湖南省怀化市2026届高三下学期第二次仿真模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省怀化市2026届高三下学期第二次仿真模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则z＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．2.已知集合，．若，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，解得，所以.因为，所以，如图：所以．3.清明节期间，甲、乙两市旅游消费数据如下：甲市游客总量万人次，游客人均消费元；乙市游客总量万人次，游客人均消费元．此期间甲、乙两市游客的人均消费额为（）A.元 B.元C.元 D.元【答案】B【解析】此期间甲、乙两市游客的人均消费额为元．4.某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】P与t的函数关系式为．5.已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为，圆锥的母线，圆锥的侧面积是，，得，解得;圆台的母线，圆台侧面积为．6.如图，这是函数的部分图象，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】因为的图象过点，所以．因为点落在单调递减区间对应的图象上，所以，．因为，所以．因为的图象过点，所以，则，，解得，．由图可得，解得，结合，得．7.已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），若直线AB的斜率为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】记C的准线为l，过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，过点B作直线AM的垂线，垂足为E．设，．因为直线AB的斜率为，所以，，则，，．因为，所以，即，，所以．8.已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】由于，故为等比数列，，公比，故，．因为，所以，即，当时，不等式不成立，故有，此时的差恒大于1，只需，即得，，解得．因为，所以n的最大值为12．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知双曲线C：，则下列结论正确的是（）A.m的取值范围是B.C的焦距与m的取值无关C.若C的离心率不小于2，则m的取值范围为D.存在实数，使得点在C上【答案】ABC【解析】由题意得，则，A正确．由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确．由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确．假设存在实数，使得点在C上，则，．当时，，则，所以在上无实数解，D错误．10.已知，则的值可能为（）A.1 B.－1C. D.【答案】BCD【解析】因为，则或，即或．若，则；若，则，可得，，则，若，解得；若，解得．11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.存在，，使得B.记的值域为A，对任意，存在，使得C.若，则的最大值为D.若，则的最小值为【答案】ACD【解析】对于A选项，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，存在，，使得，A正确．对于B选项，由函数解析式可知为奇函数，得到的极大值为，的极小值为，且当时，，当时，，根据函数图像走势可知，所以的值域为．取，不存在，使得，B错误．对于C选项，不妨设，则，即，．设函数，那么由，可知的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得与的值域相同，令，当时，，当时，，当时，，且，(当且仅当时，等号成立)当时，函数单调递减，且，所以当时，取得最大值，最大值为，综上，的最大值为，即的最大值为，C正确．对于D选项，不妨设，则，变形可得，所以，当时，，，要使得取得最小值，则．若，则，解得，或即,(当且仅当时，等号成立)若，则，解得或即,(当且仅当时，等号成立)当时，，，而，矛盾，舍去．综上，的最小值为，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列，均为等差数列，若，，则________．【答案】【解析】因为数列，均为等差数列，由等差数列的性质得数列也为等差数列，所以为，的等差中项，所以，所以．13.已知函数有且仅有1个零点，则＝________．【答案】1【解析】为偶函数，要使得有且仅有1个零点，则，解得．经验证，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，符合题意．14.已知圆的圆心为，半径为，，，是圆上的动点，且，则的取值范围为________．【答案】【解析】延长至点，使得，取的中点，连接，,．是的中点，，所以，所以，，，在中，，，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的最小值为，最大值为，所以的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，AB的中点．（1）证明：CF⊥平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，．设平面的法向量为，则，即，取，可得．所以，所以平面．（2）解：由（1）知，所以，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．16.在中，为边上一点，．（1）若，，求的长；（2）求的值．解：（1）由题意得，，，根据余弦定理，，故.（2）因为，所以，，．设，则，，，在中，由正弦定理可得，即，在中，由正弦定理可得，即，则，化简可得，则．17.某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点．（2）工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？解：（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，，则，令，得，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值点.（2）由（1）知，若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为，则；若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为．；因为，所以应该选择方案一．18.已知函数．（1）设．①求曲线在点处的切线方程；②求在上的最小值．（2）若在上单调递减，求的取值范围．解：（1）当时，，．①因为，，所以曲线在点处的切线方程为．②令，则．当时，，，且两个等号不能同时成立，所以，在上单调递减．又，，所以存在，使得．当时，；当时，．在上单调递增，在上单调递减．又，，，所以在上的最小值为．（2）．令，则，．若，即，则存在，使得当时，，所以在上单调递增．因为，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意．若，即，则当时，，，两个等号不能同时成立，所以当时，．当时，，，所以，在上单调递减．因为，所以当时，，所以当时，，在上单调递减，符合题意．综上，的取值范围为．19.已知O为坐标原点，椭圆E：的右顶点为，离心率为，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，与直线，分别交于点C，D．（1）求椭圆E的方程；（2）若，求直线l的方程；（3）证明：．（1）解：由题可知，解得，所以椭圆E的方程为．（2）解：因为直线，到x轴的距离均为，过点作轴于点，交直线于点，所以，因为，所以，所以．因为，所以