人教版七年级上册数学 第4章 与线段和角有关的证明与计算（原卷版）

考点1：与线段有关的计数问题

典例：（2018•内蒙古宁城•初一期末）探究归纳题:

T•/?•

mi图2图3

（1）试验分析：

如图1,经过A点与B、C两点分别作直线，可以作条：同样，经过B点与A、C两点分别作

直线，可以作条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作条.

通过以上分析和总结，图1共有条直线.

（2）拓展延伸：

运用（I）的分析方法，可得:

图2共有条直线；

图3共有条直线；

⑶探索归纳：

如果平面上有n（叱3）个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有条直线.（用含n的

式子表示）

（4）解决问题：

中职篮（CBA）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程

过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？

方法或规律点拨

本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律.

巩固练习

1.（2019•河南许昌•）观察表格：

V

VA-A产

1条直线2条直线3条直线4条直线

0个交点1个交点（1+2）个交点（1+2+3）个交点

平面分成（1+1）块平面分成（1+1+2）块平面分成（1+I+2+3）块平面分成（1+面2+3+4）块

根据表格中的规律解答问题:

（1）5条直线两两相交，有个交点，平面被分成块；

（2）〃条直线两两相交，有个交点，平面被分成块；

（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到块饼.

2.（2019.全国）平面内5条相交直线最多可以有几个交点？〃条直线呢？

3.（2018•浙江全国♦初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题.

1条宜线最多有0个交点2条直.线最多有1个交点

平面最多被分成2块平面最多被分成4块

3条直•线最多有3个交点

平面最多被分成7块平面最多被分成11块

（1）5条直线相交，最多有个交点，平面最多被分成块；

（2）n条直线相交，最多有个交点，平面最多被分成块.

4.（2019•全国初一）往返于A、B两地的客车，途中要停靠C、D两个车站，如图所示.则需要设定几种不同

的票价?需要准备多少种车票?

ACDfi

5.（2019•全国初一课时练习）（I）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D,请分别写出以点A、B、

C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；

（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结

论的正确性；

（3）拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用双循环制（即每两位同学之间都要进行一场

比褰），那么一共要进行多少场比赛？

请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.

ACDB

考点2：线段作图与计算的综合题

典例：（2020•恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP和点B,C,请用尺规按下列要求

作图：

乂P

BB9

（1）连接AB,并在射线AP上截取AD=AB；

（2）连接BC、BD,并延长BC到E,使BE=BD.

（3）在（2）的基础上，取BE中点F,若BD=6,BC=4,求CF的值.

方法或规律点拨

本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图.

巩固练习

1.（2020.全国单元测试）如图所示，已知线段A3的长为2.8cm.

AB

（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点。在线段B4的延长线上，且C4=48：

（2）在上题中，如果在线段3C上有一点〃，且线段AM、长度之比为1:3,求线段CM的长.

2.（2020・福建宁化•初一期末）如图，已知线段a和线段AB,

（1）延长线段AB到C,使I3C=a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若AB=5,BC=3,点O是线段AC的中点，求线段OB的长.

AB

3.（2020•河北课源•初一期末）已知：如图，线段AA

II

AB

（1）根据下列语句顺次画图.

①延长线段AB至C,使BC=3AB,

②画出线段人C的中点D.

（2）请回答：

①图中有几条线段：

②写出图中所有相等的线段.

4.（2019•广西防城港•初一期末）如图，已知线段。和射线OA,射线04上有点从

BA

（1）用圆规和直尺在射线OA上年线段C。，使点B为CO的中点，点C在点B的左边，且BGa.（不用

写作法，保留作图痕迹）

（2）在⑴的基础上,若O8=12cm,0C=5cm,求线段0D的长.

5.（2019•江苏沛县•初一期末）如图，已知四点A、B、C、D.

DC

••

••

AB

（1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：

①画直线A3.

②画射线DC.

③延长线段D4至点E，使=（保留作图痕迹）

④画一点P,使点P既在直线人8上，又在线段CE上.

（2）在（1）中所画图形中，若AB=2cm,AO=lcm,点产为线段。E的中点，求人厂的长.

6.（2019•广东龙华•初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点A、B、C,其中且

BC=-AB.

2

（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）

AB

①作射线C4；

②在线段AC上截取CD=CB；

③在线段AB上截取AE=AD.

恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”.像这样点E就称为线段A3的“黄

金分割点

（2）阅读下面材料，并完成相关问题；

黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0.618倍，则称这个点为黄金分

割点.如图，E为线段A3上一点，如果AE=0.618A8,那么点E为线段AB的黄金分割点.

AAH

已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位土持人分别站在舞台MN上的两个黄金分割点〃和。处，如图,

则这两位主持人之间的距离PQ约为米.

••••

“P0、

7.（2019・闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a,b,用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹），并

填空.

a___b

■■

（1）作线段48,使得A8=〃+6；

（2）在直线A8外任取一点C,连接AC,BC,可得4C+8CAB（填“V”或号），理由

是.

考点3：动点有关的线段问题

典例：（2020•江西东湖・期末）已知：如图I,点M是线段上一定点，AB=12cm,。、。两点分别从M、

8出发以lo〃/s、2o〃/s的速度沿直线B/1向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段4M上，0在线段

上）

<——<--------

••-----・•

ACMDB

（1）若AM=4c〃?，当点C、。运动了2s,此时AC=,DM=:（直接填空）

（2）当点C、。运动了2s,求AC+M。的值.

（3）若点C、。运动时，总有MD=2AC则八M=（填空）

MN

（4）在（3）的条件下，N是直线A8上一点，且AN-BN=MN,求——的值.

AB

方法或规律点拨

本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4）,依据题意，正确分两种情况讨论是解题关

键.

巩固练习

1.（2020•浙江镇海•期末）已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为%点B对应的数为/九点。在点A

右侧，长度为2个单位的线段8c在数轴上移动.

OBC

0b"L

（1）当线段BC在。、A两点之间移动到某一位置时恰好满足AC=08,求此时力的值.

（2）当线段3C在射线40上沿AO方向移动到某一位置时恰好满足求比时匕的值.

2

2.（2021•重庆开学考试）如图，P是线段A8上任意一点，AB=\2cm,C。两点分别从点P,B开始，

同时向点A运动，且点C的运动速度为2e"/s,点。的运动速度为3c、m/s,运动时间为fs.

・♦・6

AC~PDB

（1）若A尸=8cm.

①求运动Is后，CO的长；

②当点O在线段依上运动时，试说明AC=2CD.

（2）如果1=2,8=157,试探索AP的长.

3.（2020•全国初一课时练习）已知A,8两点在数轴上表示的数为。和〃，M,N均为数轴上的点，且

OA<OB.

⑴若A,8的位置如图所示，试化简：M-网+14+W+M-从

----1__।~~」—__

AOB

⑵如图，若同+网=8.9,MN=3,求图中以A，N,。，M，8这5个点为端点的所有线段（无

重复）长度的和；

---1J，1I-i-

ANOMB

（3）如图，M为AB中点，N为。4中点，且MV=2A3-15,。=一3,若点尸为数轴上一点，且

PA=-AB,试求点P所对应的数.

3

----11，-A•:垢>,1J__IA>

ANOMB

4.（2020•河南太康•初一期末）（1］如图，已知点C在线段48上，AC=6cm,H.BC=4cm,M,N分别是

AC,8c的中点，求线段MN的长度；

（2）在⑴题中，如果AC=acm,BC=bcm,其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话

表述你发现的规律；

（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它：“已知线段4C=6cm,8c=4cm,点C在直线A8上，M,N分别是

AC,8c的中点，求MN的长度.”结果会有变化吗？如果有，求出结果.

5.（2020.深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段/W上一点，/W=12cm,。、两点分别从P、9出发

以lcm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为7.

<—<------

ACPDB

（1）当/=1时，PD=2AC,请求出AP的长：

（2）当Z=2时，PD=2AC,请求&AP的长：

（3）若C、。运动到任一时刻时，总有PD=2AC,请求出的长；

（4）在（3）的条件下，Q是直线上一点，且求产Q的长.

6.（2020•山东崂山•初一期末）如图，已知线段A3、。、b.

（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

①延长线段AB到C,使BC-；

②反向延长线段48到。，使4。=〃.

