高考数学一轮复习讲义 第4节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第四节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

课标解读考向预测

1结.合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.结合

古典概型，能利用独立性计算概率.预计2027年高考将会以事

2.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件件独立性的判断或条件概

概率.率、全概率公式计算在小题

3.结合古典概型，理解条件概率与独立性的关系.中单独考查，或与随机变量

4.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.的分布列、数字特征相结合

5结.合•占典概型，会利用全概率公式计算概率.融合在解答题中考查.

6*.了解贝叶斯公式.

必备知识

知识梳理

1.事件的相互独立性

对任意的两个事件A与&如果。伪8)=同P(A)P(B)成立,则

事件A与事件8相互独立

称事件A与事件B相互独立，简称为独立

若事件A与事件8相互独立，则A与5，彳与B，4与否也

性质

都相互独立，P(B\A}=^P(R)，P(A\B)=^P(A)

2.条件概率

p(45)

设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)—蚂0为在争件A

条件概率的定义

发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率

(1)P(0|A)=1；(2)如果8和。是两个互斥事件，则P(8UC1A)=困户(BIA)

条件概率的性质

+P(C|A);(3)设再与B互为对■立事件，则P(B\A)=\-P(B\A)

3.全概率公式

一般地，设4，4，…，4是一组两两互斥的事件MUAzU…UA=。，且P(A»>O，i=l，

n

2，…，〃，则对•任意的事件，有P(B)=^tP(Aj)P(B\Ai)，我们称上面的公式为全概率

公式.

«常用结论

1.两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一

事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.

p(AQ)

2.计算条件概率除了应用公式产出依尸^,人外，还可以利用样本点法，即P(B\A)=

”(架，其中"(A)为事件A包含的样本点数，或钻)为事件A8包含的样本点数.

3.P(8|A)是在事件4发生的条件卜.事件B发生的概率，P(A|8)是在事件B发生的条件下事件

A发生的概率.

4.计算条件概率P(罚A)时，不能随便用事件B的概率尸的)代替尸(AB).

诊断自测

题组一走出误区——判一判

(1)若事件A，8左斥，则P(B|A)=L()

⑵若4，B相互独立，且P(4)=0.5，P(8)=0.4，则A，B都不发生的概率为0.3.()

⑶抛掷2枚质地均匀的硬币，”第一枚为正面向上”为事件A，”第二枚为正面向上”为事件

3，则A，4相互独立.()

(4)P(A)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B\A).()

答案：(1)X(2)7⑶J(4)X

题组二回归教材——练一练

(1)(人教B必修第二册第五章复习题A组T8改编)某金融公司第一次投资成功的概率为0.85，

第二次投资成功的概率为0.74，两次投资成功与否相互独立，则两次都投资成功的概率为

()

A.IB.0.629

C.0D.0.74或0.85

答案：B

解析：由题意知两次投资成功与否相互独立，所以两次都投资成功的概率为0.85X0.74=

0.629.

(2)(人教B选择性必修第二册4.1.1例2改编)根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾

的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾乂刮四级以上大风的概率为

02则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为()

A.0.8B.0.625

C.0.5D.0.1

答案：A

解析：设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，由题意知，尸(A)=0.25，

P(B)=0.4，P(AB)=0.2，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为P(B\A)=

P(AB)_0-2

P(A)一。・25一口・5

(3)(人教A选择性必修第三册7.1.2练习T1改编)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道

正确答案的概率为0.5，知道正确答案时答对的概率为1，而不知道正确答案时猜对的概率为

0.25，那么他答对题目的概率为()

A.0.625B.0.75

C.0.5D.0

答案：A

解析：用事件A表示“考生答对题目”，事件4表示“考生知道正确答案”，事件不表示“考

生不知道正确答案”，则/8)=0.5，尸(豆)=0.5，尸⑷8)=1叭川月)=0.25，则P(A)=P(B)P(A\B)

4-P(5)P(A|B)=0.5X1+0.5X0.25=0.625.

