工程弹塑性力学-第八章

工程弹塑性力学浙江大学建筑工程学院第八章理想刚塑性的平面应变问题第八章理想刚塑性的平面应变问题平面应变问题的基本方程特征线和滑移线滑移线的性质塑性区的边界条件典型的滑移线场滑移线场的数值求解楔体的单边受压刚性压模的冲压问题圆形切口板条的极限拉力板条的抽拉拉----定常塑性流动问题8.1平面应变问题的基本方程物体的各点位移发生在xoy平面内:添加标题01单击此处添加小标题(8.2)03单击此处添加小标题应变分量为:05单击此处添加小标题(8.1)02单击此处添加小标题(8.3)048.1平面应变问题的基本方程应变率张量06流动速度场05忽略弹性变形04(8.5)03(8.4)02理想刚塑性材料的总应变分量:018.1平面应变问题的基本方程采用Mises屈服条件与其相关连的流动法则:(8.6)(8.7)中间主应力刚塑性情况的Levy—Mises关系:8.1平面应变问题的基本方程考虑开始流动的瞬间，不考虑惯性项和体力:01添加标题(8.8)02添加标题注意到:03添加标题(8.9)04添加标题塑性区:05添加标题刚性区:06添加标题(8.10)07添加标题8.1平面应变问题的基本方程在塑性区由5个方程求5个未知量添加标题有速度边界条件的求解问题:添加标题(8.11)添加标题(8.12)添加标题不可压缩条件:添加标题Levy—Mises关系:添加标题若采用Tresca屈服条件,在刚塑性平面应变条件下,其表达式与Mises屈服条件相同。

添加标题8.1平面应变问题的基本方程在刚塑性交界处，应力和速度应满足连续条件:(8.13)图8.1刚塑性交界线连续允许有间断交界线两侧都是塑性区的情形:两侧应力间断值8.2特征线和滑移线(8.14)添加标题1一、应力状态分析添加标题2O添加标题3图8.2摩尔图添加标题4塑性区内任一点的应力可写成:添加标题5若x,y方向为主方向添加标题68.2特征线和滑移线(8.15)一、应力状态分析O图8.2摩尔图(8.16)n,tx,y(8.17)X方向是主应力方向8.2特征线和滑移线一、应力状态分析(8.17)任一点的应力状态由静水应力

与纯剪应力

叠加而成。在与主应力1成角的方向上:(8.18)(8.19)O图8.3微元体上的应力8.2特征线和滑移线二、滑移线(8.19)(8.20)代入双曲线方程O取活动坐标Os1s2,s1表示沿的L切线方向,s2为沿的L法线方向(8.21)8.2特征线和滑移线(8.20)特征线方法:（在XY平面内,线L给定了函数、)方程组的解为:8.2特征线和滑移线特征线方法:若D≠0,则方程有唯一解。若D=0,则方程没有唯一解,表明已知L线一侧导数,若无其他条件,就不能求出L线另一侧的导数,具有这种性质的曲线叫做特征线。当最大剪应力max=

(

1-

3)/2=

k时，材料进入塑性流动状态。塑性应变状态下的应变增量是一个纯剪变形，材料沿最大剪应力线滑动，所以最大剪应力线（、线)又叫滑移线。

8.2特征线和滑移线如坐标轴s1,s2与滑移线的切线重合:O(8.22)(8.23)积分(8.24)写成改变量形式8.2特征线和滑移线添加标题沿滑移线上的速度方程式01添加标题(8.26)03添加标题(8.25)02添加标题沿特征线的正应变率等于零,没有伸缩。

048.2特征线和滑移线三、沿滑移线上的速度方程式(8.27)图8.4速度的坐标变换或(8.28)8.3滑移线的性质(1)、沿着滑移线的压力变化与滑移线和X轴所成的角度变化成比例,滑移线的方向变化得愈大,即(

ab)愈大,平均应力的变化也就愈大。

图8.5压力变化与角度变化之间的关系根据H.Hencky的研究得出8.3滑移线的性质根据H.Hencky的研究得出(8.29)(2)、如果由一条滑移线l转到另一条滑移线2,则沿任何一个族的滑移线而变化的角和压力的改变值将保持常数。

