北师大版2025高三数学期末卷

北师大版2025高三数学期末卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

北师大版2025高三数学期末卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域为()

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.(-1,3)

D.R

2.若复数z满足z²=i，则z的实部为()

A.0

B.1/2

C.√2/2

D.-1/2

3.设函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为()

A.3

B.-3

C.2

D.-2

4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃=5，a₇=9，则S₁₀的值为()

A.40

B.45

C.50

D.55

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为()

A.3/4

B.4/5

C.1/2

D.√2/2

6.抛掷两个均匀的骰子，记事件A为"两个骰子的点数之和为5"，则事件A的概率为()

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于y轴对称，则φ的可能取值为()

A.kπ+π/2(k∈Z)

B.kπ-π/2(k∈Z)

C.kπ(k∈Z)

D.kπ+π/4(k∈Z)

8.设函数f(x)=e^x-x²，则f(x)在区间(-1,1)内的零点个数为()

A.0

B.1

C.2

D.3

9.已知圆O的方程为x²+y²=4，直线l的方程为y=kx+1，则直线l与圆O有交点的充要条件是()

A.|k|≤1

B.|k|<1

C.|k|≤√2

D.|k|<√2

10.设f(x)=x²+px+q，若f(1)=3且f(x)在x=-1处取得最小值，则p+q的值为()

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若sinα+cosα=√2，则tanα的值为______.

2.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)的单调递增区间为______.

3.在等比数列{aₙ}中，若a₂=6，a₅=162，则该数列的通项公式为______.

4.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0互相平行，则a的值为______.

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，cosC=1/2，则c的值为______.

6.已知函数f(x)=log₅(x²-2x+3)，则f(x)的最小值为______.

7.设复数z=1+i，则z³的虚部为______.

8.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₄=10，S₆=36，则该数列的公差为______.

9.在直角坐标系中，点A(1,2)和B(3,0)的距离为______.

10.设函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于y轴对称，则φ的可能取值之一为______.

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的有()

A.y=2^x

B.y=-x²+1

C.y=log₁₀(x)

D.y=|x|

2.下列命题中，正确的有()

A.若z₁、z₂为复数，则|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|

B.函数f(x)=x³在R上为奇函数

C.在等差数列中，若aₙ>0，则数列单调递增

D.若直线l₁:ax+by+c=0与直线l₂:mx+ny+p=0平行，则a/m=b/n

3.下列不等式中，成立的有()

A.log₃(5)>log₃(4)

B.arcsin(1/2)>arcsin(1/3)

C.sin(π/3)>cos(π/3)

D.tan(1)>tan(2)

4.下列函数中，以π为周期的有()

A.y=sin(2x)

B.y=cos(x/2)

C.y=tan(3x)

D.y=sin(x)+cos(x)

5.下列命题中，正确的有()

A.若数列{aₙ}单调递增，则lim(n→∞)aₙ存在

B.函数f(x)=x²在(-1,1)上连续但不可导

C.在等比数列中，若aₙ>0，则数列单调性由公比q决定

D.若直线l:ax+by+c=0过原点，则a=0或b=0

6.下列函数中，在其定义域内存在极值的有()

A.y=x³-3x²+2

B.y=sin(x)

C.y=log(x)

D.y=e^x

7.下列命题中，正确的有()

A.若圆O₁:x²+y²=r₁²与圆O₂:x²+y²=r₂²相交，则r₁≠r₂

B.若直线l₁:ax+by+c=0与直线l₂:mx+ny+p=0垂直，则a·m+b·n=0

C.在△ABC中，若a²+b²=c²，则△ABC为直角三角形

D.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0

8.下列不等式中，成立的有()

A.(1/2)^(x+1)<(1/2)^x

B.log₂(8)>log₂(16)

C.sin(π/6)<sin(π/3)

D.tan(π/4)>tan(π/6)

9.下列函数中，在其定义域内为奇函数的有()

A.y=sin(x)

B.y=-x³

C.y=log(x)

D.y=1/x

10.下列命题中，正确的有()

A.若数列{aₙ}单调递减且aₙ>0，则lim(n→∞)aₙ存在

B.函数f(x)=|x|在(-1,1)上连续但不可导

C.在等比数列中，若aₙ>0，则数列单调性由公比q决定

D.若直线l:ax+by+c=0过原点，则a=0或b=0

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为π.

2.若复数z满足z²=-1，则z的模为√2.

3.函数f(x)=x³-3x在x=0处取得极值.

4.等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₄=7，则S₈=2S₄.

5.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC为直角三角形.

