高考数学一轮复习讲义 第1节 平面向量的概念及线性运算

第一节平面向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念

名称定义表示

向量在平面中,既有而大小又有位方向的量用<z»b,c,…=姑3,Z?C>…表示

向量。的大小，也就是表示向量。的有向线

向量的模⑷或丽

段赢的国长度（或称模）

零向量长度为0的向量用0表示

单位向量长度等于1个单位的向量用c表示，|e|=l

平行向量方向相同或相反的非零向量（或称共线向量）a//b

相等向量长度国相等且方向月相同的向量a=b

相反向量长度函相等,方向区相反的向量向量a的相反向量是一a

说明：零向量的方向是不确定的、任意的.

规定：零向量与任一向量平行.

2.向量的线性运算

向量运算法则（或几何意义）运算律

力

a交换律：。+力=画一+。:结合律：（〃

加法三角形法则

+力）+。=由。+（力+。）

a

平行四边形法则

减法。一力=硕。+（一力）

a

儿何意义

M=|A||a|,当4>0时，4。的方向与

。的方向回用同;当上0时，的方2（〃。）=回虫〃）。；（7+〃）。=同〃+〃G；

数乘

向与。的方向回相反;当2=0时，42（。+5）=网幺。+〃>

。=40

3.共线向量定理

向量a（a#O）与h共线的充要条件是：存在唯----个实数2,使得b=）.a.

提醒：当时，定理中的实数2才唯一.

常用结论

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点

的向量，即AIZ+ANS+ZGI4H---I■4“-1A“=46〃.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的

向量和为零向量.

2.若b为线段4B的中点，。为平面内任意一点，则方=；（以+加）.

3.若A,〃，。是平面内不共线的三点，则育I而I用=0=〃为△A7JC的重心，崩=/前

-VAC）.

4.若后=北市+"南九〃为常数），则A,B，C三点共线的充要条件是2+4=1.

5.对于任意两个向量mb,都有|⑷一冏|W|a±b|W|a|+囹.

题组一走出误区——判一判

（1）同与制是否相等，与a,b的方向无关.（）

（2）若向量。与力同向，且⑷>|可,则。>力.（）

（3）若向量布与向量而是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.（）

（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（）

答案：（1）J（2）X（3）X（4）7

题组二回归教材一练一练

（1）（多选）（人教A必修第二册习题6.2T4改编）下列各式化简结果正确的是（）

A.AB+AC=BCB.AM+MB+BO-hdM=AM

C.A^+^C-AC-O[).AB-Ab-DC=BC

答案：BC

（2）（人教A必修第二册习题6.2T14改编）在△ABC中，而+3丽=0,则俞=（)

3-1—1-►4-►

B.W4B+毕C

J•J

C.^AB-^-^ACD.Ah~^AC

答案：C

解析：因为丽+3而=0,所以。为线段〃C上靠近点C的四等分点，如图，故而=Q+而）

=4万+扣已=/15+永启一还）=；公+：/.故选C.

⑶（人教A必修第二册6.2.3例6改编）已知口48CD的对角线4c和BD交于点O,且

OB=b,则比=,BC=.(用a,b表示)

答案：h~a—a-h

解析：如图，DC=AB=OB-OA=b-a,BC=OC~OB=~OA~OB=~a~b.

I),c

（4）（人教B必修第二册6.2,1例3改编）设向量。，）不共线，向量加+》与a+2〃共线，则实

数4=.

答案：|

什〃，P=2，

解析：•・•〃+）与。+2。共线，，存在实数〃，使得〃+》=〃（°+2万），二，.X

If，g.

（5）（人教A必修第二册习题6.2T10改编）若a,b满足⑷=3,步|=5,则|。+目的最大值为

,最小值为.

答案：82

解析：|a+b|W⑷+协|=3+5=8,当且仅当。，方同向时，等号成立，所以|a+A|max=8.又|a+

。闫⑷一例=|3-5|=2,当且仅当a，b反向时,等号成立，所以|a+b|min=2.

考点一平面向量的有关概念

例K多选）下列命题中的真命题是（）

A.若⑷=也|,Ma=b

B.若A,B,C,。是不共线的四点，则“而=虎”是“四边形A8CO为平行四边形”的充

要条件

C.若a=%,b=c,则a=c

D.ua=bn的充要条件是“⑷=|臼且。〃力”

答案：BC

解析：A是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.B是真命题，.・•嬴=

DC,.'.|成|=|比1且前〃虎，又A,B,C,。是不共线的四点，二.四边形A4C。为平行四

边形；反之，若四边形A8C。为平行四边形，则讪|=|元|,前〃正且初，比方向相同，

因此矗=5bc是真命题，・.Z=b,.・.Q,5的长度相等巨方向相同，又b=c,：.b,c的长度

相等且方向相同，c的长度相等且方向相同，故〃=，口是假命题，当。〃力且方向相反

时，即使⑷=|外也不能得到。=力，故"|。|=|加且。〃b"不是“。=力”的充要条件，而是必

要不充分条件.故选BC.

