计算机控制系统 模块3-计算机控制系统数学描述与性能分析

教学模块3计算机控制系统数学描述与性能分析计算机控制系统本教学模块内容:

教学单元1-模块导学

教学单元2-脉冲传递函数模型的建立

教学单元3-计算机控制系统的稳定性分析

教学单元4-计算机控制系统的稳态与暂态性能分析

教学单元1模块导学教学模块3计算机控制系统数学描述与性能分析熟悉1、连续系统的s传递函数模型2、连续系统的稳定性分析问题掌握1、z变换与z反变换方法2、零阶保持器的作用特性1.1学习本教学模块所需掌握的基础知识1.2本教学模块解决的问题被控对象—数学模型控制系统—性能指标控制器设计

系统的稳定性系统的稳态指标系统的暂态指标1.3关于被控对象的模型表达传递函数模型（外部描述）1、连续s传递函数2、离散

z

传递函数状态空间模型（内部描述）1、连续状态空间模型2、离散状态空间模型1.4关于系统的稳定性一个系统稳定是指该系统在平衡状态下（其输出量为不随时间变化的常数或零），受到外部扰动作用而偏离平衡状态，当扰动消失后，经过一段时间，系统能够回到原来的平衡状态（这种意义下的稳定通常称为渐进稳定）。如果不能回到原平衡状态，则该系统不稳定。线性系统的稳定性是由系统本身固有的特性决定的，而与系统外部输入信号的有无和强弱无关。关于系统的稳定性连续系统稳定的充要条件是：

系统的特征方程的所有特征根，亦即系统传递函数的所有极点都分布在s平面的左半平面，s平面的虚轴为稳定边界。关于系统的稳定性连续系统稳定性判断方法：（1）代数判据：劳斯判据，胡尔维茨判据等（2）根轨迹方法（3）频率域方法：奈奎斯特判据，波特图法等·教学单元一结束·教学单元2脉冲传递函数模型的建立教学模块3计算机控制系统数学描述与性能分析脉冲传递函数的定义:

线性离散控制系统，在零初始条件下，一个系统（或环节）输出脉冲序列的z变换与输入脉冲序列的z变换之比，被定义为该系统（或环节）的脉冲传递函数。用公式表示：W(z)差分方程W(s)单位脉冲响应建立被控对象脉冲传递函数模型W(z)的方法：

由差分方程求出W(z)由s传递函数模型求出W(z)由单位脉冲响应求W(z)前向差分方程：令对象的初始值为零，利用超前定理，得到2.1由差分方程求z传递函数模型整理得到：W(z)为z

的有理分式，称为前向式。由差分方程求z

传递函数模型后向差分方程：令对象的初始值为零，利用滞后定理，得到由差分方程求z

传递函数模型整理得到：W(z)为z-1的有理分式，称为后向式。由差分方程求z

传递函数模型由差分方程求z

传递函数模型前向式后向式前向式后向式初始条件为零2.2由s传递函数模型求z传递函数模型即：W(s)W(z)z变换的部分分式法留数计算法（1）部分分式法设将W(s)分解成如下形式:其中

si

为极点，n

为极点个数。由s传递函数模型求z

传递函数模型

由于所以适用范围：适合没有重极点的情况。由s传递函数模型求z

传递函数模型

例2.1已知求W(z)解：极点，于是有可得由s传递函数模型求z

传递函数模型

（2）留数计算法全部极点si

已知其中K

---不同极点个数

ri---si的阶数

T---采样周期由s传递函数模型求z

传递函数模型

例2.2解：求W(z)由题意可知从而由s传递函数模型求z

传递函数模型

单位脉冲δ(k)定义如下则当离散系统的输入为单位脉冲δ(k)时，系统的单位脉冲响应序列的z变换为其中，H(z)为单位脉冲响应序列的z变换，离散单位脉冲的z变换为2.3由单位脉冲响应求z传递函数模型由单位脉冲响应求z

传递函数模型

相应的单位脉冲响应序列为：一般来说，由脉冲响应序列h(k)得到的传递函数W(z)只能是z-1的幂级数形式，即很难写成闭合函数的形式，使用起来很不方便，常需要将其转换有理分式的形式，设待求的有理分式传递函数W(z)形式如下设分子与分母的阶次相等，即m=n，且阶次n已知，则W(z)对应的差分方程为：由单位脉冲响应求z

