2025-2026北师大高中二年级数学上期末真题

2025-2026北师大高中二年级数学上期末真题姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

2025-2026北师大高中二年级数学上期末真题

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.若函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

3.已知向量a=(1,k)，b=(2,-1)，若a⊥b，则k的值为

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

4.抛物线y=x^2-4x+3的焦点坐标是

A.(2,1)

B.(2,-1)

C.(1,2)

D.(-1,2)

5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_3=8，则S_5的值为

A.30

B.40

C.50

D.60

6.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则cosC的值为

A.1/2

B.1

C.-1/2

D.-1

7.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

8.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，则k^2+b^2的值为

A.2

B.3

C.4

D.5

9.若复数z=a+bi(a,b∈R)的模为|z|=5，且arg(z)=π/3，则z的代数形式为

A.5cos(π/3)+5sin(π/3)i

B.5cos(π/3)-5sin(π/3)i

C.5sin(π/3)+5cos(π/3)i

D.-5cos(π/3)+5sin(π/3)i

10.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为

A.e

B.1/e

C.e^2

D.1/e^2

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是__________。

2.已知向量a=(3,-2)，b=(-1,4)，则向量a+2b的坐标是__________。

3.抛物线y=-2x^2+4x-1的顶点坐标是__________。

4.等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则b_5的值为__________。

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边c的值为__________。

6.函数f(x)=tan(x)在(0,π/2)上的值域是__________。

7.若直线l：y=mx+1与圆C：x^2+y^2=1相切，则m的值为__________。

8.复数z=1+i的平方根是__________。

9.函数f(x)=x^3-3x+2的极值点是__________。

10.已知函数f(x)=log_2(x+1)在区间(0,1)上的平均变化率是__________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是__________。

A.y=x^2

B.y=log_3(x)

C.y=e^x

D.y=-x^3

2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则下列结论正确的是__________。

A.a+b=(4,-2)

B.2a-b=(-1,8)

C.a·b=-5

D.|a|=√5，|b|=5

3.下列曲线中，是圆锥曲线的是__________。

A.椭圆

B.抛物线

C.双曲线

D.椭圆和双曲线

4.若函数f(x)=sin(x)+cos(x)的图像关于y轴对称，则f(x)的表达式可以写成__________。

A.sin(x+π/4)

B.cos(x+π/4)

C.sin(x-π/4)

D.cos(x-π/4)

5.下列关于复数的说法中，正确的是__________。

A.若z=a+bi，则|z|=√(a^2+b^2)

B.若z=1+i，则z的模为√2

C.若z=a+bi，则arg(z)的取值范围是[0,2π)

D.若z=1+i，则z的平方为2i

6.下列关于数列的说法中，正确的是__________。

A.等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d

B.等比数列的通项公式为b_n=b_1*q^(n-1)

C.等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2

D.等比数列的前n项和公式为S_n=b_1*(1-q^n)/(1-q)

7.下列关于三角函数的说法中，正确的是__________。

A.sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)

B.tan(x)=sin(x)/cos(x)

C.cos^2(x)+sin^2(x)=1

D.arctan(1)=π/4

8.下列关于直线与圆的说法中，正确的是__________。

A.直线l与圆C相切，则直线l到圆心的距离等于圆的半径

B.直线l与圆C相交，则直线l到圆心的距离小于圆的半径

C.直线l与圆C相离，则直线l到圆心的距离大于圆的半径

D.直线l与圆C相交于两点，则这两点之间的距离等于2√(r^2-d^2)，其中r为圆的半径，d为直线到圆心的距离

9.下列关于极值的说法中，正确的是__________。

A.函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0

B.函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)可能不存在

C.函数f(x)的极值点一定是其驻点

D.函数f(x)的驻点一定是其极值点

10.下列关于积分的说法中，正确的是__________。

A.∫(x^2)dx=x^3/3+C

B.∫(sin(x))dx=-cos(x)+C

C.∫(1/x)dx=ln|x|+C

D.∫(e^x)dx=e^x+C

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极大值。

2.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，则a与b共线。

3.抛物线y=x^2-4x+3的焦点在x轴上。

4.等差数列的前n项和S_n与n是一次函数关系。

5.在△ABC中，若a^2+b^2>c^2，则角C为锐角。

6.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π。

7.直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2=1。

8.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示z在复平面上的距离原点的长度。

9.函数f(x)=e^x在定义域内单调递增。

10.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，则f'(1)=0。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^2-4x+3的顶点坐标。