通性通法平面向量有关概念的四个关注点

关注点一非零向量的平行具有传递性

关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关

关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量

关注点四称是与〃同方向的单位向量

巩固迁移1.（多选）下列说法错误的是（）

A.零向最是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

C.若a,力都为非零向量,则使”+。=0成立的条件是“与方反向共线

D.若。〃。，b//c,贝ij

答案：ACD

解析：零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度

为0,故B正确；只有当。与力反向，且⑷=|用时，才有。+力=0,故C错误；若/>=（）,则

不共线的a,c♦也有a〃），c//b,故D错误.故选ACD.

考点二平面向量的线性运算（多考向探究）

考向1平面向量加、减运算的几何意义

例2（1）已知菱形ABCO的边长为2,则|后一病+急=（)

A.20B.4

C.16D.12

答案：B

解析：丽一俞+启|=|篇+&+而=|赢+庆］=2丽=4.故选B.

（2）在△ABC中，若|前一反1一|函+的=0,则△48C的形状是（

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案：c

解析：如图，作平行四边形ABC。，并连接4D在△ABC中，因为I成一的一|屈+的=(),

所以|点一反］=|函+而，即|以|=|彷|,所以平行四边形ABCD为矩形，又|眉|与|的不一

定相等，所以△ABC是直角三角形.故选C.

|通性通法

1.三种运算法则的要点

(I)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”.

(2)减法的三色形法则要求“共起点,连终点，指被减”.

(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.

2.利用向量加、减法的几何意义解决问题的方法

(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形.

(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可考虑利用向

量知识来求解•.注意菱形、矩形等在解题时的应用.

巩固迁移2.若丽|=|而=而一/1=2,则而+而=.

答案：2小

解析：因为|族|=|府|=|诵一危|=|无|=2,所以△相，是边长为2的正三角形，所以|族+危

|为△ABC的边上的高的2倍，所以|成+乃=2小.

考向2平面向量的线性运算

例❸ffiZXABC中，。是边上一点，且4O=2QC,E是AC的中点，记/=m,AI)=n,

则说=()

、5c

A3”3/nB.2«-3m

1C>5c

C.2m3〃D./—3〃

答案：D

解析：读=恁一赢=加一（启+氐）=―//—3诙=一烈_3（病—危）=|启—3而=|

〃，一3〃.故选D.

通性通法平面向量的线性运算的求解策略

尽可能转化到平行四边形或三角形中,

＜泉略》-选用从同一顶点出发的向量或首尾相

接的向量

充分利用三角形中位线、相似三角形

〈案略合一对应边成比例等平面几何性质，把未

知向量转化为已知向量

巩固迁移3.在平行四边形48CO中，点E满足而=；/，则匠=（）

B.-，箍

C.AB-^ADD.-AB^AD

答案：B

解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以靠=/正=；（嬴+Q））,所以诟=靠一靠=；（赢

-►-►3-A1-A

+AO）—4B+#0.故选B.

考点三共线向量定理的应用（多考向探究）

考向1判定向量共线、三点共线

4（2026・四川绵阳模拟）己知平面向量m）不共线，AB=4a+6b,正=一°+34CD=a

十3〃，贝版）

A.A,B,。三点共线B.A,B,。三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

答案：D

解析:对于A,因为丽=诙+丽=一。+3力+。+36=6"所以不存在实数2,使得诵=ABD,

所以A,B,。三点不共线，故A不正确；对于B,因为赢=4。+64BC=­a+3b,所以

不存在实数人使得寿=7诙，所以A,B,C三点不共线，故B不正确；对于C,因为反?=

一。+36CD=a~\~3b,所以不存在实数2,使得证=比力，所以8,C,。三点不共线，故C

不正确；对于D,因为最:=赢+正=4a+6力-a+35=30+9。=3而，即正〃无，又线段

AC与CO有公共点C,所以八，C,。三点共线，故D正确.故选D.

