高中数学人教A版（浙江） 第2课时 排列的综合应用

第2课时排列的综合应用

目标定位1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应

用排列数公式解决简单的实际问题.

自主预习

1.排列数公式

A仁心一1)(〃-2)…(八一,〃+1)(〃,播N*,D=(〃；〃)「

A2=〃(〃-1)(〃-2)…2/=〃！(叫做〃的阶乘).另外,我们规定0!=1.

2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：

即时自测

1.思考题

(1)如何选取排列数公式使计算更简便？

提示①排列数的第一个公式A7=〃(〃一1)(〃-2)…(〃一加+1)(","20N",

适用于具体计算以及解当〃?较小时的含有排列数的方程和不等式；在运用该公

式时要注意它的特点是：从〃起连续写出〃，个自然数的乘积即可.

VII

②排列数的第二个公式A7=(〃_巾)！适用于与排列数有关的证明、解方程、

解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式再计算，同时还要注意度含

条件“mW〃且〃，m£N*”的运用.

⑵有限制条件的排列问题的解题思路有哪些？

提示所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求.解决此类问

题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接

法又有分步法和分类法两种.

(1)直接法

①分步法

按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解决，特别地:

(i)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元

素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分步法称为“捆绑法”，即“相邻

元素捆绑法”.

（ii）当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素

插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”.

②分类法

直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法.

特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”，即〃个不同元素参加排

列，其中〃?个元素的顺序是确定的，这类问题的解法采用分类法：〃个不同元素

的全排列有A；；种排法，〃，个元素的排列有A；；；种排法，因此种排法中关于〃？

个元素的不同分法有A2；类，而且每一分类的排法数是一样的，当这，〃个元素顺

序确定时，共有恶种排法.

（2）间接法

符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差.故求符合条件的种数时，可

先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”.

2.用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有（）

A.30个B.36个C.40个D.60个

解析分2步完成：个位必为奇数，有A!种选法；从余下的4个数中任选2个

排在三位数的百位、十位上，有A3种选法.由分步乘法计数原理，共有A4XA3=

36（个）无重复数字的三位奇数.

答案B

3.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为（）

A.720B.144C.576D.684

解析（间接法）甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A4XA§；不考虑任何限制，

6人的全排列有AR.

・••符合题意的排法种数为A2—AaXAW=576.

答案C

4.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如

果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_______.

解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1

和2,2和3,3和4,4和5,四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4XA才

=96种.

答案96

类型一数字排列的问题

【例1】用0,1,2,3,4,5这六个数字

（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？

（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？

（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？

（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？

（5）可以组成多少个大于3000,小于5421的不重复的四位数？

解（1）分三步：

①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；

②十位数字有5种选法：

③个位数字有4种选法.

由分步乘法计数原理知所求三位数共有5X5X4=100（个）.

⑵分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6

种选法.

故所求三位数共有5X6X6=180（个）.

⑶分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③

选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3义4X4=48（个）.

（4）分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5X5=25（个）；③三位数共有

5X5X4=100（个）.因此,比1000小的自然数共有6+25+100=131（个）.

（5）分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2X5X4X3=120（个）；②千位数字

为5,百位数字为0,1,2,3之一时，共有4X4X3=48（个）；③千位数字为5,

百位数字为4,1位数字为0,1之时，共有2X3=6（个）；④还有5420也是

满足条件的1个.故所求四位数共120+48+6+1=175（个）.

规律方法排列问题的本质是“元素”占“位子,'问题，有限制条件的排列问题

的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素.

解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位

子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论.

【训练1】用0,1,2,…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重

复数字的数：

(1)五位奇数；

⑵大于30000的五位偶数.

解(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法;

取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定

后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有

A?种不同的排列方法.因此由分步乘法计数原理共有5X8XAg=13440个没有重

复数字的五位奇数.

(2)要得偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要得比30000大的五位偶数,

可分两类：

①末位数字从0,2中选取.则首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一个，共有

7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选

取，共A赫中取法.所以共有2X7XA?种不同情况.

②末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3,4,5,6,7,8,9中除去末位数

字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A3种选法，所以共有3X6XA2种不同

情况.

由分类加法计数原理，比3()000大的无重复数字的五位偶数共有2X7XN+

3X6XA&=10752(个).

类型二排队问题(互动探究)

【例2】3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法

种数：

(1)选5名同学排成一行；

(2)全体站成排，其中甲只能在中间或两端；

(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；

(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；

(5)全体站成一排，男、女各站在一起；

(6)全体站成一排，男生必须排在一起；

(7)全体站成一排，男生不能排在一起；

(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；

(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；

(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；

(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；

(12)排成前后两排，前排3人，后排4人.

［思路探究］

探究点一含有“在”与“不在”约束条件排列问题的求解原则和常用方法是什

么？

提示解决这类排列问题的原则主要是按“优先”原则，即按优先排特殊元素或

优先满足特殊位子的分步计数，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素

个数时，应分类讨论.

