第3章《圆》单元测试卷（含答案）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第3章《圆》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=23，∠ACB=60°，连接OA，OB，则⊙O的半径是（

A．1 B．2 C．3 D．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB=AC，∠ADC=120°，AD=3，则BC的长为（A．4 B．33 C．6 D．3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，截面如图所示，已知EF=CD=8cm，则球的半径长是（

A．4cm B．5cm C．6cm4．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积，如图，若取⊙O及其内接正十二边形的四分之一图，测得⊙O半径为2cm，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（A．π−3cm2 B．π−4cm25．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点(P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为(

)A．π4 B．π2 C．π66．如图，⊙O过▱ABCD的顶点A，D，C，且圆心O在BC边上，若AB=BO=1，则⊙O的半径是（

）A．5−12 B．52 C．57．O为正方形ABCD的边AB上一点，以O为圆心、OB为半径作⊙O，交AD于点E，过点E作⊙O的切线EF交CD于点F，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点D′恰好落在⊙O上，则OAA．23 B．34 C．458．如图，已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则∠BAC的度数为（

）A．52° B．56° C．60° D．64°9．城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径AB=4，C, E是半圆上两点，且∠BAC=∠ABE=30°，连接CE．现分别以点A、点B为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D、点F．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（A．3 B．3−23π C．210．如图，P点是圆O劣弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），且满足∠BPC=∠APC=60°，D是△ABC内一点，AD=3，CD=4，BD=5，点P在劣弧AB上运动的过程中，2m=PA2+PB2A．0<m<25+123 B．C．25+123<m<50 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．如图，⊙O与AB相切于点A，BO交⊙O于点C，AD∥BO交⊙O于点D，连接DC．若∠B=50°，则∠OCD的度数为__________12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为6,0，⊙P的半径为13，则点P的坐标为__________．13．如图，⊙O的半径OC=5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=8 cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是________14．已知⊙O的半径为6，AC是⊙O的弦，点B是⊙O上异于点A．C的一点，若AC=4π，则15．如图，从一块直径为12cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A,B,C在圆周上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是________cm．16．如图四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=45°，AB=1，BC=2，则⊙O三、解答题（本大题共7小题，满分72分）17．（6分）等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边中点，如图1，以O为圆心作圆与AB相切于点M．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)如图2，点D为⊙O上一点，∠AMD=40°，连接DO并延长交⊙O于点N．若⊙O半径为3，求弧MN的长度．18．（8分）某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形ABCD区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了A、B、C三点的位置，∠BAC=30°．