湖北省十堰市2026届高三上学期元月调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省十堰市2026届高三上学期元月调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得.故选：C.2.已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（）A.6 B. C.4 D.【答案】B【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，因为，即，且，所以.故选：B.3.印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是（）A.4.02 B.4.00 C.3.88 D.3.84【答案】A【解析】5个数据由小到大排列为：3.84，3.88，4.16，4.46，4.71，由，得这5个数据的40%分位数是.故选：A.4.若向量，，记，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设，所以，所以.故选：A.5.已知正数，满足，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】因为正数，满足，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故选：D.6.在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A. B.20 C.16 D.【答案】D【解析】因为，，所以.由正弦定理可知，，所以，，又，所以，所以.由余弦定理知，，所以，即.又，所以，所以.故选：D.7.已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取正四面体各棱中点，如图，可得平面平面，且，作平面于点，交平面于，则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体的棱长为6，，，，而，因此球的半径，所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为.故选：C.8.若函数有极值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，则，原函数化为，依题意，函数有极值，求导得，令，，求导得，而，令，得，当时，，则，得函数在上单调递减，又时，；时，，因此存在，使得，即函数，亦即函数存在极值；当时，，由，得；由，得，函数在上递减，在上递增，则，设，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，则时，，此时函数，即无极值；当时，，且时，；时，，此时函数，即存在极值，所以的取值范围为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，若集合满足，则可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于选项A：若，满足，符合题意，故A正确；对于选项B：若，则，不符合题意，故B错误；对于选项C：若，满足，符合题意，故C正确；对于选项D：因为，则，不符合题意，故D错误；故选：AC.10.若，则（）A.（）B.C.从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种D.从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种【答案】ACD【解析】因为的展开式的通项为，，则，，可得依次为.对于选项A：因为的最大值为，所以，，故A正确；对于选项B：，故B错误；对于选项C：若两个数的积为正数，则从任取两项或从任取两项，所以不同的取法共有种，故C正确；对于选项D：因为，共有4组，若从选择一组，再从剩余的数中选择1个，不同的取法共有种；检验可知，不同的取法共有种；综上所述：不同的取法共有种，故D正确；故选：ACD.11.已知定义域与值域均为的函数满足，，+，且，则（）A.B.C.，是奇函数D.，满足【答案】ACD【解析】令，则，由于的定义域与值域均为，则令，有，即；，A正确；，，B错误；，是奇函数，C正确；，，满足，D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，用，表示______.【答案】【解析】由，得，则；由，得，则，因此，所以.故答案为：.13.已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______.【答案】【解析】依题意，是双曲线：的半焦距，令右焦点为，由经过点，（），得点关于轴对称，即，则，于是，而，则，由点在双曲线上，得，即，整理得，因此，即，则，而，所以的离心率.故答案为：.14.若函数有零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】令，可得在内有零点，（i）若，则，令，解得，不合题意；（ⅱ）若，则，令，解得，不合题意；（ⅲ）若，根据绝对值的性质可得，又因为，则，因为在内有零点，则，①当时，则，解得；②当时，则，解得；综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和.（1）证明：是等比数列；（2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差.（1）证明：数列的前项和，当时，，即，而，解得，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）得，则，，所以等差数列的公差.16.某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表：灌溉系统糖度达标糖度不达标合计型6238100型4555100合计10793200（1）根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联；（2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为：11.520.20.50.3使用传统土壤栽培时的分布列为：0.81.21.60.40.40.2从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率.附：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）零假设为番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联，根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）令使用无土栽培的单株番茄产量为，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为，抽到的2株番茄总产量为，则，则，所以抽到的2株番茄总产量大于的概率为0.28.17.如图，几何体为四棱锥和三棱锥的组合体.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，.（1）求证：；（2）若三棱锥的体积是四棱锥的体积的，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：取的中点为，连接，因为，，则，，且，平面，可得平面，由平面，可得，又因为，，平面，所以平面，因为底面是正方形，则，且平面平面，平面平面，平面，可得平面，所以.（2）解：因为是正三角形，则，且平面平面，平面平面，平面，可得平面，由题意可知：，，又因为，则，解得，以为坐标原点，分别为轴，过点平行于直线的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知椭圆：（）的实轴长为，点在上.（1）求的离心率；（2）若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上；（3）已知，，均在上，为原点，，其中，均不在轴上，，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值.（1）解：由题意可知：，即，椭圆方程为，代入点可得，解得，所以椭圆的离心率.（2）证明：由（1）可知椭圆的方程为，，因为直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交，设直线：，，联立方程，消去x可得，则，，可得，由题意可知：直线，直线，联立方程消去y可得，即，可得，所以点在定直线上.（3）证明：设，且，则，且，，可得，即，代入椭圆方程可得，整理可得，又因为，，，可得，即，且，可得，即，所以（为定值）.19.已知函数（）.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若，证明：；（3）试讨论过点且与曲线（）相切的直线的条数.（1）解：因为在上连续不断，若在上单调递增，可知在，上单调递增，若，则，且，可得，即在上恒成立，且在上的最小值为0，可得；若，则，且，可得，即在上恒成立，且在上的最大值为，可得；综上所述：实数的取值范围为.（2）证明：若，则，构造，则，因为，，令，解得；令，解得；可知在上单调递增，在内单调递减，则，即，且，可得，即.（3）解：因为，若，则，且，设切点坐标为，，切线斜率，则切线方程为，代入点可得，整理可得；若，则，且，设切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，代入点可得，整理可得；构造，可知切线的条数即为与的交点个数，若，则，且，可知在内单调递减，且当趋近于1时，趋近于，当趋近于时，趋近于；若，则，且，令，解得；令，解得或；可知