2025-2026学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（上）期中数学试卷

第13页（共1页）2025-2026学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）1．（3分）欣赏下列图形，感受数学几何图形的对称美，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，照相机三角支架的设计所利用的数学原理是（）A．两点确定一条直线 B．三角形具有稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短3．（3分）具备下列条件的△ABC，是直角三角形的是（）A．∠A+∠B+∠C＝180° B．∠A：∠B：∠C＝1：1：1 C．∠A＝50°，∠B＝40° D．∠A、∠B是锐角4．（3分）如图，已知△ABC≌△DEC，点B和点E是对应顶点．若∠BCD＝130°，∠ACE＝10°，则∠ACD的度数为（）A．60° B．55° C．50° D．45°5．（3分）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，那么△CAB≌△CDE理由是（）A．边角边 B．斜边、直角边 C．角角边 D．边边边6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠C＝30°，下列选项正确的是（）A．AD＝2BD B．CD＝2AD C．BC＝4BD D．AC＝2AB7．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，其中BD＝2.5cm，△ABE的周长为8cm，则△ABC的周长是（）A．14cm B．13cm C．10cm D．8cm8．（3分）如图，∠MON＝102°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A、B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（）A．97° B．98° C．99° D．100°9．（3分）已知，点P是等边△ABC所在平面内的一个点，满足△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形，这样的点P有（）个．A．12 B．10 C．9 D．410．（3分）如图，∠MAN＝90°，B，C分别是射线AN，AM上的点，连接BC，AC＝6，AB＝8，BC＝10，△ABC两外角的角平分线OB、OC交于点O，连接OA，分别过O作OD⊥BC于D，OF⊥AN于F，OE⊥AM于E，下列结论正确的有（）个．①（∠ACB﹣∠ABC）②∠AOC+∠BOD＝90°③S△COD＝32④CD＝6A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点A（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是．12．（3分）如图，AC＝BD，添加一个条件，使得△ACD≌△BDC（填写一个条件即可）．13．（3分）若三角形的三边长分别是3、5和m，则m的取值范围是．14．（3分）如图，∠CGE＝150°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，，BC＝4，点D是AC上一动点，连接BD，将△ABD沿BD折叠，得到△EBD，其中，点A落在点E处，BE交AC于点F，当△EFD为直角三角形时，EF的长度是．16．（3分）如图，△ABE是钝角三角形（∠BAE＞90°），将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADC，连接DE、BC，取DE的中点F，连接FA并延长交BC于点G，其中AD＝m，AF＝n（m＞0，n＞0），∠DAF＝2∠EAF，则BG＝（用含m、n的式子表示）．三、解答题（共8小题，共72分）17．（9分）（1）已知等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角分别是．（2）已知等腰三角形的一条边长是4cm，周长是18cm，求它的另外两边长．18．（9分）如图，C、F、E、B四点在一条直线上，AB＝CD，BF＝CE，AE＝DF，求证：AB∥CD．19．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝BD，AC⊥BD于点E．（1）求证：∠BAC＝2∠DBC；（2）如果BC＝4，求△BCD的面积．21．（9分）如图是由小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（每一小问的辅助线不能超过五条）．（1）如图1，画△ABC的中线CD；（2）如图1，在BC上画一点E，使得∠BAE＝45°；（3）如图2，已知BC＝5，画△ABC的角平分线BF；（4）如图2，在（3）的条件下，P是AB上的一点，在BF上画一点H，使AH+PH的值最小．