《有限元分析》全套教学课件

1有限元方法第1章前言1第1章前言

chapter01Introduction

21.1工程结构分析的含义1.2有限元分类1.3有限元的发展历史1.4有限元的一些应用示例1.5有限元的特点与未来发展

3有限元方法第1章前言31.1工程结构分析

structuralanalysis

目的和意义：从力学的观点，对工程结构进行分析计算，从而充分地了解结构的力学性态（定量化），保证结构能够完成预先的功能，并使得结构形式尽可能的合理，甚至最优。4有限元方法第1章前言4结构分析（一组控制方程），比如：梁、板的方程解析解答半解析数值解差分解，对微分方程进行离散有限元法或边界元，对结构域进行离散结构分析示意

5

解析法analysis：问题的求解可以得到具体的数学表达式，可以计算任意位置的问题的精确解答。如悬臂梁求挠度等。

数值法numerical：得不到具体表达式，只能得到某些离散点处的近似值。该方法包括：有限差分differential、有限元法FEM、边界元法BEM、变分法variationalmethod等6有限元方法第1章前言6结构分析的内容

应力分布\位移分布stressanddisplacementdistribution结构的屈曲和稳定性bucklingandstability结构动力学，频率与动力响应dynamics热变形与热应力thermalanalysis应力集中stressconcentration疲劳与断裂fatigueandfracture结构优化分析optimization流体与结构的相互作用

structuralandfluidcouplingeffect7有限元方法的实质Finiteelementmethod(FEM)将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为有限自由度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化成有限个参数的代数方程组的求解问题。8左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的三角形就是单元,其顶点就是节点。

从物理角度理解,可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.

从数学角度理解,把这个求解区域剖分成许多三角形子域,子域内的位移可用相应各节点的待定位移合理插值来表示.例如:9有限元法的基本步骤（1）结构的离散，将整个结构分为若干个小的单元（单元的形状：三角形、四边形等）。（2）确定单元节点力和节点位移的关系（单元位移和节点位移的关系，单元平衡方程）。（3）形成整体结构分析方程。（4）引入边界条件，求解方程。（5）进行后处理分析。10有限元方法第1章前言10静力与动力

staticanddynamic线性与非线性

linearandnonlinear确定性与概率与随机

determineproblemandrandom有限元方法进行求解11有限元方法第1章前言11有限元方法实际上是一种数值方法。因此也离不开计算机的发展。此外作为一种数值方法，在数学表示上，采用矩阵的方式。121.2有限元分类

classificationforFEM基本未知量分类：位移法、力法、混合法

位移法应用最广，最早是位移协调单元，后来逐步提出非协调元、拟协调元、广义协调元等。混合法有杂交元，此外分区混合元在断裂力学中得到了广泛应用。

13有限元方法第1章前言13有限元方程的推导分类：

直接法（只适用于简单问题）变分法（有限元有了坚实的数学基础）

加权残数（直接从方程出发，对于不存在变分泛函的问题可也建立有限元方程，扩大了有限元的应用范围）

141.3有限元的发展历史

HistoryforFEM（1）早在公元3世纪的时候，我国数学家刘徽提出的用割元法求圆周长的方法即是有限元基本思想的体现。（2）20世纪40年代，麦克亨利（McHenry）、雷尼柯夫（Hrenikoff）、纽马克（Newmark）等首次提出用框架方法求解力学问题，用简单弹性杆排列代替连续体的各个小部分，能够得到连续问题的相当好的解答。15（3）1943年，柯兰特（Courant）第一次假设饶曲函数在一个划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单线性函数。（4）1955年，德国斯图加特大学的J.H.Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文，奠定了有限元方法的理论基础。（5）第一个尝试：1956年，特纳（Turner）、克拉夫（Clough）等将刚架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计，系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正确解答。16（6）第一次提出：1960年，克拉夫（Clough），建立在虚位移原理或最小势能原理的基础上。在处理剖面弹性问题时，第一次提出并使用“有限元方法”的名称（7）1972年，Oden出版了第一本处理非线性连续体的专著。（8）我国科技工作者：如胡昌海提出了广义变分原理，钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系，冯康研究了有限元方法的精度和收敛性问题，钱令希研究了余能原理等。17有限元方法第1章前言17

