高考数学一轮复习：常用逻辑用语

常用逻辑用语

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I.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q，则〃是（7的充分条件,q是〃的必要条件

〃是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件p"［且q=>p

p是q的充要条件If

p是，/的既不充分也不必要条件p~^q且q~^p

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“乜”表示.

（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

对〃中任意一个存在M中的元素x,p（x）成

结构

x,p（i）成立立

简记VxEM,p(x)玉〃（工）

否定V.rEM>-'p(x)

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打7或“X”）

（1）当p是4的充分条件时，q是〃的必要条件.（7）

（2）“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.（V）

⑶“函数为奇函数”是“{0）=0”的充分不必要条件.（X）

（4）命题'勺xER,sin2^+cos2^=1M是真命题.（X）

2.命题d-x+220”的否定为（）

A.3AGR,JC-X+2<0

B.Vx^R,JT-X+2^0

C.axeR,FX+2W0

D.VxER,f-x+2<0

答案A

解析命题“Vx£R,八¥+220”的否定为命题'FxWR,f-x+2v()”.

3.(2025•天津)设J£R,则“x=0”是“sin2x=0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由Dnsin2x=sin0=0,则“x=0"是"sin2r=0"的充分条件；

令sin2.v=0,贝！I2x=E,k£Z,故尸?，kQZ,所以sin2x=0<.¥=(),则“入=0"不是"sin2A=0"的必要条

件，

综上可知，'”=0”是“sin2尸0”的充分不必要条件.

4.设p：«〃+2,q：0«2.若〃是夕的必要不充分条件，则实数m的取值范围是.

答案[0，1]

解析p：〃b1«〃+2,</：0WkW2.若〃是夕的必要不充分条件，贝

且两等号不能同时取到，解得OWmWl.

回微点提醒

1.谨记两个常用结论

(Dp是q的充分不必要条件，等价于F是的充分不必要条件.

(2)命题〃和「〃的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.

2.理清一个关系

“4的充分不必要条件是B”是指8能推出4且A不能推出&而“A是8的充分不必要条件”则是指A

能推出8,而8不能推出A,要注意区别上述两种说法的不同.

题型一充分、必要条件的判定

例1(1)(2024•北京)设°,力是向帚，则”(。+力)•(。-5尸0”是“斫/或°=力”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由(a+b>(a-b)=O,

得/方二(),

即⑷2-|例2=()，所以⑷二制，

当E1，1)，M-l»1)时，

⑷二|力但aWb且。#-方，

故充分性不成立；

当a=-b或a-b时,

(a+b)(a-b)=O,

故必要性成立.

所以“(a+b)«・b)=O"是=/或。二)”的必要不充分条件.

(2)(2025・临沂模拟)已知於)=tan乂则对任意实数〃£(/，1),1),是“必)4yS)>0”

的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析因为九r)=tanx在(-1,1)上单调递增，且是奇函数，

所以tan«+tan/?>0<=>tan6/>-tan/?<=>tan〃>tan(-〃

所以“a+b>0”是“加)—份>0”的充要条件.

思维升华充分、必要条件的三种判定方法

(I)定义法：根据〃=q,g=〃是否成立进行判断.

(2)集合法：根据p,4成立对应的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等吩转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立

为止.

跟踪训练I(多选)下列叙述中正确的是()

A.%>1”是“L1”的充分不必要条件

a

B.若〃，Bc丘R,则“加〉加”的充要条件是“a>c”

C.%<1”是“方程/+工+斫0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

D.若a,b,c£R且a>0,则“Vx£R,or2+法+c，0恒成立”的充要条件是“从-4acW0”

答案ACD

解析对于当。时，所以中〃

A,«>1=a>-<1,<0aa>1,

所以"a>l”是的a充分不必要条件，故A正确；

对于B,当人=0时，若"a>c”成立，而加=0=cb\充分性不成立，故B错误；

对于C,令yU)=f+x+a,方程f+.x+a=0有一个正根和一个负根，则/(0)<0,

则有〃<0,所以是“方程f+x+〃=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确；

对于D,当〃>0时，由VxWR,or+Zzr+c20恒成立可以推出/:/?2-44CW0,

而由〃-4acW0也可以推出aF+Z?x+c±()恒成立，故D正确.

题型二充分、必要条件的应用

例2(1)(2026•哈尔滨模拟)下列四个选项中，使X>)，成立的一个充分不必要条件是()

A.AT>y2B.x|x|>y[y|

C.lnA>lnyD.ev>ev

答案C

解析当x=-2,y=-l时，满足但x<y；当x=-1,y=-2时，满足x>y,但fvy2.

故是心少的既不充分也不必要条件，A错误；

令«Y)二X|X|,则/(X)的定义域为R,

,：J(-x)=-x\-x\=-xM=-fix),

・・JU)是奇函数，

当x>0时，7U)=f,ZU)在(0,+8)上单调递增，故大幻在R上为增函数.

