第十五章 轴对称 单元练习-2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十五章轴对称

知识点1轴对称图形的识别

1.下列四个图案中，是轴对称图形的是（)

A

2.下列几何图形中，一定是轴对称图形的是（）

A.三角形B.直角三角形

C.正方形D.梯形

3.如图，画出正多边形（各边都相等、各个内角都相等的多边形）的所有劝称轴，并完成表

知识点2线段的垂直平分线

1.如图，在AABC中，DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,AACI）的周长为18cm,则AI）的

长是cm.

2.如图，在△/隹（：中，BC边的垂直平分线交AC边于点D,连接BD.若NADM=60°,NABD=2

0。，求NA的度数.

3.如图,AD是AABC的角平分线,DE_LAB于点E,DF1AC于点F,B

E=CF,求证:AD是BC的垂直平分线.

I)

4.如图,AD_LBC,BD=CD,点C在AE的垂直平分线上，若AB=5,BD=3,求BE的长.

5.（2026江西模拟）如图,在ZSABC中,MP和NQ分别垂直平分AB和AC.若△APQ的周长为1

2,BC的长为8,求PQ的长.

A

MAN

B

QP

知识点3互逆命题与互逆定理

1.下列命题中，其逆命题不成立的是()

A.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

B.全等三角形的对应角相等

C.等边三角形的三条边相等

D.两直线平行，同位角相等

2.(2026中山期中)把命题“同位角相等，两直线平行”改成“如果…那么…”的句式为—

,它的逆命题为.

3.请你写出一个逆命题为真命题的命题：____________________________________________

4.下列定理：①对顶角相等：②等腰三角形两底角相等；③两直线平行，同位角相等.其中

有逆定理的序号是.

知识点4轴对称图形与坐标

1.点P(-2,3)关于x轴对称的点的坐标是()

A.(2,3)B.(2,-3)

C.(-2,-3)D.(3,-2)

2.已知点A(a,5)与B(2,b)关于y轴对称，则a-b=.

3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的

三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为(-4,5),(-1,3).

(D请在如图所示的网格平面内作出平面宜角坐标系；

(2)请作出△ABC关于y轴对称的AA'B'C';

(3)点B'的坐标为;

4.如图，已知A(0,4),B(-2,2),C(3,0).

(1)作AABC关于x轴衣称的△A】B£i；

⑵写出点Aj,B”J的坐标:

A】(),B1(),C]()；

⑶△AMg的面积

SAAB1C1=..

知识点5等腰三角形的性质

1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm,2cm,则该等腰三角形的周长是.

2.等腰三角形的一个内角为70。，则另外两个内角的度数为

3.如图，在等腰△ABC中，NBAC=120°,DE是AC的垂直平分线,DE=1cm,求BD的长.

4.如图，在△ABC中，AB二AC,NBAD=30°,AD=AE,求/EDC的度数.

4.如图，已知A(0,4),B(-2,2),C(3,0).

(D^AABC关于x轴对称的

⑵写出点ALBhCi的坐标：

A4),B式),C式):

(3)ZkAi_B£i的面积SM：81cl=--

y

知识点5等腰三角形的性质

1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm,2cm,则该等腰三角形的周长是

2.等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数为.

3.如图，在等腰4ABC中，NBAC=120°,DE是AC的垂直平分线,DE=1cm,求BD的长.

4.如图，在ZkABC中，AB=AC,ZBAD=30°,AD=AE,求NEDC的度数.

4.（2026自贡月考）如图,在Z\ABC中，BD,CD分别平分NABC,ZACB,

过D作直线平行于BC,交AB,AC于E,F,求证:EF=BE+CF.

5.如图，在4ABC中，D是BC边上的点,E在边AC上,已知BD=CE,ZBAD=ZCDE,ZADE=ZC.

求证：4ADE是等腰三侑形.

知识点7等边三角形的性质

1.如图，在等边4ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点，且CE=CD,DM_LBC,垂足

为M,求证:M是BE的中点.

2.如图,在等边4ABC中,D为BC边的中点，过点D作DE±AB,DF1AC,垂足分别为E,F.

(1)求证:DE=DF;

(2)若BE=5,求AABC的周长.

BD

3.如图，在等边4ABC中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线上，若Bl)=ED,CD=C

E,求证:D为AC的中点.