常用方法：①直接法：直接根据约束条件分步或分类计数：②间接法：问题妁F

面分的情况较多，或计算较复杂，而反面情况数较少或计算简单时选用间接法.

探究点二对于“相邻”与“不相邻”问题，常用的处理方法是什么？

提示相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法.

探究点三对于“定序”问题，常用的处理方法是什么？

提示对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决，即用不限制的排列数除以顺序

一定元素的全排列数.

解(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有N

=A；=7X6X5X4X3=2520(种).

(2)(直接分步法)先考虑甲有AJ种方案，再考虑其余6人全排Ag,

WN=g除=2160(种).

(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A芬巾方案，再安排其余5人全排M，

4kiV=A2-Ab=240(种).

(4)法一(直接分类法)

按甲是否在最右端分两类：

第一类：甲在最右端有M=A8种)；

第二类：甲不在最右端时，甲有A!个位置可选，而乙也有Ag个位置，而其余全

排Ag,M=A!A!AI

故N=NI+N2=AE+ALMA?=3720（种）.

法二（间接法）

无限制条件的排列数共有A3,而甲或乙在左端（右端）的排法有A2,且甲在左端

且乙在右端的排法有Ag,

故N=A彳-2Ag+A?=3720（种）.

法三（直接分步法）

按最左端优先安排分步

对于左端除甲外有AA种排法，

余下六个位置全排有A2,但减去乙在最右端的排法A!Ag种，

故N=AU8—AgAg=3720（种）.

⑸相邻问题（捆绑法）

男生必须站在一起，是男生的全排列，有Ag种排法，

女生必须站在一起，是女生的全排列，有A才种排法，全体男生、女生各视为一

个元素,有A芬中排法，由分步乘法计数原理知,共有AJA?・A解法8（种）.

（6）（捆绑法）即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故％=

A。・Ag=720（种）.

（7）即不相邻问题（插空法）：先排女生共A：l种排法，男生在4个女生隔成的5个

空中安排有AS种排法，

故N=&•Ag=l440（种）.

⑻对比⑺让女生插空：N=A《・Ai=144（种）.

（9）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故"=

（A?•A办Ai|=960（种）.

（10）甲与乙之间的左右关系各占一半，

A?

故N=Xp2520（种）.

（11）甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的二,

A3

AZ

**•'=南=840（种）.

（12）直接分步完成共有A»AX=5040（种）.

规律方法排队问题的解题策略

排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题.

(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排

列.

(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的

元素插入空中.

(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定

元素的全排列数.

【训练2］分别求出符合下列要求的不同排法的种数：

(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；

(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；

(3)6人排成一排，甲、乙不相邻.

解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为麋=720.

(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有AJ种选法，然后其他5人排,

有A?种排法，故排法种数为A，A?=480.

(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已

排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有人以3=480(种)排法.

类型三排列的综合应用

【例3】从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个

不同的一元二次方程aF+法+c=0?其中有实根的方程有多少个？

解先考虑组成一元二次方程的问题.

首先确定“，只能从1，3,5,7中选一个，有A1种，然后从余下的4个数中任

选两个作4c,有A1种.

由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程

A1-A3=48(个)方程要有实根，必须满足力=尻-4m》0.

分类讨论如下：

当。=0时，a,〃可以从1,3,5,7中任取两个，有AZ种；

当cNO时，分析判别式知〃只能取5,7中的一个.

当〃取5时，a,c只能取1,3这两个数，有A3种；

当人取7时，a,c可取1,3或1,5这两组数，有2A3种.

此时共有（A3+2A3）个.

由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有：

AS+A升2A3=18（个）.

规律方法该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中。70需要考

虑到，而对有实根的一元二次方程需有120.这里有两层意思：一是Q不能为（）;

二是要保证/一4碇20,所以需先对c能否取0进行分类讨论.实际问题中，既

要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分

类、分步，选择合适的解法.

【训练3】从集合｛1,2,3,…，20｝中任选出3个不同的数，使这3个数成等

差数列，这样的等差数列可以有多少个？

解设mb,c£N*,且小b,。成等差数列，则〃+c=2b,即〃+c应是偶数.

因此从1到20这20个数字中任选出二个数成等差数列，则第一个数与第二个数

必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数.当

第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定.因此，选法只有两类.

⑴第一、三个数都是偶数，有A%种;

⑵第一、三个数都是奇数，有A布种.

于是，选出3个数成等差数列的个数为A%+Afo=18O（j）.

［课堂小结］

L对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置.

2.对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法.

1.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）

A.AeqAgB.AeqA?oC.AeqA?D.AeqAg

解析运用插空法，8名学生间共有9个空隙（加上边上空隙），先把老师排在9

个空隙中，有A3种排法，再把8名学生排列，有At种排法，共有种排法.