由x|W>y|y|可得x>y,由可得小|>好|,

故川,命比”是A>y的充要条件，B错误；

•・j，=hx在(0,+8)上为增函数，]nA->lny,.*.x>j>0；

当0>x>y时，Inx,Iny无意义，lnx>lny不成立，

故In.olny是的充分不必要条件，C正确；

*.*},=ev在R上为增函数，

「・由冷炉可得x>y,由x>.y可得e'>ev,

故是r>y的充要条件，D错误.

⑵(2025・白银模拟)已知p：xz-(2ni+3)x+m2+3m>0f,是q："炉土6<0”的必要不充分条件，则实数

的取值范围为()

A.",-5JU[3,+8)

B.(-8,-5)U(3,+8)

C.(-5.3)

D.[-5.3]

答案B

解析因为〃：

则x<m或x>/〃+3,q：<0,即-2WxW3,

又〃是q的必要不充分条件，则〃?>3或〃7+3V-2,即心3或〃1<-5.

故实数〃，的取值范围为(-8,-5)U(3,+8).

思维升华求参数问题的解题策略

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

跟踪训练2⑴已知〃：-14<0,/底1<XV-3〃2.若〃是9的充分不必要条件，则实数"?的取值范围

是.

答案(-°°»0)

解析因为〃是q的充分不必要条件，

所以｛x|-l<¥<0｝是｛x|〃?-1<x<-3m｝的真子集,

则｛：3，110一1’(不同时取等号)，解得，〃<0，

所以实数用的取值范围是(・8,0).

(2)已知p：xWl,q：若〃是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是；若〃是q的

必要条件，则实数a的取值范围是.

答案(-，1)(-oo,u

解析因为p：xWl,夕：xWa,

若〃是4的必要不充分条件，

则(-8,可生(_8,1|,因此4<1,

即实数。的取值范围是(-8,1).

若〃是^的必要条件，则(-8,口-8,1],

因此。<1,即实数。的取值范围是(-8,1].

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词的命题的否定

例3(多选)下列说法正确的是()

A.“菱形是正方形”是全称量词命题

B."必:，y£R,丁+尸》。，，的否定是，，3匕),£R,/+)，2<0”

C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”

D.“4=8”是“sinA=sin£T的必要不充分条件

答案AB

解析对于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形"•是全称量词命题，故A正确；

对于B,由全称量词命题的否定知其否定是‘汨x,yeR,，故B正确；

对于C,命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除“，故C错误；

对于D,因为时，sinA=sinB成立，而sinA二sin8时，4=8不一定成立，如4J,B=—,故“A=B”

33

是“sinA=sin8”的充分不必要条件，故D错误.

命题点2含量词的命题的真假判断

例4(多选)下列命题为假命题的是()

A.a.rGR,ln(.?+l)<0

B.V.r>2,2x>x2

C.3a»sin(a-^)=sina-sinP

D.VxE(O,7i),sinx>cosx

答案ABD

解析因为ln(f+l)2ln1=0,故A是假命题；

当户3时，23<32,故B是假命题；

当«=/?=0时,sin(a-//)=sina-sin/?,故C是真命题；

当.r=二时，sinx=-,cosx=—,sinx<cosx,故D是假命题.

622

命题点3含量词的命题的应用

例5已知命题“MGR,aear+lWO”为假命题，则实数。的取值范围是.

答案［0,4)

解析由题意得不等式加“优+1>0对VxER恒成立.

①当“=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意；

②当“W0时，若不等式aF-ar+l〉。对VxWR恒成立，则>°2A八解得0<a<4.

综上，实数。的取值范围是［0,4).

思维升华含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.

当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围：二是可利用等价命题求参数的范围.

跟踪训练3(1)(2024•新课标H卷)已知命题p：VxeR,|x+l|>l；命题/3x>0,P=x,则()

A.p和都是真命题

B.->p和q都是真命题

C.p和p都是真命题

Dcp和p都是真命题

答案B

解析对于命题P，取x=-l,

则有k+il=o<i,

故〃是假命题，是真命题；

对于命题<7，取入=1,

则有.d=13=l=x,

故夕是真命题，「夕是假命题，

综上，和夕都是真命题.

