北师大版数学 2.3二次根式（第1课时） 教案

2.3二次根式（第1课时）教学设计1.教学内容本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“实数”2.3.1二次根式（1），内容包括：理解二次根式的概念，掌握二次根式的乘法与除法法则．2.内容解析学生在学习本节课前，已掌握算术平方根和平方根的基本概念，并能进行一般的开方运算，这为理解二次根式打下了良好的基础.但学生在这一阶段仍然以形象思维为主，对二次根式的理解还需要借助大量的实操与例子辅助.本节内容将通过解决问题，引导学生通过具体计算，猜想二次根式的乘除规律，再进行验证，最终归纳出普遍规律。这是首次系统建立无理式的运算体系，不仅深化对无理数的理解，更为高阶知识提供代数工具支持.​​基于以上分析，确定本节课的教学重点为：二次根式的概念以及有意义的条件.1.教学目标（1）准确叙述二次根式定义及条件；熟练运用乘除法则化简、计算.（2）经历二次根式概念的抽象过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养逻辑推理能力．在运算练习中，提高运算的准确性和灵活性.（3）在二次根式运算的过程中，感受数学概念的严谨性，体会从具体到抽象的认知规律，增强对数学的兴趣.2.目标解析（1）能识别形如a(a≥0)的式子为二次根式，明确其两个核心特征：含开方运算、被开方数a是非负数(a≥0)（2）学生在探索二次根式的乘除运算法则中，要观察规律、提出猜想，再通过更多实例或计算器验证，最终归纳出二次根式的乘除法则，培养学生的抽象概括能力和推理能力，体会“转化”在数学中的应用.（3）学生探究具体问题中的规律，感受数学的逻辑性和趣味性，增强学习数学的自信心，同时鼓励学生小组讨论、分享猜想和验证结果，培养合作精神和表达能力.学生已经学习了有理数、实数的概念，掌握了平方、开平方运算，并理解“平方数是非负数”这一性质，这为理解“二次根式中被开方数非负”提供了直接依据；同时，学生已掌握整式的乘除法则和乘法公式（完全平方公式、平方差公式），这与本节课中“二次根式乘法法则的应用”“混合运算”存在知识迁移的可能性，是重要的学习基础.但学生易混淆“二次根式的形式”与“被开方数的限制”；同时容易忽略法则的前提条件，也就是二次根式不小0这一条件；更可能存在二次根式与系数分离困难这一问题.1.学生可能仅记住“带根号的式子是二次根式”，忽略“被开方数a必须是非负数”，从而错误判断−a（2.在学习二次根式的计算的过程中，可能忽略“a≥0，b≥0”的限制，同时可能仅会“从左到右”进行乘除运算，但难以反向应用，因此在学习的过程中要抓准时机，将典型错误进行展示，同时组织小组，进行小组合作交流，培养学生的团队协作能力.3.学生对“从特殊到一般”的归纳过程可能仅停留在“记住结论”，难以理解“为什么这样归纳是合理的”；对类比思想（如类比整式乘法理解二次根式乘法）的应用意识较弱，需要教师引导关联新旧知识，再这一过程中发展学生的归纳能力与类比思想.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：二次根式乘除法则的应用及与整式乘法的融合.1.温故知新本节课将进入二次根式的概念与乘除运算的学习，先回顾以下问题：(1)平方根与算术平方根的概念是什么？若x2=a，则x是a的平方根，记作x=±a；其中非负的平方根(2)回想算术平方根a有意义的条件是什么？a≥0，即a为非负数.(3)在学习二次根式的乘除时，会与整式的乘除类比学习，那么在整式乘法中，平方差公式与完全平方差公式是什么?平方差公式：a+ba完全平方公式：（a±b）通过以上问题，猜测一下：怎样根式？怎样进行二根式的乘除运算？让我们赶紧进入本节课的学习吧！（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾平方根以及乘法公式等概念，有利于学生类比平方根以及正式的乘除展开二次根式的学习）2.情景引入教师在多媒体设备上一个长方形，并标注好其边长分别为12与6。问题:我们都知道长方形的面积是长×宽，那么这个长方形的面积如何计算呢？若是按照以往的计算思路，我们会估算出12与6的近似数并相乘，但这样不仅很麻烦，误差也会比较大，有没有一种更为直接的方式让12与6相乘，得出更为精确的结果？