有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学与声学。18有限元法的产生和发展也反映了经济生产发展的要求有限元方法在当今的经济生产发展中，广有着泛的应用，在航空航天、工程建筑、机械制造等行业中，尤为突出。19有限元方法第1章前言19目前发展了很多商用程序

20结构有限元方法第1章前言20

现代计算机的发展为FEM的发展提供了物质基础，计算规模越来越大，最大有上千万自由度计算,甚至还有在超级计算机上进行的并行计算。

模型的输入、输出(即有限元的前后处理)实现了图形化,典型的有限元前后处理软件如:MSC/PATRAN,ALTAIR/HYPERMESHD.21

应用有限元软件，进行工程分析时需要做以下工作（1）理解和把握该分析的目标，和需要回答的问题，并确定能正确该问题的力学、数学模型。（2）建立有限元的离散模型和选择合适的计算方案。（3）对计算结果作出分析和评估，决定是否需要修改有限元模型和计算方案进行重新分析；是否需要修改力学、数学模型；是否需要修改原设计方案。22有限元方法第1章前言221.4有限元的一些应用示例

Someengineeringapplication

forFEM导管架海洋平台海洋平台储油罐23有限元方法第1章前言23SPAR平台在抨击载荷下冲击强度分析

外舱壁应力分布

环向框架应力分布

中心井应力分布24有限元方法第1章前言24立管的碰撞问题有限元模型裸露立管模型25结构有限元方法第1章前言25航天器卫星结构

26有限元方法第1章前言26CCD照相机27有限元方法第1章前言27

船体结构极限强度非线性28有限元方法第1章前言28

GlobalHullStructureanalysisTheglobalFEMmodelbasedPATRANPRO-PROCESS(SJTU)29结构有限元方法第1章前言29GlobalHullStructureanalysisVibationanalysis(SJTU)30结构有限元方法第1章前言30滚装客船总强度分析中拱状态变形中垂状态变形甲板合成应力云图＃90横舱壁合成应力云图（Racking）31有限元方法第1章前言31

Soundpredictionbasednastranandsysnoise(sjtu)

DynamicresponseisobtainedfromNASTRANandsoundfieldisgottenfromSYSNOISE32有限元方法第1章前言32FatigueandLifePredictionLocalmeshtestresult33有限元方法第1章前言33

ImpactandExplosiveAnlysisperforation34有限元方法第1章前言34Thewholemodel:include:fluid,deformablestructureandrigidstructure35有限元方法第1章前言35Theresultsincludes:Damageresidualdeformation;FractureandtearingCollisionforcehistoryEnergyabsorption36结构有限元方法第1章前言36Thecollisionforsub-marinebasedonMSC/Dytran

37有限元方法第1章前言37Collisionbetweenbridgeandship38结构有限元方法第1章前言38

OptimizationdesignTrussoptimization

391.5有限元的特点与未来发展

charactericsandfutureforFEM(1)

对复杂几何构件的适应性40对于各种物理问题的可应用性有限元法求解的是物理问题的控制方程，对线弹性，弹塑性问题，粘弹塑性问题，动力问题，屈曲问题，热传导问题，均可以进行有效的分析41(3)建立于严格理论基础的可靠性

42(4)适合计算机实现的高效性单元、形函数等的规范化求解方程矩阵形式的规范化有限元法：适合计算机程序的编制和执行计算机软、硬件的飞速发展43有限元法的未来1.为真实模拟新材料、新结构的行为，发展单元类型、新材料本构。2.为分析、模拟各类形式的结构在复杂工况和环境作用下的全寿命过程的响应。3.有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同集成完整的虚拟产品发展系统上海交大TRIBON-PATRAN接口程序44有限元方法第1章前言44本课程的目标

