山东部分校2027届高三标准学术能力诊断性测试2026年10月测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东部分校2027届高三标准学术能力诊断性测试2026年10月测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∣−1<A.2,3 B.−1,+∞2.若复数z=21−i，其中iA.1+i B.1−i C.3.已知a、b为单位向量，它们的夹角为120∘，则下列向量中与b垂直的是(

)A.a+2b B.a−2b4.已知函数y=fx是定义域为R、周期为2的奇函数，当1<x<2A.−1 B.1 C.−3 5.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过抛物线C上点A，作其准线l的垂线，垂足为B，若▵ABA.1 B.2 C.3 D.46.已知函数fx=lnx+axA.1 B.2 C.3 D.47.已知数列an是公差不为0的无穷等差数列，且满足：对于an中任意两项ai、aj，在an中都存在一项am，使得am=A.4 B.6 C.8 D.128.已知集合A=a1,a2,a3⊆0,1，x∈R，记集合x−aa∈A中元素的最小值为dA.1.4 B.1.5 C.2.1 D.2.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若m为样本数据6，10，4，m，16的中位数，则m的取值可以为(

)A.6 B.7 C.8 D.1110.已知点A的坐标为2,0，点B、C在圆O：x2+y2A.点A在圆O内 B.BC的最大值为210

C.BC的最小值为3 11.已知正方体ABCD−A1B1A.直线A1P与平面ABCD所成角的正弦值为13

B.经过点P有且只有一条直线与直线AB和A1D1都相交

C.存在4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线x2a2−y24=113.若函数fx=sinx+acosx在区间14.对于无穷数列{an}，定义集合P={n|存在正整数m，使得m>n且am>an}，集合Q={n|存在正整数m，使得m<n且am>an}．设an=sin四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABC(1)证明：直线CD(2)点Q在线段PD上，直线PB//16.(本小题15分)在▵ABC中，B(1)若sinA(2)边AB的中点为D，若CD17.(本小题15分)某生物种群，经过T年后一个自然种群分解为2个自然种群的概率为23，继续保持1个自然种群的概率为13，假设每个自然种群经过T年后均按此规律分解，并且自然种群分解互相独立．某地区最初该生物只有一个自然种群，设经过n个T年后该地区这种生物自然种群总数为(1)求(2)求(3)求P18.(本小题17分)椭圆Γ:x2(1)求(2)斜率为k的直线与Γ交于不同于点P的A,B两点，直线PA(ⅰ)设直线PA与x轴交于点Q，且MQ=2Q(ⅱ)若M,N关于原点对称，求k19.(本小题17分)已知函数y=f(x)的定义域为D，集合A⊆R，若对于任意t∈A，任意x∈D，总有f(x+t)>f(x(1)设f(x)=x ​3−3x ​2，D=(0，+∞)，A(2)设f(x)=xe ​x−2ex，D=(a，+∞)，A=(0，1)，若(3)函数y=f(x)的定义域为R，其导函数为y=f′(x)，当x<0时，恒有f(x)>0，A=(−∞，0)，证明：y=f(x)具有性质A的充分条件为y=1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AB10.【答案】AD11.【答案】AB12.【答案】2

13.【答案】−114.【答案】0,15.【答案】解：(1)因为PA⊥平面ABCD由AB⊥AD，AD所以CD=AC=2因为PA∩AC所以直线CD⊥平面(2)解：设BD与A因为直线PB//平面AQC，平面QA所以P因为AD=2所以DQ=2QP，即Q设DF=2FA，点F因为PA⊥平面ACD▵ACD的面积为S三棱锥Q−A

16.【答案】解：(1)由正弦定理，BCsinA=ABsin由余弦定理，AC2=由正弦定理，ACsinB=A(2)设AB=c在▵BCD代入已知量，19=化简得c2+4c−在▵ABC中，由余弦定理得A由正弦定理得外接圆半径R=又sinB=

17.【答案】解：(1)根据题意可知X1的分布为P所以期望EX(2)根据题意，要使X3=5需使X2中的由二项分布公式可得PX(3)事件“Xn=2”为：n个T年中，只有1记事件Yi为在第i个T年种群分解为2个，则P事件“Yi”为：前i−1个T年有1个种群，第i年开始有2因此PX

18.【答案】解：(1)由22a2所以椭圆的离心率为：e=(2)(因为MQ=所以Q43,0,M0代入椭圆方程x28+y22=代入直线PM方程，得y=−所以PA又O到直线PA:y所以▵OPA(ⅱ)设Ax1,y1直线AP方程为y=y同理n=因为m+n=整理得2k−将直线AB方程代入椭圆方程x28+所以x1+x代入①式得2k−1当t=−2k+当t=−2时，直线AB:方程②可化为1+由Δ=256k当k=32时，直线AB方程为所以k的取值范围为−∞

19.【答案】解：(1)函数y=f(x)具有性质A，

理由为：设x∈(0,+∞)，

因为f(x+3)−f(x)=(x+3)3−3(x+3)2−(x3−3x2)=9x2+9x>0；

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