（2）（多选）（2025•海口模拟）以卜说法正确的是（）

A.“心£R,3『-220”的否定是0£R,3『-2<0”

B.“心>3”是“logM2x+l）>2”的充分不必要条件

C.若命题“Vx£R,『+（公1W0”为假命题，则实数。的取值范围是（-1,3）

D.若命题“WR,24『+办］辽0”是真命题，则实数〃的取值范围是［-3,0］

答案AD

解析对于A,“Vx£R,3f-220”的否定是'勺x£R,3f-2<0"，故A正确；

对于B,log3（2x+1）>2,即log3（2x+l）>log39,

贝ij2x+l>9,解得x>4,因为x>4=>/>3,且x>3f\r>4,所以“x>3”是“log3（2x+l）>2”的必要不充分条

件，故B错误；

对于C,命题是假命题，则命题的否定“也七R,f+m-1）x+1<0”是真命题，即n二（a-l）2-4>0,解得。>3或

以<-1,故C错误；

对于D,因为“Vx£R,2加+0¥-/0”是真命题，即2加+以-洛0对R恒成立.当a=0时，命题成

88

立；当时，

U=4-3a<0,

解得-3Wa<0,综上可得，-3WaW0,故D正确.

［分值：95分］

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.（2021•天津）已知a£R,则“a>6”是“/>36”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由题意，若。>6,贝I/>36,故充分性成立；

若fr>36,则a>6或。<-6,故必要性不成立，

所以"6"是“">36”的充分不必要条件.

2.（2025・周口质检）命题“存在偶数”，使数据3,4,1,小5,7的中位数是偶数”的否定为（）

A.对任意的偶数〃，数据3,4,1,a,5,7的中位数是奇数

B.对任意的偶数〃，数据3,4,1,a,5,7的中位数不是偶数

C.存在奇数〃，使数据3,4,1,〃，5,7的中位数是奇数

D.不存在奇数小使数据3,4,1,小5,7的中位数不是偶数

答案B

3.己知p：q：x>m,若〃是g的充分条件，则实数机的取值范围是（）

A.[0,+8）B.[l,+8）

C.（-8,0]D.（-8,1]

答案c

解析由>1可得x（x-l）<0,解得O<A<1,

I己A={MOW1},B={,

若〃是夕的充分条件，

则A是8的子集，所以〃?W0,

所以实数〃?的取值范围是（-8,0J.

4.（2023•北京）若x），HO,贝ij~+产0"是'？U=-2”的（）

%y

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析•・"），#（）,・・,d=-2等价于f+）2=_2xy,即『+y2+2xy=0,

即（x+y）2=O等价于x+.y=O.

・•・”尸0”是“。二-2”的充要条件.

xy

5.（2026•宁波模拟）命题“张£|21],『-44>0”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.aW-工B.aWO

4

C.a26D.〃28

答案D

解析若命题“八七[-2,1],为假命题，

则命题的否定“心可・2,1],炉“aWO”为真命题，

即a2f・x,x£[-2,1]恒成立，

对于函数尸尸-尸[一巳）一,xe[-2,1],

当x=-2时，取得最大值）=6,

所以。力6,选项中只有｛a|a28｝是｛a|a26｝的真子集,

所以命题“玉e[-2,1],为假命题的一个充分不必要条件为a28.

6.（2025•朔州模拟）己知A,6为实数，则庆0”是“A?十次为双曲线方程”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当A/+8），2=l表示双曲线时，A8<0,而当A8<0时，Ar2-8y表示的是双曲线，所以“A8<0”是

a/LxW=l为双曲线方程”的充要条件.

7.若何£（0,兀），sin2»依inx<0”为假命题，则左的取值范围为（）

A.（-8,-2JB.（-8,2]

C.（-8,-2）D.（-8,2）

答案A

解析依题意知命题“弘£（0,%），sin2x-AsinxvO”为假命题,则命题“Vx£（O,%），sin2oksinx，0”为

其命题，所以2sinxcosx，Asinx,贝IAW2cosx在x上（0,兀）时恒成立，解得攵W-2,所以A的取值范围为（-

8,-2].

8.（2023・新课标【卷）记S“为数列（出｝的前〃项和，设甲：｛小｝为等差数列；乙：｛+｝为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案C

解析方法一甲：｛〃“｝为等差数列，设其首项为⑶，公差为小

则S尸〃学=。|+?仁多汁0*7+f-^=2,

因此g｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛曰｝为等差数列，

"S“+i-(n+l)S)

即延_包二na“+1_Sn为常数，设为

7i+lnn(n+l)n(n+l)

nan+1_Sn

即

n(n+l)

则S,尸〃。“+i”•〃(〃+1),

有S“二(〃-l)aM〃(〃-l),〃22,

两式相减得an=nan^\-(n-\)a„-2tn,

即。〃+1-斯=2八对//=!也成立，

因此｛m｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

方法二甲：｛斯｝为等差数列，设数列(为｝的首项为他,公差为一

即S尸〃

n222

因此｛曰｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛智为等差数列，

设数列｛曰｝的公差为O,

则吗&=D,

n+1nn

即Sn=nSi+n(n-l)D,

当〃22时，1)&+(〃-1)(〃-2)D,

上边两式相减得户Si+25-l)。，

所以a„=a\+2(n-\)D,

当77=1时，上式成立，

又4力-斯=0+2〃。-3+2(止1)0=2。为常数，因此｛斯｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.下列既是存在量词命题又是真命题的是()