知识点8等边三角形的判定

1.如图,AC与BD相交于点0,若OA=OB,NA=60°,且AB〃CD,求证:△0CD是等边三角形.

2.如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分NDAE,AE_LBE,垂足为E.

⑴求证:AD=AE;

⑵若BE〃AC,试判断AABC的形状,并说明理由.

DC

3.（2026江门月考）如图，已知点I）是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，ZEBC=Z

DAC,CE〃AB.求证：ZXCDE是等边三角形.

D

2.如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分NDAE,AE_LBE,垂足为E.

(1)求证:AD=AE;

⑵若BE〃AC,试判断△ABC的形状，并说明理由.

3.（2026江门月考）如图,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,ZEBC=Z

DAC,CE〃AB.求证：ZXCDE是等边三角形.

BCD

知识点1030°角所对直角边等于斜边的一半

1.如图,在AABC中，ZB=30°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D,若DE=3,则CE的

长为

2.如图,在RtAABC中，ZA=300

3.如图，在4ABC中,AB=AC,ZC=30°,AB±AD,AD=4cm,求BC的长.

4.如图，在aABC中，NC=90°,NB=15°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,若B

D=20cm,求AC的长.

第十五章轴对称

知识点1轴对称图形的识别

1.D2.C3.图略34567n

知识点2线段的垂直平分线

1.5

2.解:,:ZADM=60°,/.ZCDN=60°,又〈MN垂直平分BC,

・・・NDEC=90°,1)B=DC,

VZC=ZDBC=90°-60°=30°,

VZABD=20°,AZABC=ZABD+ZDBC=50°,VZA=1800-ZC-ZABC=100°.

3.证明：VAD是4ABC的角平分线，DE±AB,DF±AC,DE=DF,NBED=ZCFD=9

0°.

DE=DF,

在RtABED和RtACFD中｛ZBED=ZCFD,

BE=CF,

Rt△BED=Rt^CFD^SAS),

:.NB=NC,，AB=AC.

：AD是aABC的角平分线，，AD是BC的垂直平分线.

4解：TAD_LBC,BD=CD,AAD垂直平分BC,

.\AB=AC,

•・•点C在AE的垂直平分线上，••・AC=CE,

AB=AC=CE=5,

:BD=CD=3,

•••BE=8D+CD+CE=3+3+5=11.

5.解：•••△APQ的周长为12,

/.AQ+PQ+AP=12,

VMP和NQ分别垂直平分AB和AC,

・・・AP=PB,AQ=CQ,

，CQ+PQ+PB=12,

即CQ+BQ+2PQ=12,

，BC+2PQ=12,

VBC=8,APQ=2.

知识点3互逆命题与互逆定理

1.B

2.如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行

两直线平行，同位角相等

3.两直线平行，内错角相等（答案不唯一）

4.②③

知识点4轴对称图形与坐标

1.C2.-7

3.解：（1）如图.（2）如图.

⑶(2,1)

(4)S08c=3x4-1x2x3-|xlx2-1x2x4=12-37-4=4.

4.(1)图略.(2)0,-4-2,-23,0(3)7知识点5等腰三角形的性质

1.12cm

2.55°,55°或70。，40°

3.解：3在等腰AABC中，ZBAC=120°,

:.="C=：x(180°-120°)=30°.

如图，连接Al),「DE是AC的垂直平分线，

.\AD=CD,.\ZC=ZCAI)=30°,

AZBAD=ZBAC-ZCAD=12O°-30°=90°.

VDE=lcm,DE±AC,

.*.CD=2DE=2cm,.\AD=CD=2cm.

在RtAABI)中，B【)=2AD=2X2=4(cm).

4.解：设NEl)C=x,ZB=ZC=y,ZAED=ZEI)C+ZC=x+y.

VAD=AE,.*.ZAI)l'=ZAED=x+y,

:.ZADC=ZADE+ZEDC=2x+y.

VZADC=ZB+ZBAD,.\2x+y=y+30°，解得x=15°,/.ZEDC的度数是1

50.

5.解：(1)・；DE垂直平分AC,

，AE二CE,，NECD=NA=36°.

(2)VAB=AC,ZA=36°,.,.ZB=ZACB=72<>.