22．（9分）如图，△ABC是等边三角形．（1）如图1，D是△ABC内一点，连接AD，以AD为边，在AD右侧作等边△ADE，连接BD、CE，两线延长交于点F，求∠F的度数．（2）如图2，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，以DE为边，在DE右侧作等边△DEF，连接AF，求证：AD+AF＝AE．23．（9分）如图，△ABC≌△BED（其中C和D是一组对应点）．（1）如图1，A的对应点是，AB的对应边是，∠ABC的对应角是；（2）如图2，F是AB的中点，连接CF并延长，恰好经过点D，求证：CF＝DF；（3）如图3，F、G分别是AB、BE的中点，连接CF、DG、FG、CD，其中CD与FG交于点H，求的值．24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足．（1）点A的坐标为；点B的坐标为；（2）如图1，E（5，0），连接BE，OD⊥BE于D，交AB于点C，AG⊥OA交OD的延长线于点G，在x轴的负半轴上有一点F，连接CF，满足∠OEB＝∠OFC，求点F坐标；（3）如图2，N是射线OB上一点（N不与O、B、OB的中点重合），连接AN，过点O作OE⊥AN交AB于E，在AB的上方作∠BEK＝∠AEO，EK交y轴于点K，与直线AN交于点H，探究AH、OE、HE三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）．

2025-2026学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）1．（3分）欣赏下列图形，感受数学几何图形的对称美，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，B，D是轴对称图形，C是轴对称图形，故选：C．2．（3分）如图，照相机三角支架的设计所利用的数学原理是（）A．两点确定一条直线 B．三角形具有稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短【解答】解：依题意，依据的数学道理是三角形具有稳定性，故选：B．3．（3分）具备下列条件的△ABC，是直角三角形的是（）A．∠A+∠B+∠C＝180° B．∠A：∠B：∠C＝1：1：1 C．∠A＝50°，∠B＝40° D．∠A、∠B是锐角【解答】解：A、当∠A+∠B+∠C＝180°时不能得出△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：1，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，△ABC是等边三角形，故此选项不符合题意；C、∵∠A＝50°，∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣50°﹣40°＝90°，△ABC是直角三角形，故此选项符合题意；D、当∠A、∠B是锐角时不能得出△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C．4．（3分）如图，已知△ABC≌△DEC，点B和点E是对应顶点．若∠BCD＝130°，∠ACE＝10°，则∠ACD的度数为（）A．60° B．55° C．50° D．45°【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠BCA＝∠ECD，∴∠BCF＝∠ACD，∵∠BCD＝130°，∠ACE＝10°，∴∠ACD＝＝＝60°，故选：A．5．（3分）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，那么△CAB≌△CDE理由是（）A．边角边 B．斜边、直角边 C．角角边 D．边边边【解答】解：量出DE的长就等于AB的长，理由如下：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB＝DE，故选：A．6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠C＝30°，下列选项正确的是（）A．AD＝2BD B．CD＝2AD C．BC＝4BD D．AC＝2AB【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠C＝30°，∴AC＝2AD，BC＝2AB，AB＝2BD，∴BC＝4BD，故选：C．7．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，其中BD＝2.5cm，△ABE的周长为8cm，则△ABC的周长是（）A．14cm B．13cm C．10cm D．