6.抛掷三个均匀的骰子，记事件A为"三个骰子的点数之和为10"，则事件A的概率为1/6.

7.函数f(x)=tan(x)在(-π/2,π/2)内单调递增.

8.已知圆O的方程为x²+y²=9，直线l的方程为y=2x-1，则直线l与圆O相切.

9.设函数f(x)=x²+px+q，若f(1)=3且f(x)在x=-1处取得最小值，则p=-2.

10.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)在(1,3)上单调递增.

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x³-3x²+2的极值点.

2.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃=5，a₇=9，求该数列的通项公式.

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，cosC=1/2，求c的值.

4.求函数f(x)=sin(2x+φ)的周期，其中φ为常数.

5.已知圆O₁:x²+y²=4与圆O₂:x²+y²-6x+8y-3=0相交，求两圆的公共弦所在直线的方程.

6.求函数f(x)=e^x-x²在区间(-1,1)内的零点个数.

7.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0互相平行，求a的值.

8.求复数z=1+i的模和辐角主值.

9.已知等比数列{aₙ}中，a₂=6，a₅=162，求该数列的通项公式.

10.求函数f(x)=log₅(x²-2x+3)的最小值.

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域要求x²-2x+3>0，解不等式x²-2x+3>0，判别式Δ=(-2)²-4×1×3=4-12=-8<0，所以x²-2x+3>0对所有实数x恒成立，定义域为R，故选A。

2.C

解析：设z=a+bi(a,b∈R)，则z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi，由z²=i得a²-b²+2abi=0+i，所以a²-b²=0且2ab=1，解得a=±√2/2，b=±√2/4，当a=√2/2时，b=√2/4，z的实部为√2/2；当a=-√2/2时，b=-√2/4，z的实部为-√2/2，故选C。

3.D

解析：f'(x)=3x²-6x，由题意知f'(1)=3×1²-6×1=3-6=-3=0，所以a=-3，故选D。

4.B

解析：设等差数列{aₙ}的公差为d，则a₇=a₃+4d，所以9=5+4d，解得d=1，S₁₀=10a₁+45d=10(a₃-2d)+45d=10×3+45×1=30+45=75，故选B。

5.B

解析：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得5²=3²+4²-2×3×4×1/2，等式成立，所以cosA=4/5，故选B。

6.A

解析：两个骰子的点数之和为5的情况有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，所以P(A)=4/36=1/9，故选A。

7.A

解析：函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于y轴对称，则f(-x)=f(x)，即sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)，所以-2x+φ=2x+φ+2kπ或-2x+φ=π-(2x+φ)+2kπ(k∈Z)，化简得φ=kπ+π/2(k∈Z)，故选A。

8.B

解析：f'(x)=e^x-2x，令f'(x)=0得e^x-2x=0，即e^x=2x，在(-1,1)内，x=0时，e^0=1<2×0=0，x=1时，e^1=e>2×1=2，由介值定理，存在x₀∈(-1,1)使得e^x₀=2x₀，所以f(x)在(-1,1)内至少有一个零点。又f'(x)=e^x-2x在(-1,1)内只有一个零点x₀，所以f(x)在(-1,1)内只有一个零点，故选B。

9.C

解析：圆心O(0,0)，半径r=2，直线l到圆心O的距离d=|1|/√(k²+1)，直线l与圆O有交点，则d≤r，即|1|/√(k²+1)≤2，解得|k|≥√3/3，即|k|≤√3，故选C。

10.B

解析：f(1)=1+p+q=3，所以p+q=2，f(x)在x=-1处取得最小值，则对称轴x=-p/2=-1，所以p=2，代入p+q=2得q=0，所以p+q=2，故选B。

二、填空题答案及解析

1.1

解析：sinα+cosα=√2，两边平方得(sinα+cosα)²=(√2)²，即sin²α+2sinαcosα+cos²α=2，所以1+2sinαcosα=2，解得sinαcosα=1/2，所以tanα=sinα/cosα=(sinαcosα)/(cos²α)=(1/2)/(1-sin²α)=1/(2-sin²α)，又sin²α+cos²α=1，所以sin²α=1-cos²α，代入得tanα=1/(2-(1-cos²α))=1/(1+cos²α)，由sinα+cosα=√2，得cosα=√2/2-sinα，代入得tanα=1/(1+(√2/2-sinα)²)=1/(1+1/2-√2sinα+sin²α)=1/(3/2-√2sinα+sin²α)，由sinα+cosα=√2，得sinα=√2/2-cosα，代入得tanα=1/(3/2-√2(√2/2-cosα)+(√2/2-cosα)²)=1/(3/2-2+2cosα+1/2-√2cosα+cos²α)=1/(1-√2cosα+cos²α)，由sinα+cosα=√2，得cosα=√2/2-sinα，代入得tanα=1/(1-√2(√2/2-sinα)+sin²α)=1/(1-2+2sinα+sin²α)=1/(sin²α+2sinα-1)，由sinα+cosα=√2，得sinα=√2/2-cosα，代入得tanα=1/((√2/2-cosα)²+2(√2/2-cosα)-1)=1/(3/2-2√2cosα+2cos²α+√2-2cosα-1)=1/(1-√2cosα+cos²α)，所以tanα=1，故填1。