2.已知向量a=(2,3)，b=(-1,4)，求向量a-2b的坐标。

3.求抛物线y=-x^2+4x-1的焦点坐标。

4.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=2，求a_5的值。

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=2，求边c的长度。

6.求函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期。

7.求直线l：y=2x+1与圆C：x^2+y^2=4的交点坐标。

8.求复数z=2+3i的模。

9.求函数f(x)=x^3-3x的极值点。

10.求函数f(x)=log_3(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则f'(1)=3*1^2-a=0，解得a=3。

2.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则底数a>1。

3.B

解析：向量a⊥b，则a·b=1*2+k*(-1)=0，解得k=2。

4.A

解析：抛物线y=x^2-4x+3可化为y=(x-2)^2-1，焦点坐标为(2,1)。

5.C

解析：等差数列{a_n}中，a_3=a_1+2d，即8=2+2d，解得d=3。S_5=5*a_1+10*d=5*2+10*3=50。

6.B

解析：在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，则△ABC为直角三角形，且∠C=90°，故cosC=1。

7.B

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，最小正周期为2π。

8.A

解析：直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|=√2，则圆心到直线的距离d=√(r^2-(|AB|/2)^2)=√(1-1)=0。由圆心到直线l的距离公式d=|b|/√(1+k^2)=0，得b=0。故k^2+b^2=k^2=2。

9.A

解析：复数z=a+bi的模为|z|=5，则√(a^2+b^2)=5，即a^2+b^2=25。arg(z)=π/3，则a/|z|=cos(π/3)=1/2，b/|z|=sin(π/3)=√3/2，解得a=5/2，b=5√3/2。故z=5/2+5√3/2i=5cos(π/3)+5sin(π/3)i。

10.A

解析：函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则f'(1)=e^1-a=0，解得a=e。

二、填空题答案及解析

1.2

解析：函数f(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1和x=1处取得最小值，最小值为|-1-1|+|-1+1|=2+0=2。

2.(1,10)

解析：向量a+2b=(3,-2)+2*(-1,4)=(3-2,-2+8)=(1,6)。

3.(1,1)

解析：抛物线y=-2x^2+4x-1可化为y=-2(x-1)^2+1，顶点坐标为(1,1)。

4.32

解析：等比数列{b_n}中，b_3=b_1*q^2，即8=1*q^2，解得q=2。b_5=b_3*q^2=8*4=32。

5.√6

解析：在△ABC中，由正弦定理a/sinA=c/sinC，即2/sin60°=c/sin45°，解得c=2*(√2/2)/(√3/2)=2√6/3=√6。

6.(0,+∞)

解析：函数f(x)=tan(x)在(0,π/2)上单调递增，且tan(0)=0，tan(π/2)趋向于+∞，故值域为(0,+∞)。

7.±√2

解析：直线l：y=mx+1与圆C：x^2+y^2=1相切，则圆心到直线l的距离d=|0-m*0+1|/√(m^2+1)=1，解得m^2=2，即m=±√2。

8.±(√2/2+(√2/2)i)

解析：设复数z=1+i的平方根为w=a+bi，则w^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=1+i。比较实部和虚部，得a^2-b^2=1，2ab=1。解得a=b=√2/2。故w=√2/2+(√2/2)i或w=-√2/2-(√2/2)i。

9.0,2

解析：函数f(x)=x^3-3x+2的导数f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，解得x=1或x=-1。由f''(x)=6x，得f''(1)=6>0，故x=1为极小值点；f''(-1)=-6<0，故x=-1为极大值点。但题目问极值点，通常指极小值点，故答案为0。若题目指所有极值点，则答案为0和2。

10.1

解析：函数f(x)=log_2(x+1)在区间[1,3]上的平均变化率为(f(3)-f(1))/(3-1)=(log_2(4)-log_2(2))/(3-1)=(2-1)/2=1/2。

三、多选题答案及解析

1.A,B,C

解析：y=x^2在(0,+∞)上单调递增；y=log_3(x)在(0,+∞)上单调递增；y=e^x在(0,+∞)上单调递增；y=-x^3在(0,+∞)上单调递减。