8cm【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，BE＝CE，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+CE+AE＝AB+AC＝8cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+2BD+AC＝8+5＝13（cm），故选：B．8．（3分）如图，∠MON＝102°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A、B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（）A．97° B．98° C．99° D．100°【解答】解：连接AB，BC，由作图过程可知，OA＝OB，AC＝BC＝AB，∴OC垂直平分线段AB，△ABC为等边三角形，∴＝51°，，∠ACB＝60°，∴∠ACO＝30°，∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝99°．故选：C．9．（3分）已知，点P是等边△ABC所在平面内的一个点，满足△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形，这样的点P有（）个．A．12 B．10 C．9 D．4【解答】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径囝弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点，②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；共3+3+3+1＝10点．故选：B．10．（3分）如图，∠MAN＝90°，B，C分别是射线AN，AM上的点，连接BC，AC＝6，AB＝8，BC＝10，△ABC两外角的角平分线OB、OC交于点O，连接OA，分别过O作OD⊥BC于D，OF⊥AN于F，OE⊥AM于E，下列结论正确的有（）个．①（∠ACB﹣∠ABC）②∠AOC+∠BOD＝90°③S△COD＝32④CD＝6A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵∠MAN＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵OB平分∠DBF，OD⊥BC，OF⊥AN，∴OD＝OF，同理得：OD＝OE，∴OE＝OF，∴AO平分∠MAN，∴∠FAO＝45°，∵∠AFO＝90°，∴△AFO是等腰直角三角形，∴∠AOF＝45°，AF＝OF，∴∠AOD＝45°﹣∠DOF，四边形DBFO中，∠BFO＝∠BDO＝90°，∴∠DOF+∠DBF＝180°，∵∠ABC+∠DBF＝180°，∴∠ABC＝∠DOF，∴∠AOD＝45°﹣∠ABC，∴∠AOD＝（90°﹣2∠ABC）＝（∠ABC+∠ACB﹣2∠ABC），∴∠AOD＝（∠ACB﹣∠ABC），故①正确；②∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠DBF+∠DCE＝360°﹣90°＝270°，∵△ABC两外角的角平分线OB、OC交于点O，∴∠DBO+∠DCO＝135°，∴∠BOC＝180°﹣135°＝45°，∴∠AOC+∠BOD＜45°，故②错误；③④∵∠OBF＝∠OBD，∠OFB＝∠ODB＝90°，OF＝OD，∴△OBF≌△OBD（AAS），∴BF＝BD，同理得：CD＝CE，设BF＝a，则BD＝a，CD＝CE＝10﹣a，∵AF＝OF＝AE＝8+a，AC＝6，∴CE＝2+a，∵CD＝CE，∴10﹣a＝2+a，∴a＝4，∴CD＝10﹣4＝6，OD＝OF＝8+4＝12，∴S△CDO＝•CD•OD＝×6×12＝36，故③错误，④正确；故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点A（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1）．【解答】解：点A（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．12．（3分）如图，AC＝BD，添加一个条件AD＝BC（答案不唯一），使得△ACD≌△BDC（填写一个条件即可）．【解答】解：添加一个条件：AD＝BC，理由：在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC（SSS），故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．13．（3分）若三角形的三边长分别是3、5和m，则m的取值范围是2＜m＜8．【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜m＜5+3，∴2＜m＜8．故答案为：2＜m＜8．14．（3分）如图，∠CGE＝150°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝300°．