(4)(多选)(人教A选择性必修第三册7.1.1练习T3改编)一个袋子中装有除颜色外完全相同的

5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是()

A.若不放回地摸球2次，则第一次摸到红球的概率端

B.若不放回地摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为3

C.若有放回地摸球3次，则仅有前2次摸到红球的概率为黑

D.若有放回地摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为需

答案：BCD

解析：对于A，第一次摸到红球的概率为I，故A错误；对于B，不放回地摸球2次，则在

2I

第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率P=J=2，故18正确；对于C，有放回地摸

球3次，则仅有前2次摸到红球的概率为1乂1乂1=黑，故C正确；对于D，有放回地摸球

JJJ1

3次，则恰有2次摸到红球的概率为，故D正确.故选BCD.

考点探究提素养

考点一事件的相互独立性(多考向探究)

考向1事件独立性的判定

例上袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放

回地随机取两次每次取1个球4表示事件“笫一次取出的球上数字是1”3表示事件“第

二次取出的球上数字是2”，。表示事件“两次取出的球上数字之和是5"，。表示事件“两

次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出()

A.B与。相互独立B.A与。相互独立

C.B与C相互独立D.C与。相互独立

答案：C

解析：由题意可得P(A)=(，户")=(，有放回地随机取两次，每次取1个球，两次取出的球

4I

上数字之和是5的情况有(1，4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，共4种，所以P(0=m=7；两

q入a

33

次取出的球上数字之和是6的情况有(2，4)，(4，2)，(3，3)，共3种，故尸(0=太7=*

11133

对于A，P(BD)=—，P(B)P(/))=jxf6=64,则P(BD)乎P(B)P(D)，故B与。不是相

i33

互独立事件，故A错误；对于B，P(AD)=O，P(A)P(D)=wXj^=R，则P(AD)^P(A)P(D)»

故4与。不是相互独立事件，故B错误；对于C，「出。=七==，P(B)P(O=|x|=-j^，

则P(BC)=P(B)P(C)，故3与C是相互独立事件，故C正确；对于D，P(CD)=O，P(QP(D)

133

=4XT6=64，则P(CD)#P(C)P(D)，故C与D不是相互独立事件，故D错误.

通性通法判断两个事件是否相互独立的方法

(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.

(2)定义法：判断尸(AB)=P(人)P(8)是否成立.

(3)转化法：由事件人与事件B相互独立知，人与R，彳与8，彳与否也相互独立.

巩固迁移1.己知一个古典概型的样本空间Q和事件A，B如图所示.其中以0=12，”(A)

=6，〃(8)=4，小AU6)=8，则事件A与事件石()

AB

A.是互斥事件，不是独立事件

B.不是互斥事件，是独立事件

C.既是互斥事件，也是独立事件

D.既不是互斥事件，也不是独立事件

答案：B

解析：因为“(0)=12，〃(A)=6，〃①)=4，HAU3)=8，所以n(AC\B)=28)=4，〃(8)

__41_681—

=8，所以事件人与事件8不是互斥事件；P(48)=万=?，P(A)P(B)=五X瓦=1，所以F(AB)

=P(A)P(5)，所以事件A与事件E是独立事件.故选氏

考向2相互独立事件的概率

例2(2026•广东韶关模拟)公司要求甲、乙、丙3人在各自规定的时间内完成布置的任务，

7。1

已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为与，彳，(，则3人中至少2人在规定时间

JJ

内完成任务的概率为.

答案常

解析：3人中至少2人在规定时间内完成任务，即在规定时间内3人中恰有2人完成任务或3

人都完成任务，其概率为HX3X(1-4)+5X(14)X4+(14)X3X4+5X3X4=5-

通性通法求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.

(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

巩固迁移2.(多选)(2023•新课标H卷，12)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发

送0时收到1的概率为a((Kavl)收到0的概率为1一公发送1时收到。的概率为以0<6<1)，

收到1的概率为1—K考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发

送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次

传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若

依次收到1，()，1，则译码为1)()