（2）在（1）的条件下，如果AB=8a〃，a=6m,b=10cm,且点E为CD的中点，求线段AE的长度.

a.b

•♦••

7.（2019•河北初三二模）如图，已知数轴上有两点A3,它们的对应数分别是〃/，其中。=12

BA

---------------•-------•-------------------------------------->

ba

（1）在〃左侧作线段=在8的右侧作线段80=3A8（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕

迹）

（2）若点C对应的数是c•，点。对应的数是4,且AB=40,求c,d的值

（3）在（2）的条件下，设点M是8。的中点，N是数轴上一点，且CN=4DN,请直接写出MN的长

8.（2019•江西贵溪•初一期末）如图，点P是定长线段上一点，C、。两点分别从点P、8出发以1

厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线AA向左运动（点C在线段AP上，点。在线段上）.

（1）若点C、。运动到任一时刻时，总有PD=2AC,请说明点户在线段43上的位置；

（2）在（1）的条件下，点。是直线AB上一点，且4Q—BQ=PQ,求理的值；

AB

（3）在（1）的条件下，若点C、。运动5秒后，恰好有=此时点C停止运动，点。继续运

2

MN

动：点。在线段相上），点M、N分别是CD、PO的中点，下列结论：①PM-PN的值不变；②一

AB

的值不变.可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值.

DB

考点4：静态图形中的角度计算与证明

典例：(2020•江西东湖・期末)若Na的度数是的度数的k倍，则规定Na是〃的k倍角.

图②

(1)若/乂=21。17，，则NM的5倍角的度数为；

(2)如图I,OB是NAOC的平分线，OD是NCOE的平分线，若NAOONCOE,请直接写出图中NAOB

的所有3倍角；

(3)如图2,若NAOC是NAOB的5倍角，NCOD是/AOB的3倍角，且NAOC和NBOD互为补角，

求NAOD的度数.

方法或规律点拨

此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180。为互补.

巩固练习

1.(2020.全国单元测试)如图所示，已知NAOD=69。，OC平分NBOD,ZCOD=(x+8)°,

ZAOB求NCOD、AAOB的度数.

2.：2020•岳阳市第十中学初一期末)如图1,已知N'AOB的内部有一条射线OC,OM、ON分别平分N'AOC

和NBOC.

(1)若NAOB=120。，ZBOC=40°,求NMON的度数.

(2)若取掉(1)中的条件NBOC=40。，只保留NAOB=120。，求NMON的度数.

(3)若将NAOB内部的射线OC旋转到NAOB的外部，如图2,ZAOB=120°,求NMON的度数，并请

用一句话或一个式子概括你发现的NMON与NAOB的数量关系.

3.（2020•甘肃肃州•初一期末）如图，已知/BOC=2/AOC,OD平分NAOB,且/COD=20。，求/AOB

4.（2019•山西浑源•初一期末）已知/。。。=90。，且NC。。的顶点。恰好在直线48上.

R

图1图2

（1）如图1,若/C。。的两边都在直线A4同侧，回答下列问题:

①当/3。。=20。时，NAOC的度数为°；

②当/8。。=55。时，NAOC的度数为°；

③若NBOD=a,则NA。。的度数用含«的式子表示为；

（2）如图2,若NCO。的两边。00。分别在直线4B两侧，回答下列问题：

①当/^0。=28。30时，NAOC的度数为；

②如图3,当08恰好平分NCO。时，NAOC的度数为°；

③图2中，若N80Q=a,则NA。。的度数用含a的式子表示为.

5.（2020•全国初一课时练习）如图，O在直线AC上，OD是/AOB的平分线，OE在/BOC内.

（1）若OE是NBOC的平分线，则有NDOE=90。，试说明理由:

（2）若NBOE=L/EOC,ZDOE=72°,求NEOC的度数.

2

6.(2020・湖北广水•初一期木)已知点O为直线48上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点。处,

并在NMON内部作射线OC.

(1)如图1,三角板的一边ON与射线OB重合，且NAOC=150。.若以点。为观察中心，射线0M表示

正北方向，求射线OC表示的方向；

(2)如图2,将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分NMO8,且NBON=2NNOC,求NAOM的度数；

7.(2020・全国初--课时练习)如国，OM是NAOC的平分线，ON是ZBOC的平分线.