已知点D在劣弧AC⏜上，且(1)尺规作图：请在⊙O上确定点D的位置，并连接AD、CD；(2)已知AC=a，求鲜花种植区域四边形ABCD的面积（请用含a的式子表达）19．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，D为BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，BF为⊙O的切线交AE的延长线于点F．记AE与BC的交点为H．(1)求证：∠BOE=∠CBF．(2)若H为CD的中点，⊙O的半径为4，求OD的长．20．（10分）AB，AC分别与⊙O相切于B，C两点，BD是⊙O的直径．过点C作CF∥AB交BD于点E，交⊙O于点F．连接OC，BF．(1)如图1，若∠BAC=66°，求∠CED和∠BFC的大小；(2)如图2，连接AE，若∠BAC=120°，且⊙O的半径为6，求线段AE的长．21．（12分）如图所示的方格图中的小正方形边长均为1，点P,A均是格点．直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，交射线BC于点M，已知AB=BC．(1)用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图：①画出△ABC的外接圆的圆心O；②画出⊙O的切线CN，交射线BA于点N．(2)在（1）的条件下，连结MN．试证明：△AMN是等腰三角形．22．（12分）【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”．(1)【探究】如图①，已知▱ABCD是十字架四边形．求证：四边形ABCD是正方形．以下是小明的部分证明过程：证明：▱ABCD是十字架四边形，∴AC⊥BD．∴四边形ABCD是菱形．∵▱ABCD为圆内接四边形，……(2)【操作】已知AC是⊙O的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形ABCD，使BD为⊙O的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）．(3)【拓展】如图③，四边形ABCD为十字架四边形，连结OA、OB、OC、OD．（1）∠BOC与∠AOD的和为________度；（2）若AD+BC=12时，则⊙O半径的最小值为_______．23．（14分）如图已知：在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，连接OC，BD．(1)如图1，求证：2∠D+∠OCD=90°；(2)如图2，过点B作OC的垂线交⊙O于点G，交OC于点F，求证：CF=BE．(3)如图3，在（2）的条件下，连接CG，点J为⊙O上一点，连接BJ、AJ，延长CO交AJ于点H，BE=2OH，∠ABJ=3∠CDB，当FG=1210时，求AH参考答案一、选择题1．B解：如图，过点O作OD⊥AB，∵OD⊥AB，∴DA=DB=3∵∠ACB=60°，∴∠AOB=120°，∵OA=OB，∴∠ABO=180°−120°设OD=x，则OB=2x，∴OD∴x2解得x=1或−1（不合题意，舍去），∴OB=2，故⊙O的半径是2．2．B解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=120°，∴∠ABC=180°−∠ADC=60°，∵AB=∴AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=CB，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，在Rt△BAD和RtBD=BDAB=CB∴Rt△BAD≌∴∠ABD=∠CBD=30°，∵AD=3，∴BD=2AD=6，∴BC=AB=B3．B解：过点O作OH⊥EF于点H，延长HO交BC于点G，设球的半径为rcm∵OH⊥EF，∴EH=FH=1由题意，四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，CD⊥AD，又OH⊥EF，∴HG⊥AD，∴HG=CD=8cm∵球放在长方体纸盒内，∴球与BC相切，∵OG⊥BC，∴OG=r，∴OH=HG−OG=(8−r)cm在Rt△OEH中，O∴r2=即球的半径长是5cm4．A解：设圆半径为r，则r=2，∵四分之一圆的圆心角为90°，∴四分之一圆的面积S1∵正十二边形的中心角为360°÷12=30°，∴图中四分之一正十二边形包含90°÷30°=3个全等的等腰三角形，设其中一个等腰三角形为△OAB，OA=OB=2，∠过点A作AD⊥OB于点D，在Rt△OAD中，∵∠∴AD=1∴S∴四分之一正十二边形的面积S2∴剩余面积S=S5．A解：如图，连接OQ,QP，∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，∴四边形ONPM是矩形，又∵点Q为MN的中点，∴点Q为OP的中点，则OQ=1，点Q走过的路径长=45π×1故选：A．6．C解：如图，延长CB交⊙O于点F，连接AO,AF，过点A,O分别作BC,AD的垂线，垂足分别为E,G，设⊙O的半径为r，∵四边形AFCD是⊙O的内接四边形，∴∠F+∠D=180°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB=CD,∠D+∠C=180°，AD=BC=BO+OC=1+r，∴∠F=∠C，∴AC⏜∴AF⏜∴AF=DC，∴AF=AB，∴EF=EB=1∴在Rt△ABE中，AE2∵OG⊥AD，∴AG=DG=1在Rt△AOG中，O∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∵OG⊥AD,AE⊥BC，∴AE=OG，∴12解得：r=5∴⊙O的半径是5+17．