A.采用单次传输方案，若依次发送I，0，I，则依次收到1，0，I的概率为(1一编(1一份2

B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，()，1的概率为伙1一万)2

C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为伙1一6)2+(1一夕)3

D.当ovavo.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译

码为0的概率

答案：ABD

解析：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，()，1的事件是发送1收到1，发送0收到

0,发送1收到I这3个事件的积事件，它们相互独立，所以所求概率为(1一尸)(1一。)(1一用

=(1—。)(1一为2,A正确；对于B，三次传输，发送I，相当于依次发送I，1，1，则依次

收到I，0，1的事件是发送1收到I，发送1收到0，发送1收到1这3个事件的积事件，它

们相互独立，所以所求概率为(1一”)£(1一为=。(1-0)2，B正确：对于C，三次传输，发送1，

则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的和事件，它们两两

互斥，由选项B知，所求的概率为Cg(l—仪2球+。一份3=(i-02(I+2份，C错误;对于D，

由C项知，三次传输，发送0,则译码为0的概率P=(l—幻2(|+2幻，单次传输发送0,则

译码为0的概率P，=l-a，而0<a<().5，因此2一?=(1一幻2(1+2a)-(l-a)=a(l—a)(l-

2a)>0，即P>P'，D正确.故选ABD.

考点二条件概率

例3(1)(2026♦河北邢台模拟)某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理古城、丽江古城、

洱海、玉龙雪山、蓝月谷这5个著名旅游景点中随机选择一个游玩.在两人中至少有一人选

择大理古城的条件下，两人选择的景点不同的概率为()

5八8

AA.gB.g

C.,?D.z

o/

答案：B

解析：解法一(定义法)：设“两人中至少有一人选择大理古城”为事件A，”两人选择的景点

TE，，上士“2X4+192X48-P(AB)8」…

不同为事件8，则nlP(A)=J5=25,25=25*P(B|A)=1(从)—=§.故选B.

解法二(样本点法):设“两人中至少有一人选择大理古城”为事件Af两人选择的景点不同”

8

为事件B,则〃(A)=2X4+1=9，〃(A8)=2X4=8，所以P(8|A)="弋-

9

⑵在10()件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，

则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为.

Mg4

口案：99

解析：解法一(定义法)：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合

格品”，则所求的概率为P(例4)，因为尸0钻)=怒=焉，叫)=品=去，所以P(B\A)=

1

P(AB)4954

P(A)=j7=99-

20

解法二(缩样法)：第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有

4

4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为端.

通性通法求条件概率的常用方法

q…P(4B)

(1)定义法：P(B\A)=pU).

(2)样本点法：若已知事件A发生，则A成为样本空间，此时事件4发生的概率是A3包含的

样本点数与A包含的样本点数的比值，即P(BIA)="(架.

(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究刷下的情况，用古典概型求解.

巩固迁移3.(多选)为庆祝建党节，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员

干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，

某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)不放回地依次随机抽取2道题作答，设

事件4为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是

3

A-

5B.O

-

C.P(B\A)=2D.P(B\A)=2

答案：ABC

3

解析：P(A)=Q|=^>故A正确；P(A3)=,：j=卜,故B正确；P(3|A)=尸(A)—=~2~=2

5

_3_

正▼"一32-C1C13-PCAB)K)3

故C正确；P(A)=1-P(H)=1—5=亍。(人8)=血=m，P(B\A)=二一=y=j,±故L

一、P(4)5

D错误.故选ABC.

考点三全概率公式的应用

例日某保险公司将其公司的被保险人分为二类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计

资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保

险人中“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”被保险人占50%,“冒失的”被保险人占30%,

则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是()

A.0.155B.0.175

C.0.016D.0.096

答案：B

解析：设事件以表示“被保险人是‘谨慎的'”，事件当表示“被保险人是‘一般的'”，

事件凡表示“被保险人是'冒失的'”，则P(8)=20%,P(&)=50%,P(b3)=30%.设事件A

表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(4|8|)=0.05,尸(川&)=0.15,外川自)=0.30.由全

3

概率公式，得P(A)=E=20%X0.05+50%X0.i5+30%X0.30=0.175.

I-1

通性通法利用全概率公式解题的思路

(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件AG=I,2,…，〃).

(2)求P(4)和所求事件〃在各个互斥事件4发生条件下的概率P(B\Ai).

(3)代入全概率公式计算.

巩固迁移4.葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是

渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东艮俗文化”代表地和中小学综合实践

教育基地.山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列.其中亚

腰葫芦具有天然迷彩花纹：果实形状不固定，观赏性强.每株亚腰葫芦可结出果实20〜80

颗.2026年初葫芦山庄播和用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，

1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5,

0.15,0.1,0.05,则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为.