VZBEC=ZA+ZACE=72O,AZB=ZBEC,ABC=CE=5.

知识点6等腰三角形的判定

1.82.3

3.证明:VBD,CE是锐角AABC的两条高，

AZBEC=ZCDB=90°,

ZBEO=ZCDO

在aBOE和aCOD中，｛ZBOE=ZCOD,

OB=OC

:.△BOE^ACOD(AAS),AZ0BE=Z0CD,

VOB=OC,AZOBC=ZOCB,

・•・ZABC=ZACB,

「•△ABC是等腰二角形.

4.证明:如图，:在AABC中，BD,CD分别平分NABC,ZACB,

/.Z1=Z2,Z5=Z6.

•・・EF〃BC,・・・N2=N3,Z4=Z6,

AZ1=Z3,Z4=Z5,

8

・・・BE=ED,DF=CF,

.,.EF=ED+DF=BE+CF.C

5.证明：由题意可得NADB=180°-ZADE-ZCDE,

ZDEC=1800-ZCDE-ZC,

又NADE=NC,，NADB:/DEC,

ZBAD=NCDE

在AADB和4DEC中，=/DEC,

BD=CE

.-.△Al)B^AI)EC(AAS),

/.AD=DE,.,.AADE是等腰三角形.

知识点7等边三角形的性质

L证明:如图，连接BD.

•・•在等边aABC中,D是AC的中点，

.%/DBC=-^ABC=-x600=30°,ZACB=60".

22

VCE=CD,AZCDE=ZE.

VZACB=ZCDE+ZE,/.ZE=30°,/.ZDBC=ZE=30<>,

・・・BD=ED,••.△BDE是等腰三角形.

又•••DM_LBC,・・・M是BE的中点.

2.⑴证明：・・,I)EJLAB,DF1AC,JNBED二NCFD=90°.

•・•在等边4ABC中，AB=AC,・•・ZB-ZC.

■D是BC的中点，・•・BD=CD.

NBED=NCFD,

在4BED和4CFD中｛/B=NC,

BD=CD,

.,.△BED^ACFD(AAS),ADE=DF.

(2)解：•••△ABC为等边三角形，・・・NB=60°.

•••/BED=90。,，/BDE=30。,，BE=三BD.

VBB=5,ABD=IO,ABC=2BI)=20,

・•・△ABC的周长为60.

3.证明:VAABC是等边三角形，・•・ZACB=ZABC=60°,

VCD=CE,AZCED=ZCDE,

VZACB=ZCED+ZCDE,

，^CED=ZCDE=^ACB=^^=^f

VBD=ED,.\ZCBD=ZCED=30o,

VZABD=ZABC-ZCBD=60°-30°=30°,

・•・NABD=NCBD,・・・BD是AABC的角平分线，

「△ABC是等边三角形，・・・BD是4ABC的AC边上的中缘.'D为AC的中点.

知识点8等边三角形的判定

1.证明：VOA=OB,/.ZA=ZB=60°.

又・.,AB〃DC,,・・NA=NC=60°,ZB=ZD=60°,.\ZC0D=60°,/.AOCD是等边三角形.

2.⑴证明：如图，・・・AB=AC，点I)是BC的中点,

AAD1BC,ANADB=90’.

VAE±BE,AZE=90°=ZADB.

•，AB平分NDAE,・・・N1=N2,

ZADB=NE,

在△ADB和AAEB中，｛N1=22,

AB=AB,

：,AADB^AAEB(AAS),,\AD=AE.

(2)解:ZXABC是等边三角形.

理由：如图，

VBE^AC,AZEAC=90°.

VAB=AC,点D是BC的中

..Zl=Z2=Z3=30°,K/\

BDC

.-.ZBAC=Z1+Z3=6O°,

•••△ABC是等边三角形.

3.证明：•••/ABE+NCBE=60°,ZCAD+ZADC=60°,ZEBC=ZDAC,/.ZABE=ZADC.

又CE〃AB,J/BEO/ABE,・・・/BEO/ADC.

又BC=AC,ZEBC=ZDAC,AABCE^AACDGUS),

・・・CE=CD,ZBCE=ZACD,即NECD=NACB=60°,

/.△CDE是等边三角形.

知识点9等腰三角