湖南娄底市新化县2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试题（A卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南娄底市新化县2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试题一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，，∴，故选：C．2.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，成立，故是充分的，又当时，即，，故是必要的的，因此是充要条件．故选A．3.已知是锐角，那么是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.小于的正角 D.第一或第二象限角【答案】C【解析】因为是锐角，所以，所以，满足小于的正角.其中D选项不包括，故错误.故选：C.4.已知，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，因为函数是正实数集上的增函数，所以有.故选：C.5.用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】已知，，根据零点存在定理，函数在区间

内有零点，区间中点

，，由，，及零点存在定理知：零点位于区间

内，下一步应考察的区间为

.故选：A.6.已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，在单调递减，在单调递增，故可得在时，取得最大值.故，，又图象可以由的图象经过关于轴的翻折变换，再向左平移1个单位得到.故满足的函数图象是选项C.故选：C.7.已知函数，若，则（）A. B. C.3 D.2【答案】B【解析】因为，令，所以，又因为，所以为奇函数，因为，即，所以，所以，所以.故选：B.8.已知函数，若当的定义域为时实数a的取值范围为集合，当的值域为时实数a的取值范围为集合，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数的定义域为，即在上恒成立，则满足，解得，即；由函数的值域为，则满足应取遍所有的正数，即的值域包含，当时，函数的值域为，符合题意；当时，则满足，解得，综上可得，集合，则，.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于命题p：“”的叙述，正确的是（）A.p的否定： B.p的否定：C.p是真命题，p的否定是假命题 D.p是假命题，p的否定是真命题【答案】AC【解析】p的否定为“”，A对B错；，所以p是真命题，则p的否定是假命题，故C对D错.故选：AC.10.设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是（）A.的图象过点B.在上是减函数C.时取最大值D.的一个对称中心是【答案】AD【解析】函数的最小正周期是，，，又的图象关于直线对称，，，又，，，，图象过，故A正确；的正负未知，故无法确定的单调性，且时取最大值或最小值，故B，C错误；，是的一个对称中心，故D正确．11.早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）A.若，则B.若，且，则最小值为4C.若，，则D.若，且，则的最小值为2【答案】CD【解析】对于A，若，满足，则，错误；对于B，若，且，则，时取等号，与矛盾，即等号不成立，则没有最小值，故不正确；对于C，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以，当且仅当即时等号成立，由乘法法则知，当且仅当时等号成立，正确.对于D，令，则，所以，（当且仅当即时取等号），即的最小值是2，正确.故选：CD.三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分．12.计算______．【答案】【解析】.故答案为：.13.九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为______．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）【答案】6【解析】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，则，解得，即所在扇形的圆心角大小为6．故答案为：6.14.已知是定义在上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为____.【答案】【解析】因为，，所以，即，令，则有，则在上单调递增.又是定义在上的偶函数，，所以是定义在上的偶函数.由，可得，整理得，即，由是偶函数且在单调递增，在单调递减，可得，解得或.综上，不等式的解集为.故答案为：.四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设集合，．（1）求和；（2）若，满足，求实数的取值范围．解：（1）解得：，∴.∵，解得：，∴，则，；（2）由，可知∵，则，所以，故的取值范围为．16.（1）已知，求的值；（2）若、是方程的两个根，求的值.解：（1）因为，则；（2）因为、是方程的两个根，则，可得，由韦达定理可得，，因为，所以，，解得，合乎题意，故.17.已知某观光海域段的长度为3百公里，一超级快艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：百公里/小时）（）的以下数据：v0123Q00.71.63.3为描述该超级块艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少?并求出期少航行费用.解：（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.从而只能选择函数模型，由实验数据可得：，得，故所求函数解析式为.（2）设超级快艇在段的航行费为（万元），则所需时间为（小时），其中，结合（1）知，所以当时，取最小值为所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使段的航行费用最少为18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求，，．（2）已知函数．①求的分段解析式；②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围．解：（1）由题图可知，由，得，得．由题图可知，的图象过点，则，得，因为，所以．（2）①当时，，此时，得．当时，，此时，得．故．②由，得．由，得，即或，因为在上的图象与直线恰有3个公共点，所以，得，即的取值范围为.19.已知函数的定义域为，若，使得对都成立，则称为型函数．（1）证明：每一个指数函数（且）都是型函数；（2）若函数是型函数，求实数的值；（3）已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以（且）是型函数，即每一个指数函数都是型函数．（2）因为函数是型函数，所以，显然，则，所以，整