专题三 三角形重难题型（3）-浙教版数学八年级上册复习

专题三三角形重难题型（3）—浙教版数学八年级上册复习一、题型十二垂直平分线的性质与判定1．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则A．21 B．14 C．13 D．92．通过如下尺规作图，能说明△ABD的面积和△ACD的面积相等的是（）A． B．C． D．3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC的垂直平分线EF交AB于点D，连结CD，如果CD=6，那么AB的长为.4．如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ＝°．5．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点.（1）求证：BE=AC；（2）若∠B=32°，求∠BAC的度数.6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，BC上的点，连接DE.（1）【基础考察】如图1，若点E为BC的中点，BC=8，DE=3，BD=5，则△BDE是三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”）（2）【能力巩固】如图2，连接AE，若AE平分∠BAC,ED⊥AB,BD=4,BC=8,，求BE的长：（3）【素养提升】如图3，点P在线段AC上运动，始终保持PA=PD，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F。若AC=4，BC=7，PA=1，求线段DE的长。二、题型十三角平分线的性质与判定7．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E.点F是射线AB上任意一点，则下列关系成立的是（）A．PE=PF B．PE<PF C．PE>PF D．PE≤PF8．如图，在△ABC中，∠B=90°，依据尺规作图痕迹，给出结论：①∠CDE=∠CAB；结论②AB+EC=AC.下列判断正确的是().A．①②都正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①②都错误9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB=6，BC=4，若△ABC的面积为12，则10．下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程.已知：如图1，∠AOB.求作：射线OC，使得OC平分∠AOB.作法：如图2，①在射线OA上取点M，使OM=3cm；②作∠AMN=∠AOB；③以点M为圆心，线段OM长为半径画弧，交射线MN于点C.所以射线OC就是所求的角平分线.根据小帅的作图过程，（1）求证：射线OC是∠AOB的平分线；（2）若点C到射线OB的距离为2cm，求△OCM的面积.11．爱动脑筋的小华同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，若AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC．对此结论，小华同学的证法如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，因为AD是∠BAC的角平分钱，且DE⊥AB，DF⊥AC，所以_______=_______，因为S△ABD=所以S因为AG⊥BC，∴S△ABD=所以S所以AB:AC=BD:DC【尝试探究】（1）请将小华同学的证明过程补充完整．【迁移应用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，AD平分∠BAC交BC于点D，AM⊥BC于点M．求DM的长．三、题型十四全等三角形的动点问题12．如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边ABA．118° B．125° C．136° D．124°13．如图，AB=4cm，AC=BD=3cm，∠BAC=A．12cm/s C．12cm/s或314．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=10cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒．当t=15．如图，在等边△ABC中，AB=6，D为AB的中点，E，F分别是AC，BC边上的动点，且满足CF=2AE，以EF为边向左作等边△EFG.（1）当AE=BF时，则CF=；（2）连结DG、AG，则AG+DG最小值为.16．如图，AE与BD相交于点C，AB∥DE，AB=8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度往返运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度单向运动，P、Q两点同时出发，当点P返回到点A时停止运动，Q点同时停止运动且正好停留在点E，设点P的运动时间为t(s).（1）求证：△ACB≅△ECD；（2）请用含t的式子表示线段PB；（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值.17．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，CB=8cm，设运动时间为t，（1）分别求出在此运动过程中，点D与点E的运动时长。（2）当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值，18．如图，AB=16cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=12cm，点P在线段AB上以4cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D（1）如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1s，△ACP与△BPQ是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ（2）如图2，将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变，若Q的运动速度与P的运动速度不相等，当Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等．（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，如图3，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．四、题型十五全等三角形的综合问题19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB④S△ABP=S△AEP+S△DBP其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．120．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．①∠AFC=120°；②S△ABD=S△ADC；③CD+AE=AC；④21．（1）如图1，在△ABC中，AB=5，AC=7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE=AD，连结CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围。请写出AD的取值范围，并说明理由（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF>EF。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长ED到点H，使DH=DE……，请你帮她完成证明过程。（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠A+∠C=180°，∠ADC=120°，DA=DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF=60°，连结EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明.22．已知：OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于F，射线CE交射线OB于G．（1）如图①，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系：___________；（2）如图②，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；（3）若∠AOB=α，当∠DCE满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出∠DCE满足的条件．五、题型十六尺规作图问题23．在△ABC中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：（1）作出AC边上的中线BD；（2）作出△ABC的角平分线CE；（3）作出△ABC的BC上的高线AF.24．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中画出△ABC的高线AD．（2）在图②△ABC的边BC上找到一点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积．（3）在图③中的找到一点F，使△FCB≌△ABC．25．为测量某一水池两端A，B之间的距离，嘉嘉、淇淇两位同学分别设计出如下两种方案．课题测量水池两端A、B之间的距离人员嘉嘉淇淇步骤说明在平地上取一点O，分别连接AO，BO并延长到D，C两点，使得DO=BO，CO=AO，测量CD的距离即可．在平地上取一点O，分别连接AO，BO，在AB的延长线上取一点C，使得∠COB=∠AOB，测量BC的距离即可．测量示意图（1）尺规作图：依据淇淇的步骤，在图2中确定点C的位置（保留作图痕迹，不写作法）；（2）老师评价后指出其中一种方案不可行．①以上两位同学的方案可行的是_______（填“嘉嘉”或“淇淇”）的方案；②对①中所选方案的可行性进行说理．26．如图，有两条国道相交于点O，在∠AOB的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到OA、OB27．为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示。为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P。要求点P到村庄A，B，C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）。