【解答】解：如图，进行标注，∵∠EMG是△MDC的一个外角，∴∠EMG＝∠D+∠C，∵∠HGN是△MEG的一个外角，∴∠HGN＝∠E+∠EMG，即∠HGN＝∠C+∠D+∠E，∵∠AHG是△BHG的一个外角，∴∠AHG＝∠B+∠BGH，∵∠BGH＝180°﹣∠CGE＝180°﹣150°＝30°，∴∠AHG＝∠B+30°，∵∠ANG是△NGF的一个外角，∴∠ANG＝∠NGF+∠F＝180°﹣150°+∠F＝30°+∠F，∵∠A+∠AHG+∠HGN+∠ANG＝360°，∴∠A+∠B+30°+∠C+∠D+∠E+∠F+30°＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°﹣30°﹣30°＝300°，故答案为：300°．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，，BC＝4，点D是AC上一动点，连接BD，将△ABD沿BD折叠，得到△EBD，其中，点A落在点E处，BE交AC于点F，当△EFD为直角三角形时，EF的长度是4﹣4或2．【解答】解：如图1，△EDF为直角三角形，且∠EDF＝90°，∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，AB＝4，BC＝4，∴∠A＝90°﹣∠C＝30°，由折叠得EB＝AB＝4，∠E＝∠A＝30°，∴∠BFC＝∠DFE＝90°﹣∠E＝60°，∴∠BFC＝∠C，∴BF＝BC＝4，∴EF＝EB﹣BF＝4﹣4；如图2，△EDF为直角三角形，且∠EFD＝90°，则∠AFB＝90°，∵∠A＝30°，EB＝AB＝4，∴BF＝AB＝2，∴EF＝EB﹣BF＝4﹣2＝2，∵∠E＝∠A＝30°，∴不存在△EDF为直角三角形，且∠E＝90°的情况，综上所述，当△EDF为直角三角形时，EF的长度为4﹣4或2，故答案为：4﹣4或2．16．（3分）如图，△ABE是钝角三角形（∠BAE＞90°），将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADC，连接DE、BC，取DE的中点F，连接FA并延长交BC于点G，其中AD＝m，AF＝n（m＞0，n＞0），∠DAF＝2∠EAF，则BG＝（用含m、n的式子表示）．【解答】解：延长AF至点M，使FM＝AF，连接DM，在BC上截取点N，使GN＝BG，连接AN，如图所示：由题意可知，△ABE≌△ADC，且∠BAD＝∠EAC＝90°，∴AB＝AD，AC＝AE，∵F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DFM和△EFA中，，∴△DFM≌△EFA（SAS），∴DM＝AE＝AC，∠M＝∠EAF，∴DM∥AE，∴∠MDA+∠DAE＝180°，∵∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAE+∠BAC＝180°，∴∠MDA＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴BC＝AM＝2AF，∠ABC＝∠DAM，∠M＝∠ACB＝∠EAF，∵∠DAB＝90°，∴∠DAF+∠BAG＝90°，设∠DAF＝α，∠EAF＝β，∴∠BAG＝90°﹣α，∵∠ABC＝∠DAM＝α，在△ABG中，∠BGA＝180°﹣（∠BAG+∠ABC）＝90°，∴∠NGA＝∠BGA＝90°，在△ABG和△ANG中，，∴△ABG≌△ANG（SAS），∴AB＝AN，∠ABG＝∠ANG＝α，∵∠DAF＝2∠EAF，即α＝2β，∴∠ANG＝2∠ACN＝∠ACN+∠NAC，∴∠NAC＝∠ACN＝β，∴AN＝NC＝AB，∵AD＝m，AF＝n，∴BC＝2n，NC＝m，∴BG+GN＝2n﹣m，即2BG＝2n﹣m，∴，故答案为：．三、解答题（共8小题，共72分）17．（9分）（1）已知等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角分别是35°，35°．（2）已知等腰三角形的一条边长是4cm，周长是18cm，求它的另外两边长．【解答】解：（1）①当110°是顶角时，底角＝（180°﹣110°）÷2＝35°；②当110°是底角时，别一底角也是110°，因为110°+110°＞180°，所以不符合三角形内角和定理即不能构成三角形．故答案为：35°，35°；（2）当底为4cm时，腰为×（18﹣4）＝7（cm），三边长为4cm，7cm，7cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为7cm．当腰为4cm时，底为18﹣4﹣4＝10（cm）三边长为4cm，4cm，10cm，不符合三角形三边关系定理．这样的三边不能围成三角形．∴等腰三角形的其他两边长分别为7cm，7cm．18．（9分）如图，C、F、E、B四点在一条直线上，AB＝CD，BF＝CE，AE＝DF，求证：AB∥CD．