C解：连接OE,OD′，作OH⊥ED∵OE=OD∴EH=D∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点D′恰好落在⊙O∴ED∴EH=1∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD，∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，∴∠OEH+∠D∴∠OEH=∠OEA，在△AEO和△HEO中，∠OEA=∠OEH∠A=∠OHE=90°∴△AEO≌△HEOAAS∴AE=EH=1设AB=AD=a，OB=OE=b，则AE=13AD=在Rt△AOE中，可得O∴b2=a∴OB=5a9，则∴OAOB故选：C．8．C解：如图，设△ABC外接圆的半径为R，连接BO并延长交⊙O于点D，连接OC,AD,CD,CH．∵点O是△ABC的外心，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴CD⊥BC，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∴AH∥CD，同理：AD∥CH，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CD=AH=R，∵点O是△ABC外接圆的圆心，∴OC=OD=R，∴OC=OD=CD=R，∴△OCD是等边三角形，∴∠BDC=60°，∴∠BAC=∠BDC=60°．故选：C9．A解：如图，连接OC、OE、BC，设AC与OE相交于点H，∵∠BAC=∠ABE=30°，∴∠BOC=∠AOE=60°，∴∠COE=60°，∴AE=∴OE⊥AC，∴AH=CH=1∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC=1∴AC=A∴AH=CH=3∵OA=1∴OH=O∴S弓形∴S==2=310．B解：如图：延长BP到点F，使得PF=AP，过点A作AE⊥PF于点E，解：∵∠BPC=∠APC=60°，∴∠APB=∠BPC+∠APC=120°，则∠APF=180°−∠APB=60°，∵∠APF=60°，PF=AP，∴△APF是等边三角形，∴AF=AP，∠FAP=60°，∵∠BPC=∠APC=60°，∴AC=BC，∵A、B、C、P四点共圆，∠APB=120°，∴∠ACB=180°−∠APB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠FAP=∠BAC=60°，∴∠FAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠FAB=∠PAC，∴△FAB≌△PACSAS∴BF=PC，即PC=PF+BP=AP+BP，∵AE⊥BE，∴∠PAE=90°−∠APE=30°，故PE=1则AE=A在Rt△AEB中，AB2即AB整理得：AB∵2m=PA∴2m=PA∴m=AB将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACD′，连接DD′，过点C作则CD=CD′，BD=AD∵CD=CD′，∴△DCD∴DD′=CD=4∵AD2+∴AD即△ADD∴∠ADD∴∠ADC=∠ADD∴∠GDC=180°−∠ADC=30°，∴CG=12DC=2∴AG=AD+DG=3+23则AC∵AC=AB，∴m=AC故选：B．二、填空题11．20解：如图，连接OA，∵⊙O与AB相切于点A，∴∠OAB=90°，∵∠B=50°，∴∠AOB=90°−∠B=40°，∵AC=∴∠ADC=1∵AD∥∴∠OCD=∠ADC=20°．12．3,2解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A6,0，PD⊥OA∴OD=1在Rt△OPD中∵OP=13

OD=3∴PD=O∴P13．2或8解：连接OA，∵直线l⊥OC，AB=8cm∴AH=1在Rt△AOH中，OA=OC=5∴OH=O∵直线l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点，∴当直线向下平移时，直线l沿OC所在直线移动的距离为CH=5−3=2cm当直线向上平移时，直线l沿OC所在直线移动的距离为CH=5+3=8cm综上所述，平移的距离是2cm或814．60°或120°解：设AC所对的圆心角为n°，由弧长公式l=nπr180，将l=4π，r=6代入得：解得n=120，即AC所对的圆心角为120°，分两种情况讨论：当点B在优弧AC上时，根据圆周角定理，∠ABC=1当点B在劣弧AC上时，根据圆内接四边形对角互补，得∠ABC=180°−60°=120°，则∠ABC的大小为60°或120°．15．3连接BC，由题意知∠BAC=90°，∴BC是⊙O的直径，BC=12cm，∵AB=AC，∴2AB∴AB=12设这个圆锥的底面圆的半径是rcm，∵lBC∴90π×62∴r=32故答案为：3216．