今天我们一起进入本节课的学习，探索这一运算方法.(设计意图：用长方形的面积计算引入，让学生感受能够将新知识与旧知识联系并应用，不仅激发学生的学习兴趣与探索欲望，更能体现本节内容的实际应用价值)探究点1二次根式的概念1.观察以下式子，它们有什么特点？5、11、7.2、49121​、c+bc−b 答：都含有开方运算，且被开方数都是非负数.（1）这些数进行开放运算后能否都去掉“”？哪些数可以？哪些数不可以？答：49121可以去掉根号，结果为7115、11、7.2、c+bc−（3）这类计算后依旧保留根号的数该怎样定义.二次根式的定义：一般地，形如a（a≥0）的式子叫作二次根式，a（4）下列式子中，属于二次根式的是（B）A.−5 ​B.27 ​ C.0 ​ D.x（x<0（5）下列式子中，无论x取何实数，都有意义的是（B）A.x−1 B.x2+1​ C.1x​（设计意图：引入二次根式的概念）（教学建议：教师引导学生通过观察与归纳，引导学生总结二次根式的特点并得出概念，培养学生主动参与、归纳总结的意识，同时检测了学生的学习效果）探究点2二次根式的乘除1.计算下列各式.①4×9=36②16×25=③49=23，49=23； 2.仔细观察以上四组计算，有什么规律？答：在以上四组计算中，每一组计算的两个式子的结果都相等3.根据上面的猜想，估计每组中的两个式子是否相等，并用计算器验证：①6×7​与解：6≈2.449，7≈2.646，6×故6×7​=②67与6解：由一知67≈2.449故67=64.用字母表示你发现的猜想.通过以上计算可得：乘法法则：a⋅5.计算2×6​的结果是（BA.8 ​B.12 C.3 ​D.436.8×12​​的结果是（B）

A.8+12=172​C.8+12=22（设计意图：通过解决以上计算，验证并总结，得出二次根式的乘除法则.）（教学建议：引导学生计算二次根式的乘除运算，并在这一过程中首先进行乘法运算法则进行猜想，验证，最后得出结论．在这一学习过程中，体会数学数学中从特殊到一般的探索学习方法，提升学生的归纳能力．）典例分析例1 (1)6×23​； (2)解：(1)6×(2)6×例2(1)32×23​； (3)5+12； (5)12−13×3​； 解：(1)32(2)12×3(3)5+1(4)13+3(5)12−(6)8+已知二次根式a和b满足以下条件：①a和b均为正整数；②a×③a1.据上述两个等式，求a和b的值；2.直接写出a和b的值（a=___,b解：1.由③可得a将上式带入②可得2解得b=9，则b=3将b=3带入②可得a2.由1可得a=4,b=9（设计意图：将二次根式与方程知识结合，不仅加深学生对二次根式得理解，更是了提高数学运用能力.）（教学建议：学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正．提醒学生：综合性题目．在求解时，要学会将a,1.计算：(1)5×920​； (3)23−12； (5)27−123​​； (6)解：(1)5×920(2)1+3(3)23−12(4)27+1(5)27−12(6)92−设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.类型一：二次根式的概念辨析1.判断下列式子那些是二次根式：①④①15​； ②38​； ③−2； ④a2+3； ⑤2.下列式子中，一定是二次根式的是（B）A.x−2 B.x2+1 C.1x类型二：被开方数的非负性3.求下列式子有意义的x取值范围：①4x−8； ②5−2x 解：①4x②5−2x≥0③x2+2≥0，由此可得类型三：二次根式的乘除运算4.基础乘法：①2×6； ②解：①原式=12 ②原式=505.基础除法：①18÷2； ③解：①原式=9=3②原式=100类型四：二次根式的混合运算6.①5+25−2 解；①原式=5-2=3 ②原式=3+23+1=4+21.（2024·云南）：式子x−3​在实数范围内有意义，则x的取值范围是：x2.（2024·黑龙江）：若式子12−x​​有意义，则x3.（2024·贵州）：计算3×12​4.（2024·天津·中考真题）：计算5+3设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助