有限元方法的基本思想线性静力学问题借助于大型商用软件（如NASTRAN）实现典型结构的有限元分析

有限元方法第2章4545第2章弹性力学平面问题有限元

FEMfor2Delasticity

有限元方法第2章462.1弹性力学平面问题基本方程2.2平面问题有限元-三角形单元2.3高精度三角形单元2.44节点矩形单元的简单介绍有限元方法第2章47结构：杆系，板壳，一般的固体

在弹性范围内研究

分析方法：材料力学，板壳力学，船舶结构力学，更一般的弹性力学

2.1弹性力学平面问题基本方程

Basicgoverningequation有限元方法第2章482.1.1一点的应力状态

stressdescription有限元方法第2章49有9个应力分量或：有限元方法第2章502.1.2平衡方程

equilibriumequation有限元方法第2章51有限元方法第2章52上述结果极易推广到三微微元体的平衡：有限元方法第2章53由对原点的弯矩为零，导致：称之为剪应力互等定理。由此进一步得到，微元体独立的应力变量为6个：有限元方法第2章542.1.3几何方程

Geometricalequation有限元方法第2章55图(a)

有限元方法第2章56图(b)有限元方法第2章57最后叠加,并将其定义为应变其中：更一般的三微微元体：有限元方法第2章58给出了位移(displacement)和应变(strain)的关系,称之为几何方程，注意它和结构是否为弹性体并不相关。有限元方法第2章5959

弹性力学的基本变量-15个应力位移应变有限元方法第2章602.1.4应力应变关系剪切弹性模量

Shearelasticmodulus广义虎克定律Hooke’sLaw有限元方法第2章61有限元方法第2章62整个弹性力学三维问题归结上述15个微分方程的求解，并由此给出15个变量。适当的边界条件。位移边界：给定位移力边界：给定边界力（另外再给出）有限元方法第2章632.1.5平面应力和平面应变planarstressandstrain杆系结构:长度远大于两个方向的尺度变形在轴向采用了平面假设只有一个未知函数沿其他两个方向的变形特征是通过假定

比如：拉压直杆、梁的弯曲

有限元方法第2章64对于梁的弯曲问题，如果是深梁,平面假定不再成立需要分别求出两个方向的位移.有限元方法第2章65平面应力planestress厚度很小,载荷(包括位移边界)和平面平行,沿均匀分布,因此可以近似地认为沿向所有的应力分量为零.有限元方法第2章66应变：平面应力问题独立的变量：

有限元方法第2章67平面应变planestrain横向尺度远小于纵向尺度,载荷(包括位移边界)和平面平行,沿均匀分布,认为沿位移分量为零.有限元方法第2章68位移：由几何方程，可得应变为：注意但平面应变问题独立的变量：有限元方法第2章69平面应力和平面应变的转换关系：以后可仅研究平面应力