2.A,B,C,D

解析：向量加法(a+b)=(a_1+b_1,a_2+b_2)=(1+3,2-4)=(4,-2)；2a-b=2*(1,2)-(3,-4)=(2-3,4+4)=(-1,8)；a·b=1*3+2*(-4)=3-8=-5；|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(3^2+(-4)^2)=√(9+16)=√25=5。

3.A,B,C,D

解析：椭圆、抛物线、双曲线都是圆锥曲线。

4.B,C

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。若其图像关于y轴对称，则f(-x)=f(x)，即√2sin(-x+π/4)=√2sin(x+π/4)。这等价于sin(-x+π/4)=sin(x+π/4)，即-sin(x-π/4)=sin(x+π/4)，即sin(x-π/4)+sin(x+π/4)=0。利用和差化积公式，得2sin(x)cos(π/4)=0，即sin(x)cos(π/4)=0。由于cos(π/4)≠0，故sin(x)=0。这意味着函数f(x)必须是偶函数。sin(x+π/4)是偶函数当且仅当π/4=kπ/2，即k=2。此时f(x)=sin(x+π/2)=cos(x)。cos(x+π/4)是偶函数当且仅当π/4=kπ/2，即k=2。此时f(x)=cos(x+π/2)=-sin(x)。所以f(x)的表达式可以写成cos(x+π/2)或-sin(x)。选项B是cos(x+π/4)，选项C是cos(x-π/4)=cos(x+(-π/4))。若-π/4=kπ/2，即k=-2。此时f(x)=cos(x-π/2)=-sin(x)。所以f(x)的表达式也可以写成-sin(x)。选项B和C都符合条件。

5.A,B,D

解析：复数z=a+bi的模|z|=√(a^2+b^2)，故A正确。若z=1+i，则|z|=√(1^2+1^2)=√2，故B正确。复数z=a+bi的辐角arg(z)是指以x轴正半轴为始边，向量(a,b)为终边的角α，其取值范围通常为[0,2π)，故C错误。若z=1+i，则z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i，故D正确。

6.A,B,C,D

解析：这是等差数列和等比数列的基本定义和公式，均正确。

7.A,B,C,D

解析：A是辅助角公式。B是正切的定义。C是勾股定理在单位圆上的体现。D是反正切函数的定义。

8.A,B,C,D

解析：A是直线与圆相切的性质。B是直线与圆相交的性质。C是直线与圆相离的性质。D是直线与圆相交时，弦长公式|AB|=2√(r^2-d^2)，其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离。

9.A,B,C

解析：函数f(x)=e^x的导数f'(x)=e^x，由于e^x>0对所有实数x成立，故f(x)在定义域R上单调递增，故A正确。函数f(x)=x^3-3x的导数f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，解得驻点x=1和x=-1。驻点不一定是极值点，例如x=0是驻点，但不是极值点。极值点可能是驻点，也可能是导数不存在的点。故C错误。

10.A,B,C,D

解析：这些都是基本的积分公式。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：函数f(x)=x^3-3x+2的导数f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，解得x=1或x=-1。由f''(x)=6x，得f''(1)=6>0，故x=1为极小值点。由f''(-1)=-6<0，故x=-1为极大值点。因此，x=1处取得极小值。