传递函数模型

当输入为单位脉冲δ(k)，输出为单位脉冲响应序列h(k)时，有式中，h(k)(k=0,1,…,l,l≥2n)是已知的，共有2n+1个系数，是未知的。由单位脉冲响应求z

传递函数模型

通过逐步递推，得到2n+1个方程由单位脉冲响应求z

传递函数模型

将上述2n+1个方程分成三组，并写成矩阵形式如下：由单位脉冲响应求z

传递函数模型

（1）（2）（3）从而求得2n+1个系数：由单位脉冲响应求z

传递函数模型

与则被控对象的脉冲传递函数模型得以确定：2.4计算机控制系统的脉冲传递函数计算机控制系统是由数字计算机部分和连续对象部分构成的闭环控制系统，典型的计算机控制系统通常如图2.1所示，为单位反馈的闭环控制系统。图2.1计算机控制系统结构图数字部分的脉冲传递函数：连续部分的脉冲传递函数：其离散形式为：计算机控制系统的脉冲传递函数计算机控制系统的脉冲传递函数计算机控制系统的开环脉冲传递函数：闭环系统的脉冲传递函数为：特征方程闭环系统的误差脉冲传递函数为：·教学单元二结束·教学单元3计算机控制系统的稳定性分析教学模块3计算机控制系统数学描述与性能分析稳定性分析策略：s平面上稳定性分析z平面上稳定性分析映射连续系统闭环传递函数为：假设3.1离散系统的稳定性条件若系统稳定结论：极点具有负实部，即极点均分布在s平面的左半平面。离散系统闭环传递函数为：假设若系统稳定结论：即：闭环脉冲传递函数的全部极点位于z平面上以原点为圆心的单位圆内。3.2s平面与z平面的映射分析

复变量s

与z

的关系为：，T为采样周期。当时，，其幅值为：（1）当s

位于s

平面虚轴的左半部时，为负数，这时；（2）当s位于s

平面虚轴的右半部时，为正数，此时。图3.1s平面到z平面的映射图3.2s平面上的极点与z平面的对应关系1245312345s平面z平面s平面上的极点与z平面的对应关系演示例3.1

分析系统的稳定性T=1s解：闭环特征方程解方程由于所以系统是不稳定的。3.3采样周期与系统稳定性关系采样周期闭环系统极点分布闭环系统的稳定性零阶保持器越小越好例3.2

判断图3.3所示系统在采样周期T=1s和T=4s时的稳定性，图中取K=1。图3.3计算机控制系统结构解：考虑零阶保持器时对象的传递函数模型为：其脉冲传递函数模型为：则系统的闭环脉冲传递函数为：其特征方程为：即：（1）T=1s时，系统的特征方程为：特征根为：由于因此采样周期T=1s时，系统是稳定的。（2）T=4s时，系统的特征方程为：特征根为：由于因此采样周期T=4s时，系统是不稳定的。不考虑零阶保持器的影响对象的离散化传递函数模型为：特征根为：由于因此无论采样周期取何值，系统总是稳定的。特征方程为：3.4计算机控制系统的代数稳定性判据间接判别离散系统稳定性的代数判据直接求解特征方程求解很麻烦劳斯（Routh）稳定性判据朱利（Jury）稳定性判据根据系统特征方程的系数判断系统的稳定性3.4.1劳斯（Routh）稳定性判据劳斯稳定判据连续系统s平面的特征根位置离散系统z平面的特征根位置连续系统w平面的特征根位置w变换双线性变换性质近似劳斯稳定判据离散系统劳斯稳定判据w变换定义：其反变换为：频域关系为：图3.4z平面与w平面的映射关系单从考察系统的稳定性角度来看，w变换也可以定义如下：好处：与采样周期T无关；缺点：频率畸变增大劳斯稳定性判据步骤：①根据特征方程写出劳斯阵列：②阵列的前两行是由特征方程的系数得到的，其余行计算如下：③劳斯判据为：对于特征方程来说，具有正实部根的个数等于阵列中第一列系数符号改变的次数。说明：劳斯阵列的特殊情况，如阵列第1列出现“0”的情况，参考《自动控制原理》内容。例3.3

