可化为一元一次方程的分式方程 提升练习-2026-2027学年湘教版八年级数学下册

2.5可化为一元一次方程的分式方程

课时1分式方程及其解法

刷基础

知识点1分式方程的概念

1有下列方程：口2什二=10;口入/=2;口白-3=0;□牛+?=1.属于分式方程的有()

JXZA十I3L

A.①②B.②③C.③④D.②④

知识点2解分式方程

2解分式方程卷-2=廿时，去分母正确的是()

x-22-x

A.x-2=x-lB.x-2(x-2)=x-l

C.x-2(x-2)=-x-lD.x-2(x-2)=-x+l

3对于非零实数m,n，规定〃〃尸三+吃,若小+2用x=l.则x的值为_______.

m+1w-1

4解下列方程：

⑴W一言⑵言+含-

知识点3根据分式方程无解求字母的值

5若关于x的方程空?=3无解，则m的值为_______

.r-l-------

知识点4根据分式方程解的情况求字母的值

6已知关于x的分式方程等=1的解是非负数，则m的取值范围是()

A.m>3且m^6B.m<3

C.m>-3且m,3D.m<-3且n#-6

7若关于x的分式方程号+；=2的解是正整数,则所有符合条件的整数a的和为,

刷易

易错点①去分母时，常数项漏乘最简公分母而出错;②解分式方程忘iB检验

8小丽解分式方程1・三=之时，出现了错误，她的解题过程如下：

2x+2x+1

解去分母得l-(x-3)=6x……第一步

解得.……第二步

所以原分式方程的解是-一……第三步

(1)小丽的解答过程从第步开始出错，这一步应为这一步的依据是______

(2)小丽解答过程缺少的步骤是

(3)请写出正确的解题过程.

刷提升

1对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号min［a,b］表示a,b中较小的值,如min［2,4］=2.按照这个规定，方程

min卜-：］=2仪＞0)的解为()

A.-1或2B.2C.-lD.无解

Sx-a-

2若关于x的不等式组｛丁一五＜3的解集为x＜l,且关于y的分式方程耳-1=三的解为正整数，则符合条件

30+1门

的所有整数a的和为

3使分式方程最简公分母为0的未知数的值不是分式方程的解，我们称它是该分式方程的增根.已知关于x

的分式方程3+mx_1

(.r-1)(x+2)x*2

⑴若方程的增根为X=1,求m的值；

⑵若方程有增根，求m的值;

⑶若方程无解，求m的值.

4［较难］观察下列方程以及解的特征：

Lx+，=2+；的解为X|=2^2=1；

Lx+：=3+；的解为x|=342=；；

匚计：=4+扣勺解为XI=4/2=：；

(1潴想关于x的方程#=〃吟的解,并利用“方程解的概念进行验证；

(2利用⑴的结论解分式方程：吁+5空；"+±=(.

刷素养

5新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式月程？+1=。的酢是尸^成立，那么我们就把实数a,b组成

xa+b

的数对a,b］称为关于x的分式方程。1=/)的一个“关联数对二例如：a=2,b=-5使得关于x的分式方程三+1=-5的解

XX

是产3与=4成立，所以数对［2,-5］是关于x的分式方程.1=/，的一个，关联数对工

(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程：+1=〃的“关联数对？若是，请在括号内画若不是，画“x”.

①［-31().②［3,4］().

③口」］().

(2)若数对|厅_3，-〃口是关于*的分式方程为］"的，，关联数对，求n的值

(3)若数对[m-k,k](m齐1且n#O,k*堤关于x的分式方程，1=人的“关联数对”且关于x的方程h-〃?+1=三3有

整数解，求整数m的值.

