数学花园探秘2022决赛初中组C卷真题含答案解析初中数学竞赛备考完整版可打印

PAGEPAGEPAGE2022年“数学花园探秘”科普活动初中年级组决赛试卷C（测评时间：2022年1月1日10:00-11:30）一．填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）算式的计算结果是__________．已知，且，则的值为__________．已知，且，则的值为__________．已知，则的值为__________．二．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）使代数式的值为质数的整数n的值是__________．如图，正方形DEFG的三个顶点在Rt△ABC的三条边上，且E,G,B共线．已知∠A=90°，AC=9，AB=12，则正方形DEFG的面积是__________．k为整数，使得关于x的方程有实数解．如果所有不同的k对应的一切实数根之积的绝对值等于（为互质的正整数），那么的值为__________．如果给定正整数a，恰好有2022组正整数对(b,c)，使得可被分解成两个一次因式的乘积，那么a的所有可能值的和是__________．三．填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）如图，H是△ABC的垂心，D,E,M分别是AB,AC,AH的中点．如果，，那么的度数为__________°．已知函数（m，n为自然数，a为完全平方数）的最大值与最小值之差为2022，则的值为__________．右图中的9×9表格已固定．现要选择其中9个1×1小格染成黑色，其余小格为白色，使得每行、每列、每条对角线上都恰有1个黑色小格，且整个图形还是轴对称图形．那么满足要求的选法共有__________种．四．解答题（每小题15分，共30分）如图，△ABC的内切圆分别与边AB,AC切于点D,E．I是内切圆的圆心，BI,CI的延长线分别交线段DE于点F,G，BF,CG的延长线交于点H．如果，那么的值是多少？如图，Rt△AOB的三个顶点抛物线的图像上，其中直角顶点O是坐标原点．如果P是斜边AB上的高所对应的垂足，那么抛物线的顶点到P点距离的最大值与最小值的和等于多少？参考答案及解析1、〖答案〗6

〖解析〗

2、〖答案〗5000

〖解析〗由，得．

于是，．

3、〖答案〗

〖解析〗由，得，．

，得到．

4、〖答案〗

〖解析〗依题意有，，即，

于是．平方，得到．代入到待求的算式，有

．

5、〖答案〗3

〖解析〗．

为质数可推出其中两个因式的绝对值为1，尝试可知．

6、〖答案〗20

解析一：如图，作正方形DEFG的外接正方形APQR，

连接AD、BP．根据点F与点D关于EG对称，

得到BD=BF，∠GDB=∠GFB．

∠CED=∠FGR=90°－∠GFB=90°－∠GDB=∠CDE，

因此CD=CE．

根据勾股定理可知，

故，

所以，，

PE=6－4=2，故正方形DEFG面积等于．

解析二：连接交于点．

由勾股定理可知．根据对称关系知到距离相等，由正方形知到距离相等，因此是的内心．

由角平分线定理知，，所以，．正方形DEFG面积等于．7、〖答案〗41

〖解析〗原方程可以变形为．此方程有实数解，

得到k可能值只能是．

时，（增根）；时，；时，；

时，（增根）或者；时，．

一切可能的实数根之积的绝对值等于，m+n的值为41．8、〖答案〗8091

〖解析〗依据双十字相乘法，

其中，，．对于给定的正整数a，2022组正整数对(b,c)与正整数对(m,n)是一一对应的．当a=2k（k是正整数）时，不定方程的解有组；此时可得，．当a=2k-1（k是正整数）时，不定方程的解有组；此时可得，．于是，a的所有可能值的和等于8091．

9、〖答案〗60

〖解析〗如图，可得．延长AH与BC交于F，

连接BH和DF．因为D,M分别是AB,AH的中点，

所以DM∥BH；D,E分别是AB,AC的中点，所以DE∥AC．

H是三角形ABC的垂心，BH⊥AC，根据平行关系，

DM⊥DE．，

M,D,F,E四点共圆（九点圆）．

∠DME=∠DFB=∠DBF（D是直角三角形ABF斜边上的中点）．

10、〖答案〗2021

〖解析〗，越大，y越小．

x=0时，y取最大值，时，y取最小值．y的最大值与最小值的差为2022，

得到，．

依题意，a为完全平方数，设．

上面的等式可以化简为．

注意到是无理数，因此m=0，，，．

m+n+a的值为2021．

11、〖答案〗108

〖解析〗用(a,b)表示第a横行第b小格，对称轴只能是对角线，

(5,5)为黑色，对角线上再无其它黑格．

(a,b),(b,a)关于左上-右下对角线对称，

可设另6个黑格为(c,d),(d,c),(e,f),(f,e),(g,h),(h,g)，

a~g遍历1,2,3,4,6,7,8,9且a＋b≠10、c＋d≠10、e＋f≠10、g＋h≠10．

为了避免重复，我们假定，且．

先计算关于一条对角线对称的选法：显然a=1，b不能选9，

有6种地位相同的选择方案，不妨假定b=2；

接下去考虑和8（10-2）同组的数的选择，简单枚举知共有10种选法．

根据乘法原理，满足要求的选法有：6×10=60种．（也可以根据容斥原理得到上面的结果：）

当图形关于两条对角线都对称时，a≠b，

若(a,b)染黑，则(b,a),(10-b,10-a),(10-a,10-b)都染黑．

将1,2,3,4,6,7,8,9分为和为10的4对：1+9,2+8,3+7,4+6，

当选定其中2对，对应的染色选法有2种．

∴关于两条对角线都对称的选法有：3×2²＝12种．

综上所述，满足要求的选法共有：60×2－12＝108种．

12、〖答案〗2

〖解析〗连接IE，设∠ABC=2x，∠ACB=2y，

导角可知∠BAC=1800-2x-2y，∠AED=∠ADE=x+y=∠GIC，

I,C,E,G四点共圆，∠IGC=∠IEC=900，BG⊥CG．

同理，BF⊥CF，I是三角形HBC的垂心．

根据垂心组的四点共圆，易得△IGH∽△CGB，

．设DE的中点为M，

由∠AED=∠GIC=∠BHG，

知Rt△ADM∽Rt△BHG，

，，．

13、〖答案〗3

〖解析〗由函数图像可知，过O的两条直线与

坐标轴不平行，于是可以假设两条直线的方程

分别为和．与抛物线方程联立，

得到A,B两点的坐标分别为

和．

设直线AB的方程为，

代入A,B两点的坐标，

解得，，

直线AB的方程为．

当x=-2时，y=1，这意味