陕西省榆林市靖边中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省榆林市靖边中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（）A.12 B.24 C.64 D.81【答案】D2.若随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.【答案】B3.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C4.若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（）A.90 B.-90 C.180 D.-180【答案】C5.若服从两点分布，且，则（）A. B. C. D.【答案】A6.已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下：234561.021.201.421.621.84由上表可得经验回归方程为，则（）A.0.206 B. C.0.596 D.【答案】D7.某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】C8.除以9的余数为（）A.1 B.2 C.7 D.8【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，且，则（）A. B.C. D.【答案】ACD10.若，则（）A. B.C. D.【答案】BCD11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（）A. B.C. D.【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分．12.的展开式中，的系数为______【答案】13.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种（用数字作答）.【答案】14.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每次抽取后不放回，记为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则的数学期望_________．【答案】四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有多少种？（2）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？解：（1）从5种课外读物中任取1种为甲乙共同的，有5种方法；再从余下4种中取1种给甲，有4种方法；最后从3种中取1种给乙，有3种方法，所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（种）.（2）若末位为，则可组成个无重复数字的四位偶数；若末位不为，则可组成个无重复数字的四位偶数；共可组成个无重复数字的四位偶数.16.随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表：能够熟练使用AI工具不能够熟练使用AI工具男员工3015女员工169（1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？（2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望．附：，其中．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关，由统计表得，则，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关.（2）男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为，按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4，因此的可能取值为，，，所以的分布列为：0123数学期望.17.甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响.（1）甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小；（2）丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.解：（1）甲恰好投中1次的概率为，乙恰好投中1次的概率为，所以甲恰好投中1次的概率大.（2）丙恰好投中1次的概率为.令.求导得：.由，解得，故在上单调递增：由，解得，故在上单调递减，所以.所以当时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为.18.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．解：（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值样本中10棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为.（2）则.（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．则该林区这种树木的总材积量估计为.19.甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为．（1）求，和，；（2）求的数学期望（用含有的式子表示