利用劳斯判据研究例3.2所示系统的稳定性。例3.2:判断系统在采样周期T=1s和T=4s时的稳定性，图中取K=1。解：由例3.2可知，T=1s时，闭环系统的特征方程为：w变换后为：即：劳斯阵列为：结论：阵列第1列，系数全部大于零，系统稳定。同理，当T=4s时，系统的特征方程为：进行w变换后得到：劳斯阵列为：结论：阵列第1列系数不全大于零，有1次符号的变化，因此特征方程的特征根有1个位于w平面的右半平面，系统是不稳定的3.4.2朱利（Jury）稳定性判据朱利判据在z域直接进行只能判断出系统是否稳定劳斯判据在s域直接进行可以判断系统的稳定性可以判断出不稳定极点的个数朱利稳定性准则：设离散系统的特征方程为:其中朱利阵列:注意：（1）表中最后一行包含3个元素，因此当特征方程的阶数n=2时，只需要1行；（2）当n=3时，只需要3行;（3）前两行不需要计算，只是将F(z)的原系数先倒排，然后顺排；（4）从第三行开始，每一项用2行2列的行列式进行计算;（5）阵列中偶数行的元素就是前一行元素反过来的顺序，如此计算到第2n-3行各项为止（6）奇数行元素的定义为：朱利稳定性准则：特征方程式：的根（极点）全部位于z平面单位圆内的充分必要条件是下列条件必须全部满足，此时系统稳定。系统稳定必须满足的条件：常用低阶系统根据朱利阵列得到的稳定条件：（1）一阶系统稳定条件：（2）二阶系统稳定条件：（3）三阶系统稳定条件：例3.4

设某离散闭环系统的特征方程为试用朱利稳定性准则，判定该系统是否稳定。解：在上述条件下，朱利阵列为最后一行计算如下：①条件F(1)>0不满足，因为②条件满足，因为③即满足④不满足，因为结论：系统是不稳定的。例3.5

设某系统的特征方程为其中，采样周期试确定出系统稳定时Kp

的范围。解：将T和Ki

代入特征方程，得（1）条件满足，且与Kp

无关。（2）求出（3）由此求出结论：系统稳定时，Kp的取值范围为：·教学单元三结束·教学单元4计算机控制系统的稳态与暂态性能分析教学模块3计算机控制系统数学描述与性能分析4.1计算机控制系统稳态过程分析计算机控制系统的稳态指标用稳态误差来表示。稳态误差指系统过渡过程结束到达稳态以后，系统参考输入与系统输出之间的偏差。稳态误差是衡量计算机控制系统准确性的一项重要指标。4.1.1稳态误差与误差系数（1）位置误差系数对于单位阶跃输入，r(t)=1(t)，有位置误差系数（2）速度误差系数对于单位速度输入，r(t)=t﹒1(t)，有速度误差系数（3）加速度误差系数对于加速度输入，加速度误差系数4.1.2系统类型与稳态误差系统的开环脉冲传递函数写成如下形式：

r=0，则系统为0型系统

r=1，则系统为I型系统

r=2，则系统为II型系统积分环节表4.1三种类型系统的误差系数与稳态误差4.1.3采样周期对稳态误差的影响系统的稳态误差与采样周期T之间没有必然的联系：（1）如果被控对象中包含与其类型相同的积分环节，则系统稳态误差只与系统的类型、放大系数和信号的形式有关，而与采样周期T无关；（2）如果被控对象中不包含足够多的积分环节，则稳态误差将与采样周期有关。采样周期越小，系统的稳态误差相应也就减小。例4.1

输入为单位速度输入，分析采样周期与系统稳态误差的关系。图中控制器传递函数和对象传递函数分别取如下两种形式：（1）控制器为：对象模型为：（2）控制器为：对象模型为：解：第（1）种情况：I型系统单位速度输入下，系统的速度误差系数为：系统的稳态误差为:结论：系统的稳态误差与采样周期无关。第（2）种情况：I型系统单位速度输入下，系统的速度误差系数为：系统的稳态误差为:结论：系统的稳态误差与采样周期有关。4.2计算机控制系统暂态过程分析计算机控制系统的暂态性能主要用系统在单位阶跃输入信号作用下的相应特性来描述，它反映了控制系统的动态过程。主要性能指标用超调量、上升时间