有限元方法第2章702.1.6边界条件位移边界有限元方法第2章71力边界有限元方法第2章72

或：有限元方法第2章732.1.7平面问题边值问题的提法未知量：2个位移、3个应力、3个应变

variabletobedetermined方程：3个几何、3个物理、2个平衡

governingequation边界条件

boundarycondition,B.C有限元方法第2章742.1.8最小势能原理

Theprincipleforminimumpotentialenergy有限元方法第2章75意义：

(1)势能取极小值时，对应的是真实解

(2)将解方程的问题转化为求极小值问题。

(3)通过尽可能使得势能极小，可以得到近似解。此即所谓的RITZ方法。有限元方法第2章76最小势能原理的证明有限元方法第2章77注意到：

有限元方法第2章78上式右边第一个积分可以进一步写为

有限元方法第2章79有限元方法第2章80由于必然有上述的平衡方程和力边界条件得以满足。所以（1）满足位移边界的势能极小等价于平衡方程和力边界条件（2）解微分方程的问题转化为极小问题对于的极小有限元方法第2章812.1.9经典弹性力学的近似解-RITZ方法有限元方法第2章82举例1简支梁的计算一旦假定了位移的形式，则极小化问题变为对待定参数的极小化只是对所选定位移函数形式，导致的极小化，不是所有的满足位移边界条件的位移函数，因此是近似。整个位移函数是在整个结构区域选取的。有限元方法第2章83第2章作业1-3有限元方法第2章84第2章作业44请说明下列问题是平面应力还是平面应变?（1）船体梁在总纵弯曲状态下，甲板的应力；（2）潜艇耐压壳体在水下外压作用；（3）水工结构中的坝体；（4）船体结构强横梁腹板有限元方法第2章852.2平面问题有限元-三角形单元2.2.1单元的划分有限元方法第2章86有限元方法第2章87单元局部编号单元总体节点编号节点位移:单元节点位移：有限元方法第2章882.2.2三角形单元的位移模式如果节点位移已知，如何给出单元内部任意一点的位移？FEM的思想：单元内部插值问题:单元内任意一点的位移是什么形式?先假定单元内部的变形为一多项式,这在一个小的范围内是可行的。类似与曲线上相近两点之间可以近似用直线代替。有限元方法第2章89先假定单元内部的变形为一多项式再进一步确定系数如何确定多项式的系数？将其表示为节点位移的函数，只要节点位移给出，则问题得以求解。有限元方法第2章90位移模式或位移函数

在节点上应满足节点位移

有限元方法第2章91有限元方法第2章92有限元方法第2章93有限元方法第2章94将其表示为节点位移的函数，其数学本质就是由三个顶点的位移去插值（关于插值的理解后面会进一步讨论）任意一点的位移。有限元方法第2章95关于插值的理解：两个点线性插值有限元方法第2章96形函数（插值函数）N

shapefunction请注意：我们只是在单元上假定位移的形式有限元方法第2章97形函数N的性质（1）（2）任意点插值函数的和为1有限元方法第2章98形函数N的性质意义：由于单元受相邻单元的影响，必然产生刚体位移，因此我们在构造N的时候必须使得位移模式包含刚体位移。（3）单元与单元边界上的位移是唯一的。这便保证了位移的连续性，否则单元之间出现间隙或重叠。（验证留做课后思考）有限元方法第2章99第2章作业5-65已经三角形单元三个节点坐标。请写出对应的三个形函数，并验证6验证三节点三角形单元在单元与单元的边界上位移连续。有限元方法第2章1002.2.3三角形单元的应变和应力有限元方法第2章101现在我们将所有的待求变量均用节点位移来表示.有限元方法第2章1022.2.4基于最小势能原理的有限元平衡方程

将已经得到的用节点位移表示的应力、应变以及位移，代入最小势能原理：有限元方法第2章103单元的刚度矩阵：体积力等效节点载荷列阵：表面分布力等效节点载荷列阵：有限元方法第2章104注意，此时势能为节点位移的函数进一步有得到有限元平衡方程为

有限元方法第2章105(1)等效节点力概念的解释

外力做功=理解为假想的作用在节点上的力，其效果是做功的大小不变，所以称为等效节点载荷。

外载荷都简化为作用在节点上的集中力。

等效为

有限元方法第2章106(2)单元刚度矩阵的力学含义

一个单元的平衡方程为：有限元方法第2章107如果该单元产生的位移为：有限元方法第2章108这给出了刚矩阵各元素的力学意义。由于产生这样位移的载荷应该平衡，于是进一步有：这是刚度矩阵各列元素的性质。有限元方法第2章109(3)关于刚度矩阵的对称性

由于弹性矩阵[D]对称，因此刚度矩阵必然是对称的。有限元方法第2章110(4)刚度矩阵的奇异性外力下平衡的单元可以有任意的刚体位移，从而解不唯一。因此要想真正给出解答，必须将位移边界约束条件反映到平衡方程里。