课时2分式方程与实际问题

刷基础

知识点1路程问题

1某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米.师生乘大巴车前往，某老师因有事情,

推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的L2倍前往，结果同时到达.设大巴车的平均速度为x千米，时,则可

列方程为

50,150

2如图快递员甲和乙同时从配送点A和D出发分别沿不同路线前往仓库C.甲从A经过中转站B再到C,

乙从D直接前往C,且乙的速度与甲从B到C的速度相同.两人在各路段均保持匀速行驶，各点间距如图所示.若

甲从A到B的速度比从B到C的速度慢10m/min,且从A到B的时间为从B到C时间的一半，则

_(填'甲或Z"洗到达仓库C.

1)

知识点2工程问题知识点3销售问题(

3DccpScck公司使用通用模型V3新素材与推理模型R1协作完成一项数据分析任务，V3单独完成需要的时

间比RI多2小时，若两模型协作，共需要6小时.设R1单独处理数据需要x小时，则正确反映协作效率的方程是

()

B.x+(x+2)=6

4为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在改造一段长3600米的街道地

下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%,按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务求实际施工时，

每天改造管网的长度.

知识点3销售问题

52024年11月中华人民共和国首届青少年三大球运动会在长沙举行.某校为响应国家政策，在课后延时服务

中开设了多个社团，其中排球社团需要添置一些排球，第一次购买排球花费了3000元，因报名学生较多排球不

够，第二次又花费了3000元购买排球，但单价比上次上涨了25%,结果第二次购买的排球比第一次少15个.

⑴求两次购买的排球单价分别是多少；

(2求该社团前后两次一共购买的排球数量.

刷提升

1一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是JII页水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8k

m/h,平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1,某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了

9h.则甲、乙两港之间的距离为()

A.竽痴B.15kmC.ykmD.20km

2甲、乙、丙三名工人共同承担生产一批零件的任务.已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下：

甲说：我的工作效率比乙的工作效率少看

乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等；

丙说：我工作效率不高,我的工作效率是乙的工作效率的；

丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率.我知道工程问题中三者关系是工作效率x工作时间:

工作总量.

如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的顺序轮流工作至完成所有任务，共需小时.

3下面是小亮学习了,,分式方程的应用”后所写的课堂学习笔记,请认真阅读并完成相应的任务.

某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多

题目20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同.求甲、乙两

种商品期牛的进价各是多少元

解题过程分析问题列出方程

设……

解法一等量关系：购进甲种商品数量;购进乙种商品20001200

x.V-20

数量

设……

20001200”

解法二——-——=20

XX

等量关系：甲种商品进价-乙种商品进价=2()

任务：

(1底艮据题中解法可求出甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为________元/件.

⑵商店计划用不超过I440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件?

刷素养

4某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，匀速向上运行.甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲

每分钟走的台阶数是乙的2倍.已知甲走了24级台阶到扶梯顶部，乙走了16级台阶到扶梯顶部(甲、乙两同学每次

只跨1级台阶).

(I扶梯露在外面的部分有多少级台阶？

(2)如果与扶梯并排有一楼梯，台阶数与扶梯露在外面的级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到

楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次与乙相遇时是在扶梯上还是在楼梯上?他已经

走动的台阶级数是多少级？

2.5可化为一元一次方程的分式方程

课时1分式方程及其解法

刷基础

1.B【解析】②③中的分母含有未知数，属于分式方程.

2.D【解析】分式方程白-2=三方程两边同乘x2得x-2(x-2)=x+L故选D.

3T【解析】因为〃〃尸W+卷目(3x+2mx=l,所以总+卷=1.解得=经检验：尸」是原方程的解,

5m+I〃-13x+2+1.V-Ix5、

所以X的值为一"故答案为

4.【解】⑴方程两边同乘最简公分母(x+l)(x-l)^((XT)2-3=G+1)OT).去括号，得--2¥+1-3=、2-1.移项，

得匕-/=-1-1+3.合并同类项得-2x=l.解得--会检验：当尸-弼.(x+l)(x-l)翔，所以尸V是原方程的解

(2)方程两边同乘最简公分母x(x+l)(x-l)狷2(x+l)+3(x-l)=x.去括号得2x+2+3x-3=x.解得尸抽验：当产如寸,x

(x+l)(xJ)邦，所以尸:是原方程的解.