通性通法判定向量共线、三点共线的方法

判定向对于向量明b(bXO),若存在实数人,

量共线使。=入力，则。与b共线

判定三若存在实数入，使布=久代，则人脱。

点共线三点共线

巩固迁移4.已知夕是△ABC所在平面内的一点，若份=八成+两，其中2£R,则点P

一定在()

A.ZVIBC的内部B.AC边所在直线上

C.A8边所在直线上D.8c边所在直线上

答案：B

解析：由.丽+而，得dh—丽=2京，丽=[说，则亦，启为共线向量，又及，育有

一个公共点P，所以C，P，4三点共线，即点。在4C边所在直线上.故选B.

考向2利用共线向量定理求参数

例5若a,力是两个不共线的向量，已知加=。-2从而=2〃+切由=3a-b,若M,N,

。三点共线，则攵=()

A.-1B.1

C.|

D.2

答案：B

解析：由题意知，NQ=PQ-PN=a-(k+\)b,因为M,N,。三点共线，所以存在实数九

1=2,入=|,

使得加=7而，即。-2方=乂。一(攵+1阴，所以，八，八「、解得

—2=—z(A+1)»[k=\.

通性通法一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后

通过共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.

巩固迁移5.如图，在△A8C中，AD=ADC,£是肛上一点，若融公，则实

数;I的值为（）

A.3B.4

C.5D.6

答案：B

解析：由病=%比，得元=”病，因为危=]!巍+；启，所以危=宓方+；＞＜号认b,

因为E,B,。三点共线，所以上十笥L,解得，-4.败选B.

课时作业

基础题（占比60%）中档题（占比30%）拔高题（占比10%）

题号123456789

难度★★★★★★★★★★

单位向

量；共平面向

利用共

平面向平面向平面向线向平面向平面向平面向量的线

线向量

考点量的线量的线量的线量；相量的线量的线量的线性运

定理求

性运算性运算性运算等向性运算性运算性运算算；零

参数

量；相向量

反向量

题号101112131415161718

难度★★★★★★★★★★★★★★★★★

平面向平面向利用共平面向利用共利用共共线向利用共平面向

考点量的线量的线线向量量的线线向量线向量量；相线向量量加、

性运算性运定理求性运算定理求定理求等向量定理求减运算

算；向参数参数参数参数的几何

量在平意义

面几何

中的应

用

一、单项选择题

1.如图，在正六边形人8CDE/中，AF-Eb-^EF+2AB=（）

A.0BAB

C.ADD.CF

答案：A

解析：因为六边形ABCDEF为正六边形，所以万—日）+赤+2八=Q+5k+EF+2AB=&

+2AB=0.

2.如图，⑥，改为互相垂直的单位向量，则向量a+》+c可表示为（）

A.2e\—3e2B.3e\—2e2

C.2ei+3e2D.3e1+2e2

答案：D

解析：由题意，得a=ei+2e2，5=ei-2e2，c=ei+2e2，所以〃+5+c=ei+2e2+ei—2e?十

C|+2/=34+2。2・

3.已知四边形"CO是平行四边形，EC=2BE,DF=2FC,记赢=a,AD=b,则方』（）

I2、12,

A.一1"+?B.—^a-^b

21,

D.Qa-gO

答案：A

解析：在“ABCQ中，EC=2BE,DF=2FC,AB=a,而=从所以济二5一无⑦一冠

12

=—ga+qA.故选A.

4.若a,力为非零向量，则端=jfj”是％，力共线”的（）

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要小充分条件D.既小充分也不必要条件

答案：B

解析：曲，得分别表示与。，b同方向的单位向量，枭&，则有a,b共线，而公力共线,

则济尚是相等向量或相反向量，所以端=会是％，b共线”的充分不必要条件.故选

B.

5.设。=（烈+丽）+（就+应），力是一个非零向量，则下列结论不正确的是（）

A.a//hB.a+h=a

C.a+b=bD.\a+b\=\a\-\-\b\

答案：B

解析：由题意，得。=（初+诙）+（反'+力入）=/+B=0,且b是一个非零向量，所以。〃力

成立，所以A正确；因为。+8=从所以B不正确，C正确；因为|a+〃|=g|,|“|+仍|=|臼,

所以|。+刈=|。|+掴,所以D正确.故选B.

6-（2026•江西南昌模拟）若P为△襁,所在平面内一点、，且满足质+而+元=2%’贝酸

=()

A.；

B4

C.|D.；

答案：D

解析：因为无+两+记?=2比=2（正一协），所以3协=死一无=去?，所以而与启共线，

且3|而|=|而，所以廿匹=《.故选D.

