专题01 菱形的性质与判定-北师大版数学九年级上册重难点复习精讲

专题01菱形的性质与判定—北师大版数学九年级上册重难点复习精讲一、重难目标1、理解菱形定义，掌握菱形边、对角线特有性质，能结合性质开展线段、角度相关计算。2、熟记菱形三种判定方法，分清判定的两类起点（普通四边形、平行四边形），避免条件混淆。3、综合运用菱形性质与判定完成几何证明，结合面积公式解决题型，提升逻辑推理能力。二、重难知识1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。【注意】菱形的定义包含两个要素：①是平行四边形；②有一组邻边相等。即菱形是在平行四边形的基础上增加“一组邻边相等”这一特殊条件。易错提醒：定义本身既是菱形的性质（菱形一定是平行四边形且邻边相等），也是菱形的判定方法之一（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。2．菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，此外还有以下特殊性质：边：菱形的四条边都相等。对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。对称性：菱形是轴对称图形，有2条对称轴（两条对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心；菱形也是中心对称图形。【注意】面积计算（两种方法）：方法一：底×高（平行四边形面积公式）方法二：两条对角线乘积的一半，即S=12拓展：实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。3.菱形的判定：菱形的判定方法共有三种方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。几何语言：在▱ABCD中，若AB=AD，则▱ABCD是菱形。方法二（对角线法）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（也可表述为“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）。几何语言：在▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形。方法三（四边法）：四条边相等的四边形是菱形。几何语言：在四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD是菱形。【注意】前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形；第三种方法是在四边形的基础上直接判定。三、重难题型题型1：利用菱形的性质求面积【典例】1．如图，AC是矩形ABCD的对角线．（1）请用圆规和无刻度的直尺，分别在BC,AD上找点E，F，使得四边形（2）在（1）条件下，若CD=4，AD=8，求菱形【变式】2．如图1，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AO=4，点（1）求菱形ABCD的面积；（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为8，E为AB边的中点，连接CE交对角线BD于点F，CG⊥AB于点G，有∠BEF=题型2：利用菱形的性质证明【典例】3．如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分（1）求证：△AEH（2）当AB=12，BE=4时，求（3）4【变式】4．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接（1）求证：BD=（2）若∠E=55°，求∠BAO题型3：添一个条件使四边形是菱形【典例】5．如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE=DF，CE=（1）求证：△ACE（2）连接BE、CF，添加一个条件，使四边形BECF是菱形（不需要说明理由）．【变式】6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，AE=（1）求证：DE=（2）连接BE，DF，请添加一个条件，使四边形BEDF是菱形．（不需要说明理由）题型4：证明四边形是菱形【典例】7．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，连接EF，交对角线AC于点O，连接AE，CF．若BE=DF，∠AOE=90°【变式】8．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DE的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．（2）若∠ABC=90°，请你判断四边形EFGH题型5：根据菱形的性质与判定求角度【典例】9．在△ABC中，AB=AC,∠A<60°,点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，平移线段（1）若∠BAC=2∠E,求证：∠CBD（2）连接AE，若AC平分∠BAE，用等式表示∠CBD与∠BAE之间的数量关系，并证明．【变式】10．菱形ABCD，点E为对角线BD上一点，且∠BAE=13∠BAD，将△AEB关于AE作轴对称变换得到△AEF，连接DF并延长，射线（1）如图1，当∠BAD=90°，求∠EFG（2）如图2，连接EG，当A，E，G三点在同一直线上时，求∠BAD的度数；（3）当DG=CG时，求题型6：根据菱形的性质与判定求线段长【典例】11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF交AC于点G，延长FE与CB的延长线交于点H，且AE=（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠H=30°，BH=3，求【变式】12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠BCD．（1）求证：AC⊥（2）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，若AD=5，CE题型7：根据菱形的性质与判定求面积【典例】13．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，点F在BC边上，连接AF交BE于点O，连接EF，CE．有以下条件：①AF⊥BE，②（1）请从以上①，②中任选一个作为条件，求证：四边形ABFE为菱形；（2）在（1）的结论下，若EC平分∠BED，AB=10，BC=16，求四边形【变式】14．已知：如图，点O为▱ABCD的对角线AC的中点，经过点O的直线分别交AD的延长线、CB的延长线于点E，F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若AC=23，①当AE⊥EC时，四边形AECF的周长为②当EF⊥AC时，四边形AECF的面积为

参考答案1．（1）四边形AECF即为所求作；（2）菱形AECF的面积为202．（1）24（2）33．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=∵AB=∴△ABC和△∴∠B=在△ABE和△ACG中，∴△ABE∴AE=∵AF平分∠EAG，∴∠EAH=在△AEH和△AGH中，∴△AEH（2）（3）4．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∵BE=∴BE=∴四边形BDCE为平行四边形，∴BD=（2）35°5．（1）证明：∵AB=∴AB+∴AC=∵AE=DF，∴△ACE（2）BE6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC,∴OA=∵AE=∴OA−AE=在△DOE和△BOF中，∴△DOE∴DE=（2）BE=7．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵BE=∴AF=∴四边形AECF是平行四边形，∵∠AOE=90°∴EF∴四边形AECF是菱形．8．（1）证明见解析；（2）四边形EFGH为菱形，证明见解析．9．（1）证明：∵AB∴∠ABC∵平移线段BD得到线段CE，∴BD∥CE，∴四边形CBDE是平行四边形，∴∠E=∠BAC=2△ABC中∠BAC+2∴2∠CBD∵点D在边AC上，∴∠ACB=∴∠CBD+∴∠CBD和∠CDE互余．（2）∠CBD=证明：连接BE，交AC于点O，延长AC至F，使OF=OA，连接由（1）可得，四边形CBDE为平行四边形，则OB=∵OA=OF，∴△BOA∴AB=FE，∵AC平分∠BAE，∴∠BAO=∴∠EFO=∴AE=∴△AEF∵OF=OA，即O为∴OE是△AEF由三线合一得OE∵连接BE，交AC于点O，∴AC∴四边形CBDE为菱形，∴BD=∴∠BDC=在△BCD中，在△ABC中，∠BAC∴∠BAC=∴∠CBD=10．（1）∠EFG（2）∠BAD（3）∠BAD=540°11．（1）证明：∵点E，F分别是AB，AD的中点，∴AE=12∵AE=∴12∴AB=又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；（2）912．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∴∠DAC=∵AC平分∠BCD∴∠ACB∴∠CAD∴AD=∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥（2）213．（1）证明：情况一：选条件①：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠AEB=∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∴∠ABE=∴AB=∵AF⊥∴∠AOB=∵∠ABO=∠FBO，∴△ABO∴AB=∴AE=∵AE∥∴四边形ABFE是平行四边形，∵AF⊥∴平行四边形ABFE为菱形；情况二：选条件②：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∴∠AEB=∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∴∠ABE=∴AB=∵∠