答案：0.4825

解析：设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是4,4,A3,4,则

O=4|IM2U43UAI，且A,4,4，4两两互斥，设事件8表示“从这批种子中任选一颗，

所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实”，则P(B)=P(A।)P(B\A।)+P(A2)P(B\A2)^P(A3)P[B\A3)

+P(A4)P(B\A4)=95.5%X0.5+2%X0.15+1.5%义0.1+1%X0.05=0.4825.

5.某校举办科学竞技比赛，有4,8,C3种题库，4题库有5000道题，/3题库有4000道题，

。题库有3000道题.小申己完成所有题，他答人题库的题的正确率是0.92,答B题库的题

的正确率是0.86,答C题庠的题的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，答对的概率

是.

答案：0.85

解析：由题意知，A,B,。题库中题量的比例为5：4：3,各占比分别为方5，94，方3，则根

543

据全概率公式知所求概率P=^X0.92+pX0.86+^X0.72=0.85.

课时作业

基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)

题号12345678910

难度★★★★★★★★★★

乘法

相互条件相互条件相互

全概定义事件条件公式、

独立概率独立概率独立

率公法求独立概率全概

考点事件公式事件公式事件

式的条件性的的定率公

的概的应的概的应的概

应用概率判定义式的

率用率用率

应用

题号11121314151617181920

★★★★

难度★★★★★★★★★★★★★★

★★

条件相互全概相互条件相互相互条件条件相互

概率独立率公独立概率、独立独立概率概率独立

考点

公式事件式的事件全概事件事件公式公式事件

的应的概应用的概率公的概的概的应及其的概

用率率式的率率用应用率

应用

:A级基础巩固练

一、单项选择题

1.体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7,乙投

中的概率为0.8,则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（）

A.0.38B.0.24

C.0.14D.0.5

答案：A

解析：甲、乙两人恰好有一人投中的概率为0.7X（1-0.8）+0.8X（1-0.7）=0.38.故选A.

2.（2026•广东佛山模拟）某校积极开展社团活动，学期结束时，社团老师对参加社团的同学进

行选择性考核.某社团有小明、小刚等5位同学参加，现选3位同学参加考核，则在小明被

选中的条件下，小刚被选中的概率为（）

A3B-2

C5D,3

答案：B

解析；设事件A为“小明被选中参加考核"，事件B%”小刚被选中参加考核"，则P（A）

3

Ci3Ci3-P（AB）10

=m=5，所以P（8|A）=p（A）-=丁=2.故选B.

5

3.（2026•辽宁沈阳模拟）某工业园区安装了一套AI水质污染监测系统，对每日的水质是否被

化学污染进行检测.已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1.当某日水质被化学污染

时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某FI污染不存在时，系统误报的概率为0.05,则该

监测系统每日发生警报的概率为（）

A.0.095B.0.45

C.0.14D.0.1

答案：C

解析：设事件4表示“该园区水质每日发生化学污染”，事件B表示“该监测系统每日发生

警报”，由题意,可得P(A)=OA,P(B|A)=0.95,P(B|A)=0.05,所以P(4)=P(A)P("|A)十

P(A)P(B|A)=0.1X0.95+0.9X0.05=0.14.故选C.

I2—3—

4.(2026・安徽安庆模拟)已知事件4,8满足尸(4)=5，28)=?尸(4口8)=1,则P(A|B)=()

A-4Bt

-D，

J2u-6

答案：B

2—21———3

解析：由题意，得P(8)=?故尸(8)=1—1=?P(AU8)=P(4)+P(B)—P(48)=],又P(4)

1i]—3—531—113

=2»故]+§一2(48)=不解得248)=d一4=行，所以P(AB)=P(A)-P(A8)=]-y5=方，

故P(AB)=P(B)-P(AB)=^-^2=^由条件概率公式，得P(1|B)=；B)=2=屈故选

3

B.

