第三章《一元二次方程》单元测试（含答案） 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

第三章《一元二次方程》单元测试2026-2027学年数学湘教版九年级上册一、选择题（每题3分，共30分）1．将一元二次方程3x2−2=xA．3，−2 B．3，1 C．3，−1 D．3，02．已知x=1是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的一个根，点P−1,m、Q2,n均在反比例函数y=k−3A．m>n>0 B．m>0>n C．n>m>0 D．n>0>m3．若将一元二次方程x2−8x−9=0化成x+n2A．4，25 B．-4，25 C．-2，5 D．-8，734．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题，大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈=10尺）如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．x2+4C．x2+(10−x5．若菱形两条对角线的长度是方程x2A．5 B．4 C．25 D．56．关于x的一元二次方程mx2−2x−1=0A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．若方程x2+x−2=0的两根分别为x1，x2A．-1 B．-2 C．-3 D．-48．意大利文艺复兴时期的著名画家达•芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理.小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成.已知六边形ABCDEF的面积为14，S正方形ABGF：S正方形CDEG=4：1.小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中∠B'A'F=90°，则四边形B'CEF的面积为（）A．12 B．10 C．5 D．49．使得关于x的不等式组6x−a≥−10,−1+12A．35 B．30 C．26 D．2110．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：①若方程有两实数根为1，−2，则ax2+bx+c分解因式得a(x+1)(x−2)；A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（每题3分，共24分）11．关于x的一元二次方程(k+1)x2−4x+1=012．请写出一个两根分别为1和3的一元二次方程．13．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是．14．小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：．已知一个根x1=3，则另一个根x215．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成六块作试验田，要使实验田总面积为570m2，问道路应为多宽16．如图，等边三角形ABC中，D在射线BA上，连接CD.若BC，CD的长为方程x2−15x+7m17．已知长方形相邻两边的长是一元二次方程x2−5x18．已知关于x的一元二次方程m(x−a)2+b=0与n(三、解答题（19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，25，26题每题10分，共66分）19．解方程（1）(2x+1)2（2）x2（3）x220．关于x的一元二次方程x2（1）求m的取值范围；（2）若Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长恰好是此方程的两个实数根，斜边AB=6，求Rt△ABC的周长．21．阅读材料：为了解方程x2−12设x2−1=y…那么原方程可化为y2−5y+4=0，解得y1当y=1时，x2−1=1，∴x2=2当y=4时，x2−1=4，∴x2=5故原方程的解为x1=2，x2以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程：x22．高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和灰色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：（1）图①中的灰色正方形有：1+1=1+1×(1+1)图②中的灰色正方形有：1+1+2=1+2×(1+2)图③中的灰色正方形有：1+1+2+3=1+3×(1+3)图④中的灰色正方形有：1+1+2+3+4=1+4×(1+4)图ⓝ中的灰色正方形有：.（2）图①中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多1个；图②中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多2个；图③中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多3个；…；则图ⓝ中的白色正方形有个.（3）若图ⓝ中灰色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图ⓝ中白色正方形的个数.23．阅读理解并解答：（1）【方法呈现】配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．例如：x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2.因为(x+1)2≥0（2）【尝试应用】求代数式x2（3）【拓展提高】已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a224．为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，若购买A树苗10棵，B树苗20棵，需要2300元，若购买A树苗20棵，B树苗10棵，需要2500元：（1）求A、B两种树苗单价各是多少？（2）学校计划购买A、B两种树苗，共21棵，且购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．25．五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少.据统计，5月1日的游客人数为1.5万人，5月3月的游客人数为2.16万人.（1）求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率；（2）5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的1326．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C做匀速运动，到达点（1）如图①，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是（2）如图②，点Q在射线PC上，且PQ=2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM.在运动过程中，若正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】B10．【答案】C11．【答案】k≤3且k≠−112．【答案】x2-4x+3=0(答案不唯一)13．【答案】23或3214．【答案】−315．【答案】1m16．【答案】317．【答案】1018．【答案】202719．【答案】（1）解：2x+122x+122x+1=±3x=±∴x1=3（2）解：x2x2x−3x+1∴x1=3，（3）解：x2Δ=−4∴x=4±2∴x1=2+320．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=4(m+1)解得：m≥2．（2）解：设x1，x2是关于x的一元二次方程∴x1+x∵(x∴x==4=2m根据勾股定理得x1∴2m解得m=3或−7（舍去），∴x1∴AC+BC=8，∴△ABC的周长为8+6=14．21．【答案】解：设x2+x=y，∴原方程可化为y2+y−6=0，解得，y1=−3，y2=2，

当y=−3时，x2+x=−3，

∵b2−4ac<0，

∴原方程无解；

当y=2时，x2+x=2，22．【答案】（1）1+1+2+3+⋯+n=1+n(1+n)（2）(n+2)(n+1)（3）解：由题图可知，图ⓝ中等边三角形的个数为(n+1)个.因为图ⓝ中灰色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，所以1+n(1+n)2=n+1+45，解得n=10或n=−9（舍去）.当n=1023．【答案】（1）2；−1（2）解：x2因为(x−4)2≥0所以代数式x2−8x+10有最小值（3）解：因为a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b−41，所以a2+b2−10a−8b+41=0.所以易得(a−5)2+(b−424．【答案】（1）解：设A种树苗单价为a元，B种树苗单价为b元，由题意得10a+20b=2300解得：a=90答：A种树苗单价为90元，B种树苗单价为70元；（2）解：由题意得：y=90（21-x）+70x=-20x+1890，∵x<21-x，∴x<又∵x是正整数，∴x=1，2，…，10.∵y是x的一次函数且k<0，∴y随x的增大而减小，∴当x取最大值10时，y取最小值，ymin=-20×10+1890=1690（元），答：当A种11棵，B种10棵时费用最小，为1690元25．【答案】（1）解：设增长率为x，则1.5(1+x)2=2.16解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍去）∴日平均增长率为20%。（2）解：设平均每天游客人数为m人，则2m≤13解得：m≤0.91∴平均每天游客人数不超过0.91万人26．【答案】（1）解：因为Rt△ABC中，∠ACB=90所以∠A=45∘因为PD⊥AC，所以AP=PD.因为