2020数学花园探秘总决赛六年级一试真题含答案解析数学竞赛备考完整版

PAGEPAGEPAGE2020“数学花园探秘”科普活动总决赛小学六年级组一试一．填空题（每小题10分，共30分）如果一个自然数的每个数字都是质数，我们称这个数为“好数”，例如：2、23、223等均为“好数”．那么，将所有的“好数”从小到大排列，第20个是________．在《冰雪奇缘》中，公主艾莎和安娜能控制水元素与火元素，她们各自制造了一些水结晶与火结晶．某日艾莎拿自己一半数量的水结晶与安娜一半数量的火结晶交换，结果发现：艾莎的水结晶与火结晶的数量之比为，安娜的水结晶与火结晶的数量之比为．已知交换前，艾莎的火结晶和安娜的水结晶数量相等．那么交换前，艾莎和安娜的结晶总数之比是____:___．（填写最简整数比）如图，以EF为直径的半圆与长方形ABCD的每条边均恰有一个公共点．线段EF、FC的长度分别为20厘米、2厘米，那么阴影部分面积是________平方厘米．（取3.14）二．解答题（每小题15分，共30分）甲、乙、丙三人的糖果颗数都是正整数．如果甲给乙20颗糖果，乙的糖果数将是甲、丙糖果数之和的2倍；如果甲给丙30颗糖果，丙的糖果数将是甲、乙糖果数之和的3倍．请问：甲、乙、丙三人分别有多少颗糖果？如图，12个圆圈排在8条直线上，将12个连续的自然数分别填在12个圆圈中，再求出每条直线上所有圆圈所填数的和．（1）试说明：不存在一种填法使这8个和都相等．（2）是否存在一种填法，使得这8个和恰有2种不同取值？如果可以，请给出一种填法，如果不可以，请说明理由．参考答案及解析1、〖答案〗77

〖解析〗法一（枚举法）：一位数：2、3、5、7；两位数：22、23、25、27，32、33、35、37，52、53、55、57，72、73、75、77，从小到大第20个恰好是77．法二（加乘原理）：一位数：4个；两位数：4×4=16，即两位数最后一个恰好是第20个，即77．2、〖答案〗

〖解析〗法一：设艾莎原有水结晶a块，火结晶c块；安娜原有水结晶c块，火结晶糖b块；那么交换后得：，化简，所以那么原有总结晶数之比为．

法二：设交换后艾莎有水结晶x块，安娜原有火结晶4y块，那么艾莎原有水结晶2x块，安娜原有火结晶8y块，则，解得，故原有结晶总数之比为．

法三：交换后，艾莎和安娜各自结晶总数是一样多的，则艾莎的水、火结晶数之比是安娜的水、火结晶数之比是所以，交换前艾莎的水、火结晶数之比是安娜的水、火结晶数之比是故原有结晶总数之比为．AABCDEFMN3、〖答案〗131

〖解析〗分别作线段MN//AD、GH//AB，会交于EF中点．ABCDEFOGHMN因为EFABCDEFOGHMN又因为CF=2厘米，所以NF=NC－CF=8厘米；在直角三角形ONF中，由勾股定理得，ON=6厘米；易得OG=8厘米，所以长方形ABCD长是18厘米，宽是16厘米；所以平方厘米．4、 〖答案〗甲30、乙12、丙6 〖解析〗法一（不定方程）：设甲、乙、丙三人分别有颗糖果，且，则代入消得，所以或当时，不满足；当时，；所以，甲、乙、丙分别有30、12、6颗．法二（比例）：两次情况分别得：，（1）第二次甲给丙30颗，丙是甲乙和的3倍，所以总数不少于40颗，大于40且为的倍数最少为48，所以丙原来，甲原来，乙原来．（2）若总数大于48且为12的倍数，不妨设总数为（）颗，所以丙原来，甲原来，乙原来，根据甲的数量不少于30，所以，矛盾．5、〖答案〗详见下方 〖解析〗（1）反证法，如果存在一种填法使这8个和都相等，设每条直线上所有圆圈所填数的和为S，上面9个数107613812541191415的和为K，左下角所填的数为A，右下角所填的数为