5.某产品需要通过两类质量检验才能出货.已知该产品第一类检验单独通过率为/第二类

检验单独通过率为p(0v/Kl),规定：第一类检验不通过则不能进入第二类检验，每类检验未

通过可修复后再检验一次，修复后无需从头检验，通过率不变.已知每类检验最多两次，且

各类检验间相互独立，若该产品能出货的概率为/则〃=()

21

-B-

A.52

25

C--

3D.6

答案：C

解析：设事件4表示“第i次通过第一类检验”，事件8,表示“第i次通过第二类检脸”(i

____53133

=1,2),由题意，得P(4BiUA也B1UAB1B2UA也0&)=&,即力+不乂力+]乂(1一〃加

13524

---或

-X-手

4463

6.(2026・吉林长春模拟)某同学喜爱球类和游泳运动.在暑假期间，该同学上午去打球的概率

为去若该同学上午去打球，则下午一定去游泳：若上午不去打球，则下午去游泳的概率为3.

已知该同学在某天下午去游泳，则上午去打球的概率为()

2n3

A-3B4

答案：A

解析：设“上午去打球”为事件A,“下午去游泳”为事件B,易知P(A)=P(A8)=/PiB\A)

1——_i?11P(A8)

=不所以P(8)=尸(A8)+P(AB)=P(A)+P(A)aB|4)=8+?><w=》所以P(A|8)=「

2

=].故选A.

7.在一次考试中有一道四个选项的双选题，其中B和C是止确选项，A和D是错误选项,

甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在四个选项中随机选取两个选项•设事件”="甲、

乙两人所选选项恰有一个相同"，事件乂="甲、乙两人所选选项完全不同"，事件*="甲、

乙两人所选选项完全相同”，事件丫="甲、乙两人均未选择B选项”，则()

A.事件也与事件N相互独立B.事件X与事件丫相互独立

c.事件M与事件y相互独立D.事件N与事件丫相互独立

答案：c

解析：依题意知，甲、乙两人所选选项有如下情形：①有一个选项相同，②两个选项相同，

③两个选项不相同’所以尸(如=嚼=多?(M僚H,P(忻晶W尸⑴=皤=

公,因为事件M与事件N互斥，所以P(MN)=O,又P(M)P(N)g,所以事件M与事件N不

相互独立，故A错误；产(")=漠|=去"(/)尸(丫)=土，所以事件X与事件丫不相互狞立，

故B错误；p(My)=^=t=p(A/)p(y),则事件M与事件丫相互独立，故c正确；因为事

件N与事件y互斥，所以p(Nr)=o,又p(N)p(r)=古，所以事件N与事件y不相互狙立，

故D错误.故选c.

8.(2026・广东肇庆模拟)“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏,

要求游戏者站在定距离外，把筋投入壶中.甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如

果投一次，箭入壶中，原投掷人继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷.若甲、乙

两人投箭入壶成功的概率分别为今甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为()

A&BZ

八924

C8D72

答案：D

解析：第4次仍然由甲投掷分为四类：第一类，前三次均为甲中，概率Z为ZZ第o二

类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为打11打2(=为1第三类，第一次甲不

2230

中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为11方2泰1第四类，第一次甲不中，第二次乙不

中，第三次甲中，概率为:x£x；=!.所以第4次仍然由甲投掷的概率为5.故选

4J4VIOU，\J/4

D.

二、多项选择题

9.已知彳，豆分别为随机事件A,B的对立事件，W)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是()

A.P(B|A)+尸(石区)=1

B.P(B\A)-\~P(B\A)=\

C.若A,3独立，则P(硒=P(A)

D.若A,4互斥，则。(8A)=P(川4)

答案：ACD

5”...-尸(AB)+尸(4万)尸(A)立▼员…

解析：对于A,P(仇4)+代/3|4)=-----而元--------=〃(4)=1,故A正确；对于B,

设4,8独立，则户(8g)+P(阴彳)=2P(8),而P(8)显然不一定为*故B错误；对于C,A,

p(A4)

8独立，则尸(AB)=P(A)尸(8),则尸(*8)=ps、=P(A),故C正确；对于D,A,B互斥，

P(AB)=(),则根据条件概率公式得尸(8|A)=P(川8)=0,故D正确.故选ACD.