2.(-∞,0)∪(2,+∞)

解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)>0得x<0或x>2，所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0)∪(2,+∞)，故填(-∞,0)∪(2,+∞)。

3.aₙ=2×3^(n-2)

解析：设等比数列{aₙ}的公比为q，则a₅=a₂q³，所以162=6q³，解得q³=27，所以q=3，aₙ=a₂q^(n-2)=2×3^(n-2)，故填aₙ=2×3^(n-2)。

4.-3

解析：直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0互相平行，则斜率相等，即-a/2=-1/(a+1)，解得a=-3，故填-3。

5.√19

解析：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得c²=5²+7²-2×5×7×1/2=25+49-35=39，所以c=√39，故填√39。

6.1

解析：f(x)=log₅(x²-2x+3)=log₅((x-1)²+2)，当x=1时，(x-1)²+2取得最小值2，所以f(x)的最小值为log₅(2)，故填1。

7.2

解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=-2+2i，所以z³的虚部为2，故填2。

8.1

解析：设等差数列{aₙ}的公差为d，则a₄=a₁+3d=10，S₆=6a₁+15d=36，解得a₁=1，d=3，所以S₈=8a₁+28d=8×1+28×3=8+84=92，S₈=2S₄，所以36=2(4a₁+6d)=8+36，故填1。

9.√10

解析：|AB|=√((3-1)²+(0-2)²)=√(2²+(-2)²)=√(4+4)=√8=2√2，故填√10。

10.π/4

解析：函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于y轴对称，则f(-x)=f(x)，即sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)，所以-2x+φ=2x+φ+2kπ或-2x+φ=π-(2x+φ)+2kπ(k∈Z)，化简得φ=kπ+π/2(k∈Z)，取φ=π/4，故填π/4。

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析：y=2^x在R上单调递增；y=-x²+1在(-∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递减；y=log₁₀(x)在(0,+∞)单调递增；y=|x|在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增，故选A,C。

2.A,B,D

解析：由三角不等式|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|成立；f(x)=x³在R上为奇函数，f(-x)=-x³=-f(x)；在等差数列中，若aₙ>0，公比q不一定大于0，数列不一定单调递增，例如aₙ=(-1)^n>0，但数列不单调；若直线l₁:ax+by+c=0与直线l₂:mx+ny+p=0平行，则斜率相等，即-a/b=-m/n，所以a/m=b/n，故选A,B,D。

3.A,B,C

解析：log₃(5)>log₃(4)因为5>4；arcsin(1/2)=π/6，arcsin(1/3)<π/6因为sin(π/6)=1/2>1/3；sin(π/3)=√3/2>cos(π/3)=1/2；tan(1)≈1.557>tan(2)≈2.185，故选A,B,C。

4.A,C,D

解析：y=sin(2x)的周期为π/2；y=cos(x/2)的周期为4π；y=tan(3x)的周期为π/3；y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)的周期为2π，故选A,C,D。

5.C,D

解析：若数列{aₙ}单调递增，且数列有界，则lim(n→∞)aₙ存在，不一定存在；函数f(x)=x²在(-1,1)上连续且可导，f'(x)=2x；在等比数列中，若aₙ>0，则数列单调性由公比q决定，q>1单调递增，0<q<1单调递减；若直线l:ax+by+c=0过原点，则(0,0)满足直线方程，即a×0+b×0+c=0，所以c=0，故选C,D。

6.A,B

解析：y=x³-3x在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值；y=sin(x)在x=kπ(k∈Z)处取得极值；y=log(x)在(0,+∞)内单调递增，无极值；y=e^x在R上单调递增，无极值，故选A,B。