10解：如图，连接OA，OC，AC，作AE⊥CB交CB的延长线于点E，设半径OA=OC=r，∵∠ADC=45∴∠AOC=2∠ADC=90°，在Rt△AOC中，AC=∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABE+∠ADC=180°，∴∠ABE=∠ADC=45°，∵AE⊥CB，AB=1，BC=2∴在Rt△AEB中，AE=BE=∴EC=BE+BC=3在Rt△AEC中，AC=∴2r=解得r=10则⊙O的周长为：2π三、解答题17．（1）证明：作OE⊥AC于点E，连接OM，OA，∵AB=AC，点O为BC边中点，∴∠BAO=∠CAO，∵AB是⊙O的切线，∴∠AMO=∠AEO=90°，∵OA=OA，∴△AMO≌△AEOAAS∴OE=OM，即OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接MN，OM，∵AB是⊙O的切线，∠AMD=40°，∴∠AMO=90°，∴∠OMD=90°−∠AMD=50°，∵DN是⊙O的直径，∴∠DMN=90°，∴∠OMN=90°−∠OMD=40°，∵OM=ON，∴∠OMN=∠ONM=40°，∴∠MON=180°−40°−40°=100°，∵⊙O半径为3，∴弧MN的长度=100π×318．(1)（2）解：如图，过点C分别作AB,AD的垂线，垂足分别为E,F，由（1）可得∠CAD=∠BAC，∵CE⊥AB,CF⊥AD∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90°在Rt△CBE，RtCB=CD∴Rt∴S在Rt△ACE,CE=CF∴Rt∴S∵AC=a，∠CAF=∠BAC=30°∴CF=∴AF=∴四边形ABCD的面积==2×19．(1)证明：如图，连接AC,OC，∵D是BC的中点，BC是⊙O的弦，∴OD⊥BC，BE⏜∴∠BOE=12∠BOC∴∠BOE=∠BAC，∵BF是⊙O的切线，∴∠CBF+∠ABC=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠CBF=∠BAC，∴∠BOE=∠CBF．（2）如图，连接AC由（1）得OD⊥BC，∠ACB=90°，且H为CD的中点，在△ACH和△EDH中，∠ACH=∠EDH=90°CH=DH∴△ACH≌△EDHASA∴AC=DE，∵O是AC中点，D为BC的中点，∴OD=1∴OD=1∵⊙O的半径为4，即OE=4，设OD=x，则DE=4−x,∴x=124−x∴OD的长为4320．（1）解：∵AB，AC分别与⊙O相切于B，C两点，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴∠A+∠BOC=360°−∠ABO+∠ACO∵∠BAC=66°，∴∠BOC=114°，∴∠BFC=1∵CF∥AB，∴∠CED=∠ABO=90°；（2）解：如图2，连接AO，∵AB，AC分别与⊙O相切于B，C两点，∴∠ABO=∠ACO=90°，∠BOA=∠COA=1∴∠A+∠BOC=360°−∠ABO+∠ACO∵∠BAC=120°，∴∠BOC=60°，∴在Rt△ABO中，AB=BO在Rt△CEO中，OE=OC×∴BE=BO−OE=3，∴AE=A21．（1）解：①如图∵∠GAH=90°∴GH是圆的直径，∵∠PAL=∠PAG+∠GAL=45°+45°=90°，∴PA⊥AL，∵PA是○O的切线，∴圆心O在直线AL上，∴AL与GH的交点就是圆心O；②作切线CN：在△AOB和△COB中，∵OA=OCAB=CB∴△AOB≌△COB(SSS∴∠ABO=∠CBO，∠BAO=∠BCO，在△ABF和△CBF中，∵AB=CB∠ABF=∠CBF∴△ABF≌△CBF(SAS∴∠BAF=∠BCF，∴∠BAF−∠BAO=∠BCF−∠BCO，即∠OAF=∠OCF，∵直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠OAF=90°，∴∠OCF=90°，∵OC是半径，∴CN就是所求切线；(2)如图，由等腰△ABC、⊙O、切线AM与切线CF的轴对称性质，可得BN=BM、BD⊥MN，则∠BNM=∠BMN,∠BDM=90°，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAF=90°，又∠AFO=∠DFM，∴180°−∠OAF−∠AFO=180°−∠BDM−∠DFM，即∠AOF=∠DMF，∵∠AOF=∠OBA+∠OAB，且∠OBA=∠OAB,∠OBA=∠OBC，∴∠AOF=∠OBA+∠OBC=∠ABC，∴∠ABC=∠DMF，即∠MBN=∠AMN，又∠MNB=∠ANM，∴△MNB∽△ANM，即∠MAN=∠BMN，∴∠MAN=∠BNM，即∠MAN=∠MNA，∴△AMN是等腰三角形．22．(1)证明：▱ABCD是十字架四边形，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．∵▱ABCD为圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵▱ABCD，∴∠ABC=∠ADC，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是正方形．(2)作出十字架四边形ABCD，使BD为⊙O的直径，如图所示：（3）解：（1）设AC与BD交于点F，∵四边形ABCD为十字架四边形，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，由圆周角定理可得∠