(I)如图I,当NAOB是直角，NBOC=60。时，NMON的度数是多少？

(2)如图2,当NAOB=a,NBOC=60。时,猜想NMON与a的数量关系；

(3)如图3,当NAOB=a,NBOC邛时，猜想：NMON与a、。有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理

8.(2020.内蒙古杭锦后旗.初一期末)如图，NAO8=90。，NAOC=50。，ON是/AOC的平分线，OM是/

BOC的平分线.

（1）求/MON的大小；

（2）当/4。。=。时，NMON等于多少度？

9.（2019•内蒙古临河・初一期末）已知，9为直线AB上一点,NDOE=90。.

（1）如图I,若/人00130。，OD平分/AOC.

①求NAO。的度数；

②请通过计算说明OE是否平分/80C.

（2）如图2,若NBOE：ZAOE=2：7,求NAOO的度数.

10.（2020.辽宁庄河•期末）如图］,将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点。处，N笈04=90，

ZCOD=60%。。与。8重合，在OD外NAO8,射线OM、QV分别是NA。。、NBQD的角平分线

（1）求NMON的度数；

（2）如图2,若保持三角尺AOB不动，三角尺C。。绕点逆时针旋转〃（0<〃<60。）时，其他条件不变,

求乙MON的度数（提示：旋转角ZBOC=n）

（3）在旋转的过程中，当NAOC+NBOD=12（H4，直接写出N8OC的值.

11.（2019・四川雁江•初一期末）女」图，点。为直线AB上一点，过点0作射线0C,使N8OC=U0°,

将一直角三角板的直角顶点放在点。处（NQWN=30。），一边OW在射线08上，另一边在直线A3

的下方.

图2田3

(1)将图I中的三角板绕点。逆时针旋转至图2,使一边OM在N3OC的内部，且恰好平分N3OC,求

N8QN的度数:

(2)将图1中的三角板绕点。以每秒5。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第，秒时，直

线OV恰好平分锐角N40C，求i的值；

将图1中的三角板绕点。逆时针旋转至图3,使一边。N在NAOC的内部，请探究NAQM—NNOC的值.

12.(2020•山西浑源•初一期末)综合与探究：

问题情境：如图，已知NA()B=90。，射线OC在NAOB的外部且0。</130(2<180。.OM是NAOC的角

平分线，ON是NBOC的角平分线.

特例探究：(1)如图1,

①当NBOC=40。时，NMON的度数为°；

②当NBOCV90。时，求NMON的度数；

猜想拓广:(2)若NAOB=a(0<a<90°),

①当/人08+/80(：<180。时，则NMON的度数是°；(用含a的代数式表示)

②当NAOB+/BOCA80。时，请在图2中画出图形，并直接写出NMON的度数.(用含a的代数式表示)

图1图2

考点5：与旋转角有关的计算与证明

典例：(2020•全国初一课时练习)［阅读理解］射线。。是NAO笈内部的一条射线，若NCO4=gN3OC,则

我门称射线0C是射线OA的伴随线.

例如，如图1,ZAOB=60,ZAOC=ZCOD=ZBOD=20»则NAOC=!/BOC,称射线OC是射

2

线3的伴随线：同时，由于NBOO=L/A。。，称射线。。是射线OB的伴随线.

2

［知识运用］

（I）如图2,NAO3=120"，射线OM是射线。4的伴随线，则NAOW=，若NAO8的度数是a,

射线。N是射线。8的伴随线，射线OC是NAO8的平分线，则NNOC的度数是.（用含a的

代数式表示）

（2）如图，如N4O8=180'，射线OC与射线Q4重合，并绕点O以每秒3,的速度逆时针旋转，射线

与射线03重合，并绕点。以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线重合时，运动停止，现在两

射线同时开始旋转.

备用图

①是否存在某个时刻，（秒），使得NC8的度数是2。，若存在，求出/的值，若不存在，请说明理由:

②当/为多少秒时，射线OC、OD、0A中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线.

方法或规律点拨

本鹿是几何变换综合题，考查了角的计算，考杳了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的

思想思考问题.

巩固练习

1.（2020•宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC,使NBOC=70。，

将一个直角三角形的直角顶点放在点O处.（注：ZDOE=90°）

⑴如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则NCOE=°；

（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分/BOE,求NCOD

的度数；

(3)如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在NBOC的内部，试猜想NBOD和N

COE有怎样的数量关系？井说明理由.