答案A

2.把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，

不同的排法种数是（）

A.AeqB.AeqAiC.AeqAzA5D.以上都不对

答案C

3.将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的

小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有种不同的

放法.

解析・・•红口袋不能装入红球，，红球只能放在黄、蓝、白、黑4种颜色的口袋

中，，红球有AJ种放法，其余的四个球在四个位置全排列有Aj种放法，由分步

乘法计数原理得到共有A!•A0=96(种).

答案96

4.用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？

⑴偶数不相邻；

(2)偶数一定在奇数位上；

(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；

(4)二个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.

解⑴用插空法，共有A1M=1440个.

⑵先把偶数排在奇数位上有Aj种排法，再排奇数有A才种排法，所以共有A也才=

576个.

(3)在1和2之间放一个奇数有A4种方法，把1,2和相应的奇数看成整体和其他

4个数进行排列有Ag种排法，所以共有A认3=720个.

(4)七个数的全排列为A%三个偶数的全排列为At所以满足要求的七位数有枭

=840个.

基础过关

1.6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方

法总数为()

A.AeqB.AeqC.AeqD.Aeq

解析3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽主看成4个不同元素的全排列，

故有A才种停放方法.

答案D

2.某省有关部门从6人中选4人分别到A,B,C,。四个地区调研十二五规划的

开局形势，要求每个地区只有1人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人

不去A地区，则不同的安排方案有()

A.300种B.240种C.144种D.96种

解析A地区有AL种方法，其余地区有Ag种方法，共有A1Ag=240（种）.

答案B

3.世界华商大会的某分会场有A,B,。三个展台，将甲，乙，丙，丁共4名“双

语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1A,其中甲、乙两人被分配到同

一展台的不同分法的种数有（）

A.12种B.10种C.8种D.6种

解析分两步完成，笫一步，安排甲、乙两人有A!种方法；第二步，安排丙、

丁两人有A芬中方法，不同的分法种数共有Al-A3=6（种）.

答案D

4.从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数人工）=加+法+。中的参数

a,h,c,可组成不同的二次函数共有个.

解析若得到二次函数，贝卜岸0,。有A1种选择，故二次函数有A，A+=3X3X2

=18（个）.

答案18

5.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至

少有1名女生，则选派方案共有种.

解析没有女生的选法有M种，一共有2种选法，则至少有1名女生的选派方

案共有Ag-Ad=186（种）.

答案186

6.（1）某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可

以任意挂1面、2面或3面1并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多

少种不同的信号？

（2）将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别

有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？

解（1）分3类：第一类用1面旗表示的信号有A|种；

第二类用2面旗表示的信号有A彳种；

第三类用3面旗表示的信号有A环巾.

由分类加法计数原理，所求的信号种数是

A，+Ag+Aj=3+3X2+3><2X1=15,

即一共可以表示15种不同的信号.

（2）由分步乘法计数原理，分配方案种数共有

N=Ai・Al=576.

即共有576种不同的分配方案.

7.某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第

一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？

解不考虑任何条件限制共有A8种排法，其中包括不符合条件的有：

⑴数学排在最后一节，有Ag种；

（2）体育排在第一节,有Ag种.

但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况有Ai种（即

重复），

故共有Ag-2AF+Ai=504种.

8.7名班委中有4B,C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体

分工.

（1）若正、副班长两职只能从A,B,。三人中选两人担任，有多少种分工方案？

（2）若正、副班长两职至少要选A,B,C三人中的一人担任，有多少种分工方案？

解（1）先排正、副班长有用种方法，再安排其余职务有N种方法，依分步乘法

计数原理，知共有A«A?=720（种）分工方案.

（2）7人中任意分工方案有A彳种，A,B,。三人中无一人任正、副班长的分工方

案有A以哥礼因此A,B,。三人中至少有一人任正、副班长的方案有AZ-AZA?

=3600（种）.

能力提升

9.五名男生与两名女生排成排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须

相邻，符合条件的排法共有（）

A.48种B.192种C.240种D.288种

解析（间接法）将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有AW种排法，而女

生可互换位置，所以共有A§XA3种排法，男生甲插入中间位置，只有一种指法；

而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A乡XA*种），这时男生甲若插入

中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为AgXAS-AMXA3=192.

答案B

10.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数

共有（）

A.60个B.48个C.36个D.24个

解析由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有2A|=

48,大于50000的偶数共有2A§=12,所以小于50000的偶数共有48—12=

36（个）.

答案C

11.5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有

种排法（用数字作答）.

解析先让5名大人全排列有Ag种排法，两个小孩再依条件插空有A；种方法，

故共有A?Ai=l440（种）排法.

答案1440

12.将4,B,C,D,E,产六个字母排成一排，且