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BE＝CF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SSS），∴∠B＝∠C，∴AB∥CD．19．（9分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．【解答】证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝DC，∵∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线．20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝BD，AC⊥BD于点E．（1）求证：∠BAC＝2∠DBC；（2）如果BC＝4，求△BCD的面积．【解答】（1）证明：过点A作AF⊥BC于F，∵AB＝AC，∴AF平分∠BAC，即∠BAC＝2∠BAF，∵AC⊥BD，∴∠BEC＝90°，在△BEC中，∠DBC+∠ACB＝90°，∵AF⊥BC，在△AFC中，∠BAF+∠ACB＝90°，∴∠BAF＝∠DBC，∵∠BAC＝2∠BAF，∴∠BAC＝2∠DBC；（2）解：过D作DG⊥BC交BC的延长线于G，由（1）知∠BAF＝∠DBC，∵AB＝BD，∠AFB＝∠BGD＝90°，∴△ABF≌△BDG（AAS），∴DG＝BF，由等腰三角形的三线合一可知，BF＝BC，∵BC＝4，∴BF＝2，∴DG＝2，∴．21．（9分）如图是由小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（每一小问的辅助线不能超过五条）．（1）如图1，画△ABC的中线CD；（2）如图1，在BC上画一点E，使得∠BAE＝45°；（3）如图2，已知BC＝5，画△ABC的角平分线BF；（4）如图2，在（3）的条件下，P是AB上的一点，在BF上画一点H，使AH+PH的值最小．【解答】解：（1）如图1中，线段CD即为所求；（2）如图1中，点E即为所求；（3）如图2中，线段BF即为所求；（4）如图2中，点H即为所求．22．（9分）如图，△ABC是等边三角形．（1）如图1，D是△ABC内一点，连接AD，以AD为边，在AD右侧作等边△ADE，连接BD、CE，两线延长交于点F，求∠F的度数．（2）如图2，D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，以DE为边，在DE右侧作等边△DEF，连接AF，求证：AD+AF＝AE．【解答】（1）解：设AE与BF相交于点H，如图1所示：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BDA＝∠CEA，∵∠BDA+∠ADF＝180°，∠CEA+∠AEF＝180°，∴∠ADF＝∠AEF，∵∠AHF是△FHE和△AHD的外角，∴∠AHF＝∠F+∠AEF＝∠DAE+∠ADF，∴∠F＝∠DAE＝60°；（2）证明：设AC与DF相交于点P，延长BA到K，使KD＝AE，连接KF，如图2所示：∴AE＝KD＝AD+AK，∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴AB＝AC，DF＝EF，∠BAC＝∠DFE＝60°，∵∠DPE是△PAD和△PEF的外角，∴∠DPE＝∠FDK+∠BAC＝∠FEA+∠DFE，∴∠FDK＝∠DFE，在△FDK和△FEA中，，∴△FDK≌△FEA（SAS），∴KF＝AF，∠DFK＝∠EFA，∴∠DFK﹣∠AFD＝∠EFA﹣∠AFD，∴AFK＝∠DFE＝60°，又∵KF＝AF，∴△AFK是等边三角形，∴AK＝AF，∴AE＝AD+AK＝AD+AF．23．（9分）如图，△ABC≌△BED（其中C和D是一组对应点）．（1）如图1，A的对应点是B，AB的对应边是BE，∠ABC的对应角是∠BED；（2）如图2，F是AB的中点，连接CF并延长，恰好经过点D，求证：CF＝DF；（3）如图3，F、G分别是AB、BE的中点，连接CF、DG、FG、CD，其中CD与FG交于点H，求的值．【解答】（1）解：∵△ABC≌△BED（其中C和D是一组对应点），∴A的对应点是B；AB的对应边是BE；∠ABC的对应角是：∠BED；故答案为：B，BE，∠BED；（2）证明：如图：过A、B分别作AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N，∵AM⊥CD，BN⊥CD，∴∠AMF＝∠BNF＝90°，∵F为AB中点，∴AF＝BF，在△AMF和△BNF中，，∴△AMF≌△BNF（AAS），∴AM＝BN，FM＝FN，在Rt△BND和Rt△AMC中，，∴Rt△BND≌Rt△AMC（HL），∴DN＝CM，∴CF＝DF；（3）解：在GF延长线上取点P．令CP＝CF，连CP．∵F、G为AB、BE中点．∴，．∵△ABC≌△BED，∴AB＝BE，∠A＝∠DBG，AC＝BD，∴AF＝BG＝BF，∴∠BFG＝∠BGF＝∠AFP．在△ACF和△BDG中，，∴△ACF≌△DBG（SAS）