在数学上表现刚度阵行列式值为零。有限元方法第2章1112.2.5等效节点载荷

equivalentnodeloadvector（1）体积力

bodyforce在如果只有重力20140321有限元方法第2章113（2）分布力distributionpressure

有限元方法第2章114有限元方法第2章114第2章作业77三角形单元分布外力沿边长为线性分布，请给出等效节点力。单元的节点坐标请自行给定，s为由j到单元i-j边上任意一点m的长度。m有限元方法第2章1152.2.6整体刚度矩阵的合成

Theglobalstiffnessmatrix有限元方法第2章116关于矩阵分块：theblockmatrix

有限元方法第2章117单元刚度矩阵和单元节点位移列阵的由单元维数扩充为总体维数有限元方法第2章118有限元方法第2章119上述矩阵中的各元素均为，0实际表示的是

将上述4个单元的刚度矩阵相加，即得到总体刚度矩阵。一个比较简洁的处理办法：先给出一个整体刚度矩阵,里面没有元素，按照各个单元节点总体编号,将其放在对应的位置中。所谓的“对号入座”。这样便于进行编程处理。有限元方法第2章120总体刚度矩阵的带状特性有限元方法第2章121把半个斜带形区域中各行所具有的非零元素的最大个数叫做刚度矩阵的半带宽（包括主对角元），用B表示B=2(D+1)。

D=最大号码差有限元方法第2章122带状问题的举例说明矩阵的最小带宽问题：注意两种不同排列方式的差异软件中经常有带宽的最小化命令单元编号不影响带宽特性，起作用的是节点编号。有限元方法第2章123在进行节点编号时，应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能地小，以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节省存储、提高计算效率。比较这个两个节点方案的差异有限元方法第2章124总体刚度矩阵的特点（1）对称性；（2）稀疏性；（3）带状；（4）奇异性。关于奇异性的性质和上述单元刚度矩阵的含义是一致的,因为现在得到的有限元总体平衡方程,并没有对结构的位移约束予以考虑。有限元方法第2章125有限元刚度矩阵的一维存储有限元方法第2章1262.2.7整体载荷列阵的合成将每个单元的列阵维数扩充，然后相加也是”对号入座”

有限元方法第2章127注意：所有的外载荷，全部等效只作用在节点上的节点载荷。有限元方法第2章1282.1.5边界约束的处理对角元素乘以大数法

要施加的边界条件：有限元方法第2章129有限元方法第2章130这一节给出了有限元方法的主要思想，要求掌握：位移插值函数的意义单元刚度矩阵、单元等效载荷列阵总体刚度矩阵、总体载荷列阵边界条件施加理解总体刚度矩阵带状含义理解RITZ方法和有限元的差异

位移形式的区域，载荷的处理，边界的处理有限元方法第2章131第2章作业8(1)单元节点位移和单元内任意一点位移之间的关系是什么？(2)说明形状函数矩阵[N]的性质。(3)请说明单元刚度矩阵的近似性原因.(4)证明常应变单元发生刚体位移时(平动),单元内不产生应力.有限元方法第2章132第2章作业99对上图的平面结构由4个三角形单元组成,请对各节点自行进行编号,写出总体刚度矩阵叠加后的形式（只用符号表示某位置是否有元素，不做具体计算）。有限元方法第2章133第2章作业1010正方形平面结构，沿AB受拉力P。取1/4结构进行分析，写出对应的边界条件。如果AB间增加一个原始长度为AB的弹簧，弹簧刚度系数为a,则如何修改结构的总体刚度矩阵？有限元方法第2章1342.3一个平面应力有限元计算举例有限元方法第2章135法向位移FEM材料力学材料力学认为同一截面法向位移是一样，和有限元结果基本一致有限元方法第2章136