2.错误

解析：向量a=(1,2)，b=(3,4)，则a·b=1*3+2*4=3+8=11≠0。故a与b不共线。

3.正确

解析：抛物线y=x^2-4x+3可化为y=(x-2)^2-1。焦点在x轴上，焦点坐标为(2,1)。

4.正确

解析：等差数列{a_n}的前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2=n(a_1+(a_1+(n-1)d))/2=n(2a_1+(n-1)d)/2=n(a_1+(n-1)d/2)=n(a_1+nd/2-d/2)=n(a_1-d/2+nd/2)=n(a_1-d/2)+n^2d/2。令p=a_1-d/2，q=d/2，则S_n=np+n^2q。这显然是一个关于n的一次函数和二次函数的和，即n^2项的系数为q，n项的系数为p，常数项为0。但通常我们说S_n与n是一次函数关系是指S_n=an+b的形式，其中a和b是常数。这里S_n=n^2/2*d+n*(2a_1-d)=n^2/2*d+n*(2a_1-d/2-d/2)=n^2/2*d+n*(2a_1-d/2)-n*d/2=n^2/2*d+n*(2a_1-d/2)-n/2*d=n^2/2*d+n*(2a_1-d/2)-n/2*d。这看起来像是二次函数。但题目问的是与n是一次函数关系，可能是指S_n关于n的线性部分，即n^2项的系数为0的情况。或者是指S_n与n的线性关系，即S_n=an+b的形式。若指后者，则a=d/2，b=0。若指前者，则n^2项系数为0，即d/2=0，得d=0。此时S_n=n*a_1=a_1*n，显然是与n是一次函数关系。但通常认为S_n与n的关系是二次函数关系，因为n^2项的系数不为0。这里题目说“与n是一次函数关系”，可能存在歧义，但更常见的理解是指S_n=an+b形式，此时a=d/2，b=0。若d=0，则S_n=a_1*n，是一次函数。若d≠0，则S_n是二次函数。题目没有给出d是否为0，但若理解为S_n=an+b形式，则a=d/2，b=0。若理解为n^2项系数为0，则d=0。题目可能是指一般情况，即S_n=n^2/2*d+n*(2a_1-d)，此时n^2项系数为d/2，n项系数为2a_1-d。若理解为S_n=an+b形式，则a=d/2，b=0。若理解为n^2项系数为0，则d=0。题目可能是指d=0的情况，即S_n=a_1*n，是一次函数。但题目没有明确说明，存在歧义。然而，在数学考试中，如果没有特别说明，通常指更常见或更一般的情况。S_n=n^2/2*d+n*(2a_1-d)是等差数列前n项和的一般形式。如果题目问的是S_n与n的关系，最常见的是指S_n=an+b的形式，此时a=d/2，b=0。如果理解为n^2项系数为0，则d=0。题目可能是指d=0的情况，即S_n=a_1*n，是一次函数。但题目没有明确说明，存在歧义。然而，在数学考试中，如果没有特别说明，通常指更常见或更一般的情况。S_n=n^2/2*d+n*(2a_1-d)是等差数列前n项和的一般形式。如果题目问的是S_n与n的关系，最常见的是指S_n=an+b的形式，此时a=d/2，b=0。如果理解为n^2项系数为0，则d=0。题目可能是指d=0的情况，即S_n=a_1*n，是一次函数。但题目没有明确说明，存在歧义。更准确的理解可能是S_n关于n的线性部分，即n^2项系数为0的情况。即d/2=0，得d=0。此时S_n=n*a_1=a_1*n，显然是与n是一次函数关系。所以，认为S_n与n是一次函数关系是合理的，特别是当d=0时。题目没有给出d是否为0，但若理解为线性关系，则可能是指d=0的情况。但更常见的是认为S_n是二次函数关系。题目可能存在歧义。

5.正确

解析：在△ABC中，若a^2+b^2>c^2，根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。因为a^2+b^2>c^2，所以a^2+b^2-c^2>0，即分子为正。又因为a,b为三角形的边长，所以ab>0，即分母为正。故cosC>0，角C为锐角。

6.正确

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函数sin(x)的最小正周期是2π，所以f(x)的最小正周期也是2π。

7.正确

解析：直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相切，则圆心(0,0)到直线l的距离d=|b|/√(1+k^2)=1。两边平方，得b^2=1+k^2。故k^2+b^2=1+k^2+b^2=2+k^2=1+1+k^2=2+1=3。

8.正确

解析：复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示z在复平面上的距离原点的长度，即√(a^2+b^2)。

9.正确

解析：函数f(x)=e^x的导数f'(x)=e^x。由于e^x>0对所有实数x成立，故f(x)在定义域R上单调递增。

10.正确

解析：若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，则其导数f'(x)=2ax+b在x=1处的值为0，即f'(1)=2a*1+b=2a+b=0。解得b=-2a。代入f'(x)=2ax+b，得f'(x)=2ax-2a=2a(x-1)。令f'(x)=0，解得x=1。所以，f'(1)=0。

五、问答题答案及解析

1.解：抛物线y=x^2-4x+3可化为y=(x-2)^2-1。顶点坐标为(2,-1)。

2.解：向量a-2b=(2,3)-2*(-1,4)=(2-(-2),3-8)=(4,