5.1或3【解析】方程两边同乘x-L得mx-l=3x-3,所以(m-3)x=-2.当m-3=0,即m=3时，原方程无解，符合题意.

当m-3R时，x=三,因为方程无解斯以x-l=O,所以x=l,所以m-3=-2,所以m=l.综上，当m=l或3时，原方程无解.

m-3

6.A【解析】方程两边同乘x-3,得2x-m=x3移项及合并同类项得x=m-3.因为分式方程3=1的解

x-3x-3

是非负数，且x-3加，所以｛二者*解得m>3且m%故选A.

7.12【解析】台+白=2去分母得ax-8=2(x-l)移项、合并同类项得(a-2)x=6,系数化为1,得尸白.因为分式

x-\1-Xa-2

方程三+白=2的解是正整数且x-lM,所以a-2=l或2或3或6且二乩，所以a=3或4或5,所以符合条件的所有

x-11-xa-2

整数a的和为3+4+5=12,故答案为12.

刷易错

8.【解】(1)小丽的解答过程从第一步开始出错，这一步应为2x+2-(x-3)=6x,这一步的依据是等式的性质.故答案

为一,2x+2-(x-3)=6x,等式的唾.

(2)/」\丽解答过程缺少的步骤是检脸，故答案为检验.

(3)1一痣==，去分母得2x+2-(x-3)=6x，解得x=l,经检验，x=l是原方程的解，所以原分式方程的解是x=1.

刷提升

1.D【解析】因为x>(),所1以:>4,所以min卜-卜一小阳所以一卜2，解得x=J.经检验，x=-l是方程的

根.因为x>0,所以x=-l不符合题意，故原方程无解.故选D.

5.v-&«o+9

2.-15【解析】解不等式组｛丁一'<3,得广<1■，因为不等式组的解集为xvl,所以解得哙-7.解关于

3<J2X+1,x<\.

y的分式方程詈-1=符「得尸券.因为分式方程的解为正整数，所以爸>0且券，L所以且存-1,所以

且aM,所以满足条件的所有整数a的值为-7,-5,-3,所以符合条件的所有整数a的和为-7-5-3=-6

3.【解】方程两边同乘(x+2)(x-1)得2(x+2)+mx=x-l.整理得(m+l)x=-5.

⑴因为x=l是分式方程的增根,所以l+m=5.解得m=6.

⑵因为原分式方程有增根，所以：x+2)(x-l)=0,所以x=-2或x=l当x=-2时当x=l时,m=6.故m的值为I.

5或-6.

(3)当m+l=0时、该方程无解.此时m=l;当m+1'O时,要使原方程无解，由⑵得m=-6或m=1.5.综上.m的值为-

1或-6或1.5.

4.【解】⑴关于x的方程/1=川+上的解为修=机出=，.验证:当x=m时左边=m+上=右边,所以：x=m是该分

xmmm

式方程的解；当入=’时,左边=右边,所以x==-+]-=-+m=’是该分式方程的解.

mm-intn

m

(2)®因为，+；邛=8+巳所以了3=8或产;，所以y=2或y=\.

V'ooo/

②令4x-8=t,则尸等，所以原方程变形为"2+：=少产,所以,所以;+,BP-白。+'则或

44t2a4t2a1ia1ta2

所以t=2a或z=2,即4x-8=2a或4x-8=2,解得x=《或x=2+；

2aaa22a

刷素养

5.【解】(1)当a=l,b=-l时，分式方程为一+l=T,解得下;•因为七=-"所以①[-E]不是关于x的分式

方程-1=6的“关联数对1当a=3,b=4时,分式方程为3=4,解得.x=l.因为，所以②[3,4]不是关于x的

xx3+47

分式方程;+l=b的“关联数对''.当a=l,b=l时，分式方程为此方程无解，所以③［1,1］不是关于x的分式方

程/1=/)的“关联数对二故答案为x,x,x.