图①图②图③

2.(2020・宿迁市钟吾初级中学初一期末)如图①，已知线段A3=20a〃，CD=2an,线段C。在线段A8上运

动，E、〃分别是AC、3Q的中点.

(1)若AC=4cm,则EF=cm.

(2)当线段CD在线段A8上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出E/的长度，如果

变化，请说明理由.

(3)我们发现角的很多规律和线段•样，如图②已知NC8在NAO8内部转动，OE、Of分别平分N4OC

在乙BOD,则NEO/、ZAO3和NCOD有何关系，请直接写出________________________.

ECDB

图①

3.(2()20・江苏南京•南师附中宿迁分校初一期末)已知直线AB过点O,NCOD=9()。，OE是/BOC的平分

线.

(1)操作发现：①如图1,若/AOC=40。，则/DOE=

②如图1,若NAOC=a,贝ljNDOE=(用含a的代数式表示)

(2)操作探究：将图1中的NCOD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否

成立？试说明理由.

(3)拓展应用：将图2中的NCOD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若NAOC=a,求

NDOE的度数，(用含a的代数式表示)

4.（2020.全国初一课时练习）如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起.

图②

（1）若NBOC=70。，如图①，请求出NAa）的度数；

（2）若NAOD=115。，如图②，请求出NBOC的度数；

（3）猜想：NAO/）和NBOC的关系（请直接写出答案即可）

5.（2020•全国初一课时练习）已知OC是NAOZ?内部的一条射线，M,N分别为CM,OC上的点，线

段OW,QV同时分别以300/s,100/s的速度绕点。逆时针转动，设转动时间为fS.

OA

图⑴图⑵

（1）如图（I）,若NAQ8=120。，OM,QN逆时针转动到W,ON'处.

①若OM,ON的转动时间f为2,则N3QM+NCOW'=；

②若W平分NAOC,ON'平分N3OC,求NATQV'的值.

（2）如图（2）,若乙\OB=4/BOC,当OM,ON分别在NAOC,NBOC内部转动时，请猜想NCOM

与/8QN的数量关系，并说明理由.

6.（2020•全国初•课时练习）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结

合一道几何题来体验一下.

（发现猜想）（1）如图①，已知/AO9=70。，Z/l（7D=100o,OC为/ROD的角平分线,则NAOC的度数

为

图①图②

（探索归纳）（2）如图①，ZAOB=mt0C为N5。。的角平分线.猜想/AOC的度数（用含

〃?、〃的代数式表示），并说明理由.

（问题解决）（3）如图②，若NAOB=203ZAOC=90°,NAOO=120。.若射线。8绕点O以每秒20。逆时

针旋转，射线OC绕点O以每秒10。顺时针旋转，射线0。绕点0每秒30。顺时针旋转，三条射线同时旋转,

当•条射线与直线04重合时，三条射线同时停止运动.运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的

角平分线？

7.（2020•全国初一课时练习）如图①，。是直线上的一点，NCOD是直角，OE平分NBOC.

（1）若NAOC=30。，则NOOE的度数为一；

（2）将图①中的NCOD绕顶点0顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，探究NAOC和/力OE的度

数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

（3）将图①中的NCOD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其池条件不变，直接写出N4OC和NOOE的

度数之间的关系.

8.（2020•全国初一课时练习）如图，以直线A3上一点O为端点作射线OC,使NAOC=70°,在同一个

平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点。处.（注：ZDOE=90°）

（1）如图1,如果直角三角板。0E的一边OD放在射线。4上，那么NCOE的度数为：

E

（2）如图2,将直角二角板。O石绕点。按顺时针方向转动到某个位置，如果OC恰好平分N4O石，求

NCOQ的度数；

（3）如图3,将直角三角板。。石绕点。任意转动，如果。。始终在N4OC的内部，请直接用等式表示NA8

和NCOE之间的数量关系.

图3

9.（2020•全国初一课时练习）如图，射线QV,OE,OS,OW分别表示以点O为中心的北，东，南,

西四个方向，点A在点。的北偏东45。方向，点3在点。的北端西30。方向.

（1）画出射线03,若/BOC与NAOB互余,请在图（1）或备用图中画出N3OC：

（2）若