小长方形

的对角线的长度.

(测试时间：15分钟)

一、单选题

1.，(-3『的平方根是()

A.±3B.3C.±73D.百

2.若26-4与36-1是同一个数的两个不同的平方根，则根的值为()

A.-3B.1C.一3或1D.-1

3.下列各组数中，互为相反数的一组是（）

A.一|一2|与亚石B.-3与-，（-3尸

C.一版与|后|D.拉+1与后—1

4.在实数：兀，及，肪，1.1010010001…（小数点后每2个"I”之间依次多一个"0"）中，无理

数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.实数J百-1的整数部分为。，小数部分为6,则2a-b=（）

A.10-V17B.9-717C.3-V17D.2-V17

二、填空题

6.已知加=7-2后，a是加的整数部分，则。的值为.

7.比较：后—；（填">〃"=〃或〃v"）.

8.2〃-1的平方根是±3,〃的立方根是2,则。+/>=.

三、解答题

9.已知数4=6-2x有平方根.

⑴求x的取值范围；

⑵数力的两个不同的平方根是。+1和2a-7,求力的值.

10.（1）计算：一『。24+而一卜£卜（"了；

（2）一个正数机的两个平方根是2.丫-4和x-14,求正数机的立方根.

11.（1）计算：-2'+历+J（-3）2_|l一回

（2）求x的值：（x-3丫=-27

12.在数学课上“说不完的血〃探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题.

图1图2

⑴及到底有多大？下面是龙龙探索上的近似值的过程，请补充完整:

我们知道面积是2的正方形边长是拉，一旦&>1.4，设拉=1.4+x，画出如图1的示意图：

由图形面积可得X2+2XL4X+1.96=2.

因为x值很小，所以/更小，略去得方程_,解得x=_（保留到0.001）,即正

⑵请仿照上述探究过程探究近的大小.

已知：币>2.6,在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出J7的近似值（保留到0.001）.

（测试时间：20分钟）

一、单选题

1.在石、,、口、而、3兀、1.1010010001…（相邻两个1之间的。依次增加1个）中，无理数的个

数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.下列命胭中，是真命题的是（）

A.J话的平方根是±4

B.如果〃?="-1,那么〃？的取值范围是：I<〃?v2

C.相等的两个角是对顶角

D.如果。2>〃，那么“〉/,

3.如果^23.7*2.872,历7B6.188,那么Y0.0237的结果约是（）

A.0.2872B.0.02872C.0.6188D.0.06188

4.下列说法中正确的有（）

①0.1是0.01的算术平方根；②81的平方根是±9；③一个数的立方根等于它本身，这个数是。或1；@

实数与数轴上的点一一对应.

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题

5.比较大小：①一；-1；②一（一汗）一同；®-42（-41

/\2O26

6.若〃?、“为实数，且满足W-3|+J6T”+〃=O,则O的值为.

7.比较大小：五望