(2)因为数对［〃2_3，-〃2］是关于*的分式方程71=/)的“关联数对”，所以?+1=-成解得-需，所以』=

怒，所以〃=±内

⑶因为数对［〃T，研且〃汹后1)是关于x的分式方程,1=/)的“关联数对''所以曰+1=%产=7」,所

xxmf"m

以m(m-k)+l=k,解得Ar=上;因为关于x的方程丘-/〃+1=弁工可化为k(m+l)x-m(m+l)+(m+l)=-2mx,所以(/?/+1)2

x=(〃?+l)(m-l),解得尸胃=竺异=1-2T.因为方程有整数解，且m为整数，所以整数m+l=±l,±2,即m=0,-2,l「3.又

WJ+Im+1〃i+l

因为m丈0,修1,所以m+\沏a+1,所以m=-2或-3.

课时2分式方程与实际问题

刷基础

1.A【解析】由题意可列方程为空=得+；

x\.2x6

2用【解析】设甲从A到B的速度为xin/min厕从B到C的速度为((x+10)川min根据题意得理=等

X-V+1U

解得.x=50.经检验，x:x=50是原方程的解，所以：x+I0=50+10=60.所以甲从A到C所用的时间为蜉+警=2+4=6

25060

(min),乙从D至！JC所用的时间为等=12(min).因为6min<12min、所以甲先到达仓库C.故答案为甲.

3.C【解析】R1单独处理数据需要x小时，则V3单独处理数据的时间为(x+2)小时.依题意得以+卜入故选

C.

4.【解】设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网(1+20%)x米.

由预意得%-建7=1。，

解得x=60.

经检验,x=60是原方程的解，且符合题意.此时，60x(i+20%)=72(米).

答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米.

5.【解】⑴设第一次购买的排球单价为x元，则第二次购买的排球单价为(1+25%)x元

3000s

由邈意，得—-(]+25%)*-3

解得.X=40.

经检验,x=40是原分式方程的解.

所以第二次购买的排球单价为(1+25%)-1.25X40=50(元).

答：第一次购买的排球单价为40元，第二次购买的排球单价为50元.

(2)第一次购买的排球数量为300cH40=75(个),第二次购买的排球数量为75-15=60(个),

一共购买的排球数量为'75+60=135(个).

答：该社团前后两次一共购买的排球数量为135个.

刷提升

1.D【解析】设甲、乙两港之间的距离为skm,平时水流速度为xkm/h.由题意得言:六=2：1.即爱=2,解得

8-Y8+x8r

X=g.经检验，X、是原方程的解且符合题意.因为某天恰逢暴雨,水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了

.所以8_2x§+8+2空-'解得s=20.故甲、乙两港之间的距离为20km.故选D.

33

21*【解析】设甲单独完成任务需要x小时，则甲的工作效率是1,,乙的工作效率是！+/由题意得二3(1+

4xx60x\x

5)，解得.x=20.经检验，x=20是原方程的解,且符合题意，所以甲的工作效率是《，

乙的工作效率是L+5=2+54•因为丙的工作效率是乙的工作效率的，所以丙的工作效率是;x77=总所

x60206015221530

以按甲、乙、丙的顺序工作一轮的工作量为In所JU以KU工作六轮后剩余的工作量为1-《X6=IuL所以甲还需

要工作1小时此时乙需要完成的工作量为看所以乙还需要工作的时间为%时)所以按照甲、乙、

丙的顺序轮流工作至完成所有任务，共需3x6+l+：=I9%时).故答案为19：

444

3.【解】(1)理=胃，去分母得2000(x-20)=l200x,整理得5x-l()0=3x.解得