A.BxER,M<0

B.BAEZ,cos7，v=-1

2

C.至少有一个x£Z,使X能同时被3和5整除

D.每个平行四边形都是中心对称图形

答案BC

解析选项A为存在量词命题，区为所有实数的绝对值非负,

即H20,所以A是假命题；

选项B为存在量词命题，

当下2时，满足cos(]•2)=cos兀=-1,

所以B既是存在量词命题又是真命题；

选项C为存在量词命题，15能同肝被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题；

选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.

10.(2025•揭阳模拟)下列叙述中正确的为()

A.命题“VxWO,总有2%城”的否定是“m4WO,使得

B.Vx<=(0,+8),2r>log2,v

C.VxER,4f22x-1+3/

D.已知a,NR,WJM\a+b\=\a\+Wf的充要条件是“而>0”

答案ABC

解析对于A,命题“VxWO,总有2A的否定是“玉WO,使得，A正确；

对于B,当.。0时，函数产2”的图象在直线的上方，函数y=log2X的图象在直线产x的下方，贝U

2x>log2X,B正确;

对于C,因为4/-(2x-1+3f)=f-2x+1=(%-1y20,

所以22『1+3』恒成立，C正确；

对于D,例如a=b=O,能推出|。+臼=同+步|,即|a+b|=|a|+|6|不能推出而>0,故D错误.

11.下列说法正确的为()

A.设n,beR,则“/斗3”是“3三3〃”的必要不充分条件

B.已知A={x|-lWxW2),B={x[lx-a<Q},若“X£A”是“工£8”的充分不必要条件,则实数。的取值范围

是(4,十8)

C.若命题“玉eR,〃>+必+1<0”是假命题，则0<"】<4

D.已知p：O<r<l,q：4，+2匚〃WO,若p是q的充分条件，则实数加的取值范围为[6,+°°)

答案BD

解析对于A,由函数产丁为增函数可知，

若/%3,则加力,所以3a=3。

由函数)=3、为增函数可知，

若3"=35则册氏所以

故%3廿，是“3“二3人”的充要条件，A错误;

对于B,由'\£A”是“xEB”的充分不必要条件，得集合A真包含于集合仇所以42,即e4,B正

确；

对于C,若命题是假命题，则"V.x£R,〃/+〃a+110”是真命题，故，片。或4/八解得

M=mz-4m<0,

0<w?W4,C错误;

对于D,由〃是q的充分条件，得〃=5即对于OoWl,4'+21"W0恒成立，令/=21/£(1,2],贝

帆2'十/对于,£(1,2]恒成立，又产+/=(£+3=:w(2,6],则〃[26,D正确.

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.命题“Vx>0,使得eyr+2”的否定是.

答案3.r>0,ev2x+2

解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题，

则命题“Vx>0,使得e'<r+2”的否定是“3>0,e'Nx+2”.

13.(2025•湛江模拟)已知a:.32"1或人》-〃“，/?：人v2或人》4,若a是夕的必要条件，则实数，〃的取值范围

是.

答案{m|m>

解析设集合A={巾<2">1或x>-nt),8={x\x<2或x24},

若Q是夕的必要条件，则8GA,

当即加q时，此时A=R,8GA成立；

当2〃i-lW-"z,即〃?时，若8GA,此时12nl该不等式组无解.

31—771<4,

综上所述，实数机的取值范围是MMW}.

14.(2026•郑州模拟)若命题“张£[-1,2],使得2』+"取加1020”是假命题，则实数/n的取值范围

是.

答案(-4,2)

解析由题意知，原命题的否定2],*+〃比如-10<0”是真命题，

令j(x)=2jc+nix-m-10,

所以1(T)=2—m-m-10<0,

"(2)=2x22+2m—m-10<0,

解得《机<2,即实数的取值范围是(-4,2).

[15,16题每小题5分，17,18题每小题6分，共22分]

15.Q025.F1照模拟)己知事函数为)=(苏+m+[)”」,则“次x)在(0,+8)上单调递减”是““二-1”的()

A.既不充分也不必要条件

B.充分不必要条件

C必要不充分条件

D.充要条件

答案C

解析若J(x)=(m2+m+1)/"是累函数，则nr+m+1=1,

解得m=0或m=-\.

当"尸0时，«x）三尸二；,

7U）在（0,+8）上单调递减；

当m=-\时，J（x）=x-2吟,

/U）在（0,+8）上单调递减，

故当人工）在（0,+8）上单调递减时,m=0或m=-l,

即当久K）在（0,+8）上单调递减时，无法推出〃7