7.B,C,D

解析：若圆O₁:x²+y²=r₁²与圆O₂:x²+y²=r₂²相交，则两圆心距小于r₁+r₂且大于|r₁-r₂|，所以r₁≠r₂；若直线l₁:ax+by+c=0与直线l₂:mx+ny+p=0垂直，则斜率乘积为-1，即(a/m)×(b/n)=-1，所以a·m+b·n=0；在△ABC中，若a²+b²=c²，则△ABC为直角三角形；若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0，故选B,C,D。

8.A,C,D

解析：(1/2)^(x+1)=(1/2)^x×(1/2)<(1/2)^x；log₂(8)=3<log₂(16)=4；sin(π/6)=1/2<sin(π/3)=√3/2；tan(π/4)=1>tan(π/6)=√3/3，故选A,C,D。

9.A,B,D

解析：y=sin(x)是奇函数；y=-x³是奇函数；y=log(x)在(0,+∞)内定义，不是奇函数；y=1/x是奇函数，故选A,B,D。

10.A,B,C

解析：若数列{aₙ}单调递减且aₙ>0，则lim(n→∞)aₙ存在且为0；函数f(x)=|x|在(-1,1)上连续但不可导，在x=0处不可导；在等比数列中，若aₙ>0，则数列单调性由公比q决定；若直线l:ax+by+c=0过原点，则a×0+b×0+c=0，所以c=0，故选A,B,C。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，周期T=2π/ω=2π/(2π/4)=2π/2π/4=4π/2π=2π/π=2π，故正确。

2.√

解析：设z=a+bi(a,b∈R)，则z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi，由z²=-1得a²-b²=0且2ab=-1，解得a=±√2/2，b=±√2/4，当a=√2/2时，b=-√2/4，z=√2/2-√2/4i，模|z|=√((√2/2)²+(-√2/4)²)=√(1/2+1/8)=√(4/8+1/8)=√5/4=√(5/16)=√5/4=√2/2，故正确。

3.√

解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f'(x)在(-∞,0)为正，(0,2)为负，(2,+∞)为正，所以x=0处取得极大值，x=2处取得极小值，故错误。

4.√

解析：设等差数列{aₙ}的公差为d，则a₈=a₄+4d，S₁₀=10a₁+45d，S₄=4a₁+6d，所以S₁₀-S₄=10a₁+45d-(4a₁+6d)=6a₁+39d=6(a₁+6.5d)=6a₈，所以S₁₀=2S₈，故正确。

5.√

解析：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得5²=3²+4²-2×3×4×1/2，等式成立，所以cosA=4/5，所以sin²A=1-cos²A=1-16/25=9/25，所以sinA=3/5，由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，得sinC=c/sinA=5/(3/5)=25/3=5/3>1，矛盾，所以假设错误，△ABC为直角三角形，故正确。

6.×

解析：三个骰子的点数之和为10的情况有(1,3,6)，(1,4,5)，(2,2,6)，(2,3,5)，(2,4,4)，(3,3,4)，共6种，所以P(A)=6/(6×6×6)=6/216=1/36，故错误。

7.√

解析：函数f(x)=tan(x)在(-π/2,π/2)内导数f'(x)=sec²(x)>0，所以f(x)在(-π/2,π/2)内单调递增，故正确。

8.√

解析：圆心O(0,0)，半径r=3，直线l:y=2x-1到圆心O的距离d=|0-1|/√(2²+(-1)²)=1/√5，d<r，所以直线l与圆O相交，设交点为P，则OP垂直于直线l，所以OP²+d²=r²，即OP²+(1/√5)²=3²，解得OP²=9-1/5=45/5-1/5=44/5，所以OP=√(44/5)=√44/√5=2√11/√5=2√11/√5×√5/√5=2√11×√5/5=2√55/5，所以直线l与圆O相交，故正确。

9.×

解析：f(1)=1+p+q=3，所以p+q=2，f(x)在x=-1处取得最小值，则对称轴x=-p/2=-1，所以p=2，代入p+q=2得q=0，所以f(x)=x²+2x，f(-1)=(-1)²+2×(-1)=1-2=-1，不是最小值，故错误。

10.√

解析：f(x)=log₅(x²-2x+3)=log₅((x-1)²+2)，当x=1时，(x-1)²+2取得最小值2，所以f(x)的最小值为log₅(2)，故正确。

五、问答题答案及解析

1.x=0,x=2

解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f'(x)在(-∞,0)为正，(0,2)为负，(2,+∞)为正，所以x=0处取得极大值，x=2处取得极小值。

2.aₙ=2n-1

解析：设等差数列{aₙ}的公差为d，则a₇=a₃+4d，9=5+4d，解得d=1，aₙ=a₁+(n-1)d=a₁+(n-1)×1=a₁+n-1，又a₃=