参考答案1．C2．C3．124．90o5．（1）证明：如图，连接AE，∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，∴AD垂直平分CE，∴AC=AE，∵EF垂直平分AB，∴AE=BE，∴BE=AC（2）解：∵AE=BE

∴∠BAE=∠B=32°

∵∠AEC为△ABE的外角

∴∠AEC=∠B+∠BAE=32°+32°=64°

∵AE=AC

∴∠C=∠AEC=64°

∵∠CAE=180°-∠AEC-∠C

∴∠CAE=180°-64°-64°=52°

∵∠BAC=∠BAE+∠CAE

∴∠BAC=32°+52°=84°6．（1）直角（2）解：∵AE平分∠BAC，ED⊥AB，∠ACB=90°，

∴DE=CE.

∵ED⊥AB，

∴∠EDB=90°

设BE=a，则DE=CE=8-a，

在Rt△EDB中，DE2+BD2=BE2

∴(8-a)2+42=a2，

解得，a=5，

即BE=5.

答：BE的长为5.（3）解：如图，

连接PE，

∵PA=PD，

∴∠A=∠PDA

∵EF是BD的垂直平分线

∴DE=EB，

∴∠B=∠EDB

∵∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-90°=90°，

∴∠PDA+∠EDB=90°，

∴∠PDE=180°-(∠PDA+∠EDB)=90°

设DE=EB=x，则CE=7-x，

∵AC=4，PA=1

∴PC=3，PD=1

在Rt△PCE中，由勾股定理得，

PE2=PC2+CE2=32+(7-x)2

在Rt△PDE中，由勾股定理得，PE2=PD2+DE2=12+x2

∴32+(7-x)2=12+x2，

解得，x=5714

即DE=57147．D8．A9．4.810．（1）证明：∵∠AMN=∠AOB，

∴MN∥OB，

∴∠BOC=∠MCO，

而作图步骤中的“以点M为圆心，线段OM长为半径画弧，交射线MN于点C”，

∴MO=MC，

∴∠MOC=∠MCO，

∴∠BOC=∠MOC，

∴射线OC是∠AOB的平分线。（2）解：∵射线OC是∠AOB的平分线，

∴点C到射线OB的距离和点C到射线OA的距离相等，都是2cm，

△OCM的面积=12×OM×2=111．解：（1）DE；DF；（2）∵Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∴BC=A∵AD平分∠BAC，∴BD:CD=AB:AC=4:3．设BD=4x，CD=3x，∴4x+3x=5，∴x=57，