应力分布力作用点局部应力沿高度的分布-并不是线性的03-28有限元方法第2章137有限元和材料力学计算结果对比(1)位移材料力学只有横向位移，且沿高度是一样的

(2)应力材料力学沿高度没有正应力水平方向的正应力线性分布。(3)进一步的讨论：1）上述有限元和材料力学的结果，那个是更准确的？2）是哪些因素导致了有限元和材料力学计算结果的差异？材料力学的假定：

没有法向应力、平面假定、没有局部变形3)当网格尺寸减小时,插值的准确性提高了,结果应该更准确.这是有限元的收敛性问题.有限元方法第2章138网格尺寸对计算结果的影响序号节点数目网格尺寸力作用点位移133200mm15.4mm2105100mm21.3mm337950mm23.7mm4212120mm24.7mm5824110mm25.0mm6324815mm25.1mm材料力学的结果有限元方法第2章1392.4高精度三角形单元二次6节点单元为提高精度，单元内的位移采用完全2次多项式：

6个待定参数,需要6个节点

有限元方法第2章140有限元方法第2章141同样得到:有限元方法第2章142几点说明：（1）在相邻单元的边界上，位移依然是连续的。（2）位移是2次函数，应变和应力是线性的。因此从精度上来讲，高于常应变单元。但是尽管精度提高了，付出的代价是每个单元自由度增加了，计算量加大。（3）刚度矩阵：有限元方法第2章1432次三角形单元和线性三角形单元的对比:50mm网格,379个节点,最大法向位移23.7mm

线性三角形单元

100mm网格,379个节点,最大法向位移24.7mm2次三角形单元,这个结果和线性单元20mm网格(2121节点)一样.

应该选择高精度的单元有限元方法第2章1442.54节点矩形单元的简单介绍一个完全的2次多项式需要6项有限元方法第2章145有限元方法第2章146此时4个节点坐标为有限元方法第2章147有限元方法第2章148第2章作业1111图示4节点矩形单元,单元的厚度为单位1,

请给出m点位移.

已知:弹性模量为E,泊松比为零.

在节点i,j,p约束x和y方向的位移.有限元方法第3章149第3章杆系结构有限元

FEMforframestructure拉压直杆barundertensionandcompression扭转Barundertorsion梁的弯曲beam平面杆系planarframe空间杆系spaceframe有限元方法第3章1503.1直杆受轴向力杆的有限元杆系结构：结构在一个方向上的尺寸远大于另外两个方向拉压直杆受力特点：只有轴向力的作用有限元方法第3章151有限元方法第3章152最小势能原理的描述：有限元方法第3章153有限元方法第3章154有限元方法第3章155有限元方法第3章156注:平面问题的D这里体现为:

EA/2有限元方法第3章157有限元方法第3章1583.2直杆扭转问题的有限元扭转问题的基本方程完全类同于轴向拉压问题

有限元方法第3章1593.3梁的弯曲问题经典梁的弯曲问题有限元方法第3章160梁弯曲问题的最小势能原理：有限元方法第3章1612014-04-04结束

引入单元的局部坐标

有限元方法第3章162引入单元局部节点编号数学里的HERMITE插值

有限元方法第3章163有限元方法第3章164第3章作业左图长为的2节点梁弯曲单元1-2，写出等效载荷列阵。如果单元所受外载荷为集中力，则等效载荷列阵变为怎样？第1题第2题有限元方法第3章1653.4平面刚架3.4.1单元和节点有限元方法第3章1663.4.2单元刚度矩阵（单元局部坐标系）节点位移包括：轴向位移、横向位移、转角。节点力包括：轴向力、横向剪力、弯矩有限元方法第3章167注意轴向拉压和弯曲是不耦合的有限元方法第3章168

这里实际上是6个联立方程组，只是前两个和后四个不耦合。合在一起写:

有限元方法第3章1693.4.3单元坐标系的变换有限元方法第3章170同理,单元节点力

有限元方法第3章171总体坐标系下的刚度矩阵

有限元方法第3章1723.4.4总体刚度矩阵的形成有限元方法第3章173第3章作业3一”L”型直角平面刚架。已知E，两直角边的长度为L，各杆的横截面积为A，抗弯惯性矩为I，请写出此结构的总体刚度矩阵.4正方形平面刚架，沿对角线受两水平集中力Q的作用，各边长度为a，杆截面为圆形，其直径为d，弹性模量为E，节点与单元编号如图，请给出xy坐标系内结构的位移与Q之间的关系(注意对称条件的利用)第4题有限元方法第3章1743.5空间刚架问题每一点的位移包括三个线位移和三个角位移.局部坐标系的位移为

整体坐标系下的位移则为

有限元方法第3章175

刚度矩阵的转换形式为

局部坐标系下的刚度矩阵按照拉压、弯曲、扭转不耦合的假定，可以得到。在小变形时,线位移和角位移的坐标转换均为：

有限元方法第3章176有限元方法第4章177第4章薄板有限元

FEMforthinplate

板plate平板简化的基本特征：一个方向上的尺度远小于另外两个方向。板问题的难点：变形能依赖于位移的二阶导数，单元内构造的位移函数在单元边界上要求不但位移本身连续，还必须是一阶导数连续。有限元方法第4章178壳体问题的处理：每个壳体单元近似地看成平板，因此壳体平板单元可以通过平面应力问题和板弯曲叠加得到。有限元方法第4章1794.1平板弯曲问题的基本方程平板的基本力学假定：（1）挠度比厚度小的多（小挠度弯曲理论）（2）忽略厚度方向的正应力（3）中面的各点没有面内位移(其他点有位移，如何计算？)。（4）板中面的法线变形后仍为法线（直法线假定），也即没有横向剪切应变。有限元方法第4章180

依照上述假定，平板问题的应力和应变均可以表示为板中面挠度的函数。

任意一点的位移为

有限元方法第4章181

广义应变（曲率）应变

有限元方法第4章182广义应力应力广义本构关系

有限元方法第4章183平衡方程

由有：有限元方法第4章184边界条件

有限元方法第4章185能量原理

有限元方法第4章1864.2基于薄板理论的非协调单元矩形单元“”，边长为节点的变量（自由度）：

有限元方法第4章187单元的节点位移为

位移的多项式：确定上述12个待定参数的条件为：

有限元方法第4章188单元内任意一点的位移为：

有限元方法第4章189有限元方法第4章190有限元方法第4章191关于的讨论：有限元方法第4章192有限元方法第4章193有限元方法第5章194第5章三维有限元

FEMfor3Delasticity5.1三维的基本变量与控制方程有15个变量，15个方程有限元方法第5章1955.2三维问题块体单元5.2.1常应变四面体块体单元4个节点，12个变量（自由度）有限元方法第5章196由下式可以确定待定参数有限元方法第5章1975.2.2常应变四面体块体单元B为常量，应变为常量，应力也为常量有限元方法第5章1985.2.3常应变四面体块体单元关于刚度矩阵注意B为常数，积分计算很容易。其他问题类似，如：载荷阵计算、刚度阵集成、边界条件的施加有限元方法第5章1995.3六面体单元8节点24个变量(自由度)20节点，60个变量(自由度)有限元方法第5章200第5章作业1对于四面体四节点体单元，说明其单元与单元之间的位移满足连续性。有限元分析第6章201第6章热弹性问题有限元

FEMforthermo-elasticity

6.1引言工程背景：变温条件下的工作状态压力锅炉、蒸汽透平、喷气发动机核工程、液货船（LPG、LNG等）航天结构（飞船、卫星等）需要解决的问题：温度场分布（稳态、瞬态）温度应力和温度变形有限元分析第6章2026.2稳态热传导问题的有限元

如果和时间无关,则为稳态有限元分析第6章203边界条件

有限元分析第6章204类似于结构力学中的最小势能原理，将解结构力学的解一组控制方程转化势能（数学上称为泛函，是以函数为自变量的函数）的极小，在热传导里面也采用类