辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）.1.已知命题，则是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命题，则是：.故选：C.2.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，可得，即为，且，可得故选：C.3.已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个，所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.故选：A.4.已知，函数若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】由题意可得，则，解得，故选：B.5.如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，则，因为P、B、N三点共线，所以，解得.故选：D．6.幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（）A.无法判断 B.等于0 C.恒小于0 D.恒大于0【答案】D【解析】由，解得或.当时，；当时，.因为函数的图象与坐标轴有交点，故.又，所以，因为为在R上单调递增的奇函数，所以，即.故选：D7.某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（）A.168，35 B.168，20C.169.6，35 D.169.6，20【答案】A【解析】男学生和女学生人数比例为，故样本中男生人数为人，女生人数为人，样本的平均数为，样本的方差为.故选：A.8.已知函数是定义在上的奇函数，，且，有成立．设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】不妨令，则由得：，，设，在上单调递减，，又为奇函数，，，，又，，即.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.9.某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A.这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人B.估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时C.估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时D.估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时【答案】BCD【解析】对于A：从频率分布直方图，可以得到，即这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有200人，故A错误；对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B正确；对于C：由频率分布直方图可以得到，设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为k小时，则有：，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为9.2小时，故C正确；对于D：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故D正确；故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.函数的定义域是，则的定义域是B.若函数的图象关于直线对称，则为偶函数C.若函数对恒成立，则实数a的取值范围为D.若是奇函数，则的值域为【答案】BCD【解析】选项A：函数的定义域是，则，所以，因此的定义域为，令，则，所以的定义域为，故A错误；选项B：根据函数图象平移的性质，函数向左平移1个单位得到的图象.因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，根据偶函数的定义可知，为偶函数，故B正确；选项C：令，因为，所以（函数在上单调递增）.函数可化为.若对恒成立，即对恒成立，也即对恒成立.令，.因为在上单调递减，在上单调递增，所以.所以，即实数的取值范围为，故C正确；选项D：因为是奇函数，所以，函数定义域为.，，所以，则，即对定义域内的恒成立，所以.此时.因为，所以且.当时，，；当，，；所以的值域为，故D正确.故选：BCD.11.已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是（）A.B.在定义域上单调递减C.是奇函数D.若，则不等式的解集为【答案】ACD【解析】对于选项A：定义在区间上的函数满足：对任意均有.令，可得，解得，故选项A正确；对于选项B：由可得，任取、，且，则.由于当时，，，所以，即，故在定义域上单调递增，故选项B错误；对于选项C：令，由可得，即，所以，即函数关于点对称.而的图象可由图象向左平移个单位得到，所以函数关于点对称，则是奇函数，故选项C正确；对于选项D：因为，所以，则不等式等价于由在定义域上单调递增，得，解得，故选项D正确.故选：ACD.二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.12.若事件与事件互斥，且，，则______.【答案】【解析】因为事件与事件互斥，则，又因为，所以.故答案为：.13.若，，且，则的最小值为________．【答案】6【解析】由，得，整理得，当且仅当时等号成立.则，故，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，即的最小值为6.故答案为：6.14.设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】因为在上单调递增，所以单调递增，又在上单调递增，所以在定义域内单调递增.因为函数为“倍缩函数”，所以，即，所以，是方程的两个不等实根.设，，则方程有两个不等的正实根，所以，解得.所以满足条件的实数的取值范围为.故答案为：.三、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15.已知集合，集合.（1）求；（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.解：（1），，故.（2），因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，则，得，故实数m的取值范围为.16.已知定义在上的函数.（1）判断函数的单调性，并用定义证明；（2）解不等式.解：（1）函数在上是增函数，证明如下：设，则，，，且，则，则，即，所以函数在上是增函数.（2），，故是奇函数，，，是定义在上的增函数，，解得，所以不等式的解集为.17.如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.（1）若是的中点，，，求实数的值；（2）若，，求的最大值.解：（1）如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，则，所以，，设点，则，由，得，所以，即，得到，设，则，所以，解得.（2）因为三点共线，且，所以，设正方形的边长为1，，则，所以，，，所以，又，所以，所以，，所以，若，则，若，则，当且仅当，即时，等号成立，综上所述：的故大值为1.18.不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5.（1）现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率；（2）某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签.游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜；游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜；游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜.小明同学决定先玩游戏一，（i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？（ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？解（1）对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间，则，因为，所以，所以.对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间，则，因为，所以，所以.（2）（i）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”，记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为，则，所以．则互斥，相互独立，所以.由（1）知，当时，，，，所以当时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为.（ii）由（i）知．同理，互斥，相互独立，．.因为，所以，解得．仿照（1）中的方法得，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，所以，当对应的均为，大于，满足题意；对应的均为，小于，不满足题意．因此，符合题意的的取值为5，6，7．19.已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．（1）求和的解析式；（2）若函数在上的值域为，求正实数a的值；（3）证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点．解：（1），分别为定义在上的