∴∵AM⊥BC，∴AB×AC=AM×BC，∴AM=12∵Rt△AMC中，AC∴MC=9∴DM=DC−MC=1212．D13．D14．4或16315．（1）4（2）316．（1）证明：点P返回到点A用的时间为（8+8）÷2=8s，

DE=1×8=8（cm），

∴AB=DE，

∵AB∥DE，

∴∠A=∠E，

在△ACB和△ECD中，

∵∠A=∠E∠ACB=∠DCEAB=DE，

∴（2）解：当0≤t≤4时，PB=8-2t，

当4＜t≤8时，PB=2t-8.（3）解：∵△ACB≅△ECD，

∴BC=CD，

∵当线段PQ经过点C时，

∴∠PCB=∠QCD，

在△PCB和△QCD中，

∵∠B=∠DBC=CD∠PCB=∠DCQ，

∴△PCB≌△QCD（ASA），

∴BP=QD，

当0≤t≤4时，8-2t=t，解得：t=83，

当4＜t≤8时，2t-8=t，解得：t=8，

综上所述：t=817．（1）解：∵AC=6cm、BC=8cm，∴AC+BC=8+6=14cm，点D的运动时长为6+81点E的运动时长为：6+83（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠DCM+ECN=90°，∵DM⊥PN，∴∠CDM+∠DCM=90°，∴∠CDM=∠ECN，在△CDM和△CEN中，∠DMC=∠ENC=90°，∠CDM=∠ECN，∴要证以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等只要再证明DC=EC，①如下图所示当E在BC上，D在AC上时，即0<t≤8CE=(8−3t)cm，CD=(6−t)cm，∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．∴CD=CE，∴8−3t=6−t，∴t=1；②如下图所示，当E在AC上，D也在AC上时，即83CE=(∴3t−8=6−t，∴t=7③当E到达A，D在BC上时，即6≤t≤14，

CE=6cm，CD=(t−6)cm，∴6=t−6，∴t=12．综上所述，当t=1或72或12s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C18．（1）解：全等，理由如下：

当t=1s时，AP=BQ=4cm，BP=AB−AP=12cm=AC，

∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴∠A=∠B=90°，

在△ACP与△BPQ中，

AP=BQ∠A=∠BAC=BP，

∴△ACP≌△BPQSAS，

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，

∴∠CPQ=90°，

∴线段（2）解：设点Q的运动速度xcm/s，

∵Q的运动速度与P的运动速度不相等，

∴AP≠BQ，

∵∠A=∠B，

∴要使△ACP与△BPQ全等，则只存在△ACP≌△BQP这种情况，

∴AC=BQ，AP=BP，

∴12=xt4t=16−4t，

解得t=2x=6，

∴当点Q的运动速度为6cm/s时，能使△ACP与（3）解：∵C，D分别是AE，BE中点，AC=BD=12cm，∴AE=BE=24cm，∵Q以（2）中的运动速度6cm/s从点B出发，点P以原来速度4cm/s从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，∴第一次二者相遇时，只能是Q点绕圈追上P点，即点Q比点P多走BE+AE的路程，设运动时间为m秒，则6m−4m=24+24，解得：m=24，故经过24s，点P与点Q第一次相遇．19．B20．①③④21．（1）解：1<AD<6，在△CDE和△BDA中，∵∴△CDE≌△BDA(SAS)，∴EC=AB=4∴2<2AD<12，∴1<AD<6，（2）解：如图，延长ED到H，使得DH=DE，连结CH，FH.在△BDE和△CDH中，∵∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴BE=CH又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF>FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF>EF（3）解：结论：AF+EC=EF.理由：延长BC到H，使得CH=AF.∵∠A+∠BCD=180°∵∠DCH+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCH，∵AF=CH，AD=CD，∴△AFD≌△CHD(∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∵∠EDF=60°，∠ADC=120°∴∠ADF+∠ECD=60°，∴∠CDH+∠ECD=60°∴∠EDF=∠EDH，∵DE=DE，∴△EDF≌△EDH(∴EF=EH，∵EH=EC+CH=EC+A