OAABC5

7.已知。为线段AB上的任意一点，0为直线AB外一点，点4关于点。的对称点为C若db

=AOB-\-yOC,则人一,的值为（）

A.-1B.0

C.ID.2

答案：C

解析：因为点4关于点。的对称点为C,所以次=一后，又而=4・励+y女，所以而=x3方

-yOA,又A,B,。三点共线，所以x—.v=L

8.在正方形ABCQ中，E在CO上且有走=2访，AE与对角线B。交于凡则酢'=（

3-1-►

B.露8+笛。

44

C.^AB^-^AD

D.TAD+AB

J

答案：C

解析：如图，•.•在正方形A8CO中，石在CQ上且有走=2而，人七与对角线交于居，

DE=^AB,且DE〃A8,.'.△DEFSABAF,可得爷=/可得Ar=1AE，•••京=滋=永病

+方^)=养4。+3赢)=；前+前7).故选C.

二、多项选择题

9.下列式子中，结果为零向量的是（）

A.AB+BC+G4B.B+麻+肋+痂

C.OA+OB+B（）-}-C（）D.Al3-AC+BI)-cb

答案：AD

解析：利用向量运算，易如A,D中的式子结果为零向量.故选AD.

10.如图所示，四边形48co为梯形，其中A8〃C。，AB=2CD,M,N分别为AB,CO的

中点，则下列结论正确的是（）

A.AC=AD+^AbB.A7C=1AC+|BC

—►—►I»1»—>1»

C.MN=A。一/D.8C=AZ）+]A8

答案：AC

解析：对于A,因为启=超+/2=病+矫，故A正确；对于B,因为证=麻+/=3函

-\-AC=^（BC-^-CA）-\-AC=\AC^BC,故B错误：对于C,因为荻=诂+病+冰=-3赢

+而+抑=病一;赢，故C正确；对于D,因为正=法+崩+成=一筋+由）+矫=病

一3诵，故D错误.故选AC.

II.设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.若病=加+荻，则M是边8C的中点

B.若赢=2烈一沅，则M在线段BC的延长线上

C.若病=一百力一所，则M是△ABC的重心

D.若病=拗+%2,则△MBC的面积是△A8C面积的J

答案：AC

解析：对于A,因为AM=%8+/c,所以g/AM—18=/。一即BA/=MC,则M是

边8c的中点，故A正确；对于B,由俞=2后一启，得杨一病=叁一危，所以前=无，

则M在线段C8的延长线上，故B错误；对于C,设BC的中点为。，则病=一曲一说=

麻+疝7=2而，所以M是△ABC的重心，故C正确；对于D,由麻/=辆+次，知Sc

AMC=QSA48C，SWA5=FM8C，所以S.AW8C=_j^S.M8C，故D错误.故选AC.

三、填空题

12.（2026・广东茂名模拟）已知向量为，62不共线，且（2的+屁2）〃（361-262），则实数/1=

4

答案：一,

解析：因为向量ei,e2不共线，且(2ei+2e2)〃(3ei—2e2：i,则2ei-FAe2=k(3ei—2ei)»即2e\

；=-

’2=3八3

+融2=3h1-2品2，所以《I2解得

A=-2k»仁|.

13.已知。，E,”分别为△A8C的边8C,CA,48的中点，且正=如CA=b,给出下列四

个结论：®AD=^a—bi②BE=a+"；③（；尸=—%+，；④八。+8E+C产=0.其中所有正确

结论的序号是.

答案：②③④

解析:BC=a,CA=b,危=3（/+无）+34。=3无+/=—%一从故①错误；

BE=BC+^C4=a4-T/＞,故②正确；。尸制仁笈+0人尸/一〃+方）=—故③正确；AD

+8E+Cr=—Ja—Ja+J5=0,故④正确.

14.在△48C中，点。在线段AC上，且满足位）|=氐和，。为线段3。上任意一点，若实

数x,量满足超=.屈+疝7,则的最小值为

"y

答案：4+2小

解析：由题意知，点。满足而=姓，故而=xi》+）A2=x4A+3.v彳由Q，B,。三点

共线，可得x+3y=l,£＞（）,y＞（）,贝叱+；=（；+；）（工+3））=4+,+.24+2小，当且仅当?

=$即1="手，），=三更时，等号成立.所以的最小值为4+2小.

）乙。八y

51-

15.（2026•吉林长春质监）如图，在中，病=水，点E在上，若嬴=人函+?正,

则x=()

答案：c

解析：因为病=和"所以/=微病，则泰=工法+（丽=x（—嘉）+g（/一赢）=；/一

（x+1）赢=；乂部3—Q+；）油=3病一因为8,E,O三点共线，所以;一（x+；）

=1,解得x=一3.故选C.

16.（多选）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三

角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和直心间的距离是垂心和重心间的距离

之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△48C中，点O,H,G分别是其外心、垂心、

重心，BC边的中点为。，则下列结论中正确的是（