O(1.1)(1.2)(2.1)(2.2)图8.6滑移线场的单元网格沿

族滑移线沿

族滑移线8.3滑移线的性质根据H.Hencky的研究得出(8.30)(8.31)同理:(8.32)如果

1线沿任意

线转到

2线,同样可得:Hencky第一定理(8.29)

(8.32)表示单元网格四个结点上的应力和倾斜角的相互关系8.3滑移线的性质根据H.Hencky的研究得出(3)、假定滑移线网格中各点的坐标(x,y),值均为已知,则只要知道滑移线网格中任何一点的值,就可定出场内各处的值。

A(已知)BC沿

1线:沿

1线:同理,滑移线场内任何点的值均可求出。

8.3滑移线的性质设线的线段是直线如果在某些区域中两族滑移线是直线,则在这种区域中的应力是均匀分布的,并且参数C

,C是常数。如果滑移线的某些线段是直线,则沿着那些直线的,

,C

,C

,以及应力分量x,

y,

xy都是常数。

根据H.Hencky的研究得出8.3滑移线的性质根据H.Hencky的研究得出(5)、如果族(或族)滑移线的某一线段是直线,则被族(或族)滑移线所切截的所有(或)线的相应线段皆是直线。

ABB’A’图8.8设AB为直线说明A’B’亦为直线8.3滑移线的性质根据H.Hencky的研究得出(6)、若沿着某一滑移线移动,则这时在交叉点处的另外一族滑移线的曲率半径的变化即为沿该线所通过的距离。

曲率半径:(8.33)DBCA图8.9正向正向AB的平行线8.3滑移线的性质根据H.Hencky的研究得出(8.34)性质2和

为常数(8.35)Hencky第二定理AA’B’PQOB图8.10如果塑性状态扩张的足够远,曲率半径最后必须变为零。

8.4塑性区的边界条件(8.36)一、用、表示的应力边界条件O图8.11应力边界条件将x轴取在n轴方向上给定

n,

nt,值(8.37)(8.38)平均应力的间断值:8.4塑性区的边界条件二、符号的选择方法图8.12平均应力的间断值ABCD图8.13给定n,

n=-

nt后,、

的取值需要从整体运动状态来进行判断。

例:在右边界上

n=

1,

n=0,取m=0若:AB边拉力<BC边拉力8.4塑性区的边界条件刚塑性交界线01若:不计刚体位移:02一根滑移线或滑移线的包络线交界线要发生速度间断038.5典型的滑移线场一、均匀应力的滑移场OAB及OCD区域:AODCB图8.14均匀应力和简单应力滑移线滑移线与边界成45

区域内,都是常数二、简单应力滑移场OBC区域:紧接着均匀应力区的塑性区;和均匀应力场连接处应力导数发生跳跃;点O处的

是不确定的。8.5典型的滑移线场三、轴对称应力滑移场图8.15轴对称应力滑移场OAPB图8.16对数螺旋线滑移场8.5典型的滑移线场三、轴对称应力滑移场OAPB图8.16对数螺旋线滑移场在极坐标(r,

)中

r=0,以r=f(

)表示滑移线轨迹积分得:(8.39)边界上r=R处的

角,在

r时,沿

线取+号例:图中A点:沿

线:积分:8.7楔体的单边受压一、作出滑移场,定出

、

线AODCB图8.19楔体单边受压问:当p(x)等于多大时，达到塑性极限荷载(即允许以vy向下滑动)。这个问题在研究边坡的稳定性问题时有意义。

OAB区域,OCD区域是均匀应力场OBC区域是退化黎曼问题,是中心场OB线是线,AB线是线二、求出各点的应力值及确定塑性极限荷载ps在OA边:沿BC线:从点B到点C:在OD边:(8.47)8.7楔体的单边受压三、求速度分布,并校核(8.6)式中的是否不小于零在OD边:沿线:在ABCD线上,法向速度要和刚性区连续,故沿ABCD(线)v＝0。因此,求区域ABCD内的速度分布是一个解速度场的第三边值问题。

ABCD边整个塑性区沿线:OD边8.7楔体的单边受压单击此处添加小标题求速度分布,并校核(8.6)式中的是否不小于零单击此处添加小标题(8.48)单击此处添加小标题成立的条件单击此处添加小标题(8.49)单击此处添加小标题表明:左边的质点比右边的下滑得快单击此处添加小标题校核刚性区的条件8