10.(2026・贵州遵义模拟)甲、乙两人在商场参与抽奖活动，已知6张奖券中有2张是中奖的，

首先由甲抽一张，不放回，然后由乙抽一张，则下列结论正确的是()

A.甲中奖的概率为tB.乙中奖的概率为g

24

C.甲、乙都中奖的概率为含D.甲不中奖乙中奖的概率为吉

答案：BD

9I

解析：设“甲中奖”为事件A,“乙中奖”为事件B,对于A,甲中奖的概率为05)=彳=热

1—?1—2——

故A错误；对于B,P(4)=§,P(4)=JP(B|A)=5，P(B|?U=5，P(B)=P(A)P(BH)+P(4)P[B|4)

11221111

=3X5+3X5=3,故B正确；对于C，尸(AB)=P(A)P(B|A)=?XM=Y^,故C错误；对于D,

———224

P(AB)=P(A)P(B\)=3X5=T5,故D正确.故选BD.

三、填空题

11.(2026♦福建泉州模拟)学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，承担本

次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的

概率为.

答案:I

解析：记“在选派的4人中至少有2名男老师”为事件4”在选派的4人中有2名女老师”

为事件8,则P(A)=幽芹丝=,,P(〃)=普=,，显然ZW)=尸⑻=|，所以P(B|A)=

3

P(AB)--

P(A)4-

12.已知甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛规则是3局2胜，即先赢2局者胜，且每局比赛

3

没有平局.甲每局获胜的概率为3则本次比赛甲获胜的概率为.

答案得

解析：本次比赛甲获胜有3种可能：①1,3甲胜，2乙胜；②2,3甲胜，1乙胜；③1,2甲

327

331333-

4-3?

胜.则本次比赛甲获胜的概率为),

13.有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮

件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记

为垃圾邮件的概率为2被标记为垃圾邮件的有光1的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有

击的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤(即垃圾邮件被标记为垃圾邮件)的概率

为

6

-

7

—7——

解析：记事件A=“正常邮件”，事件8="标记为正常邮件”，则P(8)=早产(月8)=由

_1_3...-9——

P(A|B)=元,所以尸(8)=1—P(3)=亍P(4|B)=1—RA|8)=而,故P(A)=P(B)PiA\B)

29

-X-

56

———312921",——P(«)P()10-

+P(8)P(A18)=5><H)+5X_|0=50,所以P(BIA)=--------z------127

-

*',PCA)

5(

14.有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共

10站，设棋子跳到第〃站的概率为匕，若一枚棋子开始在第I站，棋手每次投掷骰子一次,

棋子向前跳动一次.若骰子点数小于等于3,棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两诟，直

到棋子跳到第9站(失败)或者第10站(获胜)时，游戏结束.则P3=，该棋手获胜的

概率为.

宏案.-

4256

解析：由题意，P3=£+；X£=*因为P”=Sn-2+S”T(3W〃W8),故/―勺二=一；，由

2224LLrn-\~rn-2-

Pi-P\=-^所以PLPI=(一;)，〃22,累加可得R=1…一，

71-(-5)85

=­(」)=西所以~°=5网=市.

四、解答题

15.鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，

鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计，某超市一天鲜花饼卖出2箱的概率为*卖出1

箱的概率为看没有卖出的概率为奈，假设第一天该超市开始营业时货架上有3箱鲜花饼，为

了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出2

箱，则需补货至3箱，否则不补货.

(1)在第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有1箱鲜

花饼的概率；

(2)求第二天结束营业时货架上有1箱鲜花饼的概率.

解：设事件A表示“第二天开始营业时货架上有3箱鲜花饼”，事件8表示“第二天开始营

业时货架上有2箱鲜花饼”，事件。表示“第二天结束营业时货架上有1箱鲜花饼”.

(1)因为第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼，所以第二天只卖出1箱，

故尸(C1B)=/

(2)由题意，W)=H)+2=5,P(B)=gP(C0)=*

由全概率公式，得尸(C)=P(A)P(C|A)+P⑻P(ClB)=5xg+]xg=芸.

16.溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，

某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得I分，答错

得。分.在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为2东乙队每人回答问题的正确率分别

为|,且两队